倒立摆系统的建模及Matlab仿真

1、倒立摆系统的建模及mat i ab仿真1. 系统的物理模型考虑如图（1）所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图 面内运动的二维问题。uv/图（1）倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。摆杆的质量：m=0. lg 摆杆的长度：/= 1 nh、午.的质量：m=lkg重力加速度:g=9. 8m/?摆杆的质量在摆杆的中心。设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由干扰引起）时，最大超调量s <10%,调节时 间ts 4s ,通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。2. 系统的数学模型2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化。为简化问题，在数学模型中首先假设：1）摆杆

2、为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽 略小车与接触面间的摩擦。设小车瞬时位置为z，摆心瞬时位置为（z + /sin），在u作用下，小车及摆均产生加速远动， 根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u平衡，于是有m - + /sin 0） = udt dt即：,2z7?-t(z + /sin d)/cos 汐二 mg/sin 沒(m + m)z + ml3 cos 3 - mid2 sin 6-u绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而冇即：zcos + /cos2 3-id2 sincos = gsin沒以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理。由于控制的i；的是

3、保持倒立摆直 立，在试驾合适的外力条件下，假定0很小，接近于零时合理的，kijsin«cos«l,且可忽略少沒 项。于是有9 9(m + m) z + mid = uz + lo = go联立求解可得mlml2.2列写系统的状态空间表达式选取系统变量&，'，* =则x2x3 = xa.(m+m)1xd =x,u4 ml ml"01000100哪01 a x =zmx +mdte00010e00(m + m)g01mlmlu = ax + buy - x - i o o ox = cx代入数据计算得到:0 10 0 0 0-10 0 0 0 1 0

4、0 ii 0,b = 0 1 0 -lr,c = l 0 0 0,z) = 03. 设计控制器3.1判断系统的能控性和稳定性qk = b ab a2b a3b010一 110-101110110rank (qk) =4,故被控对象完全可控由特征方程|2/-a| = /l2a2-11) = 0解得特征值为0, 0，土a/tt。出现大于零的特征值，故被控对象不稳定3.2确定希望的极点希望的极点n=4,选其中一对为主导极点&和*2,另一对为远极点，认为系统性能主要由主导 极点决定，远极点只有微小影响。根据二阶系统的关系式，先确定主导极点主导极点为<7<0.10.59,于是取=0.

5、6;取误差带 a = 0.02 有=,贝 ljty”=1.67，闭环1 ±0.8j,远极点选择使它和原点的距离大于主异极点与原点距离的5倍，取=-153.3采用状态反馈方法使系统稳定并配置极点状态反馈系统的状态方程为状态反馈的控制规律为w = -h，k = a:o kx k2 k3； x = a-bk)xbv,其特征多项式为-(a- bk) = /i4 + (k -+ (k) -k2-l 1)a2 -10,2-10()希望特征多项式为u +15)2 (2 +1 - 0.8 j)(又 +1 + 0.8y) = 24 + 3223 + 286.64# + 499.22 + 369比较以上

6、两式系数，解得状态反馈矩阵-36.9 -49.92 -334.54 -81.924. 设计全维观测器0000-100-1，rank (2p =4,故被控对象完全可观4.1判断系统的能观性1 0qs=c atc （，）2c （，）3c= 2 0 04.2确定观测器的反馈増益全维观测器的动态方程为x = (a-gc)x + bv + gcx；其特征多项式为|2/-(a-gc)| = /14 +g()乂3 +(&-11)a2+(-1 lg0-g2)2 + (-l 1§丨-g3)取观测器的希望极点为：-45, -45, -3+3j, -3-3j；则希望特征多项式为(a +15)2 u

7、 +1 - 0.8+ 1 + 0.87) = /+ 9623 + 2583a2 +13770a + 34650比较以上两式系数，解得观测器反馈矩阵g = 96 2594 -14826 -64984"5. 降维状态观测器的设计5.1建立倒置摆三维子系统动态方程设小车位移z由输出传感器测量，因而无需估计，可以设计降维(三维)状态观测器，通过重 新排列被控系统变量的次序，把需由降维状态观测器估计的状态变量与输出传感器测得的状态变量 分离开。将z作为第四个状态变量，则被控系统的状态方程和输出方程变换为參z1e0曇d十-1z0_0-100 00100110 010 0 0uzeezddt，=0

8、 0 0 1離zeez简记为:i i 161 |办2 - i0-10001，ai2 = o 0 o7', b=i o -l70110"x2 = z = y f a2 = l 0 or，a2i=o，b2 = q，/, = 1 被控系统的n-q维子系统动态方程的一般形式为式屮 v = ay + bu = bxu,z = y - a22y -b2u = y = z z'力子系统输出量。故倒置摆三维子系统动态方程为z'0 -1 0"z"1_e=0 0 1e+0參e0110e_-1z5.2.判断子系统的可观测性al=0-l 0;0 0 l;0 11

9、o;c1= 10 0; qgl =obsv( a1，c 1) ;r=rank(qgl)运行matlab程序；结果为r=3,故该子系统可观测降维状态观测器动态方程的一般形式为f =xx= co + hy/za21+ (/?| - hb, + (a|, /za2| )/z +_ /za，)式屮h=/z0 a, a2考虑被控对象参数，单倒置摆降维观测器动态方程的一般形式为-/)-10""1 '-aj - /z丨a>-hi0169 +0u +/zq h + /z2一 a，110-1-hoh2 +llh、hoyx, = 69 +hlh，5.3确定三维状态观测器的反馈矩阵

10、h三维状态观测器的特征多项式为|/1/ （a| | = 乂; + ）又-+ （ 11 /?| ）a + （ 1 l/z。一 /z，）设希望的观测器闭环极点为-45, -3+3j, -3-3j,则希望特征多项式为 （a + 45x + 3 + 3yx + 3-3y） = 23+5u2 +2882 + 810比较以上两式系数，解得h=51 -299 -1371 故所求三维状态观测器的动态方程为-51-10"_ 1 _2302"2990169 +0ll +138781371110-16663260 =yx ="1 0 0 0_510 10 0-29969 +0 0 10

11、-13710 0 0 016.matlab仿真分析6.1源程序通过matlab对用全维状态观测器实现状态反馈的倒置摆系统进行仿真分析，下面是文件名为 inversion_pendulum_system.m 的'源程序%倒立摆统建模4析%a）判断系统能控性和能观性clear all;clca=0 1 0 0;0 0-l 0;0 0 0 l;0 0 11 01;b=0;l;0;-l;c=l 0 0 0;d=0;uc=ctrb(a，b);rc=rank(uc);n=size(a);if rc=ndisp(the system is controlled.) elseif rc<ndis

12、p(the system is uncontrolled?) endvo=obsv(a，c);ro=rank(vo);if ro=ndisp(the system is observable/) elseif ro =ndisp(!the system is no observable/)end%b)判断系统稳定性p=poly(a)，v=roots(p)re=real(v);if(length(find(reo)=0)disp(the system is unstable and the ubstable poles are:) v(find(re>0)elsedisp(the syst

13、em is stable!1); end% c)极点配置与控制器-全维状态观测器设计与仿真pc=-l+0.8*j,-l-0.8*j,-15,-15;po=-45 -45 -3+3*j -3-3*j; k=acker(a,b，pc),g=acker(a，c'，po)gp=ss(a，b，c，d); %将受控过程创建为一个lti对象 disp(受控对象的传递函数模型：h=tf(gp)af=a-b*k-g*c;dispc观测器控制器模型：)；gc=ss(af，-g，-k，0)%将观测器-控制器创建为一个lti对象disp(观测器控制器的极点：f_poles=pole(gc)gpgc=gp*gc

14、; %控制器和对象串联disp(观测器控制器与对象串联构成的闭环系统模型：)； gcl=feedback(gpgc, 1,-1)% 闭环系统dispg闭环系统的极点和零点： c_poles=pole(gcl)c_zeros=tzero(gcl) lfg=dcgain（gcl） %低频增益n=l/lfg %归一化常数t=n*gcl; %将?4与闭环系统传递函数串联x0=100 1030 10000 0;% 初始条件向量t=0:0.01:l; %时间列向量r=0*t;%零参考输入y t x=lsim（t，r，t,xo）; %初始条件仿真plot（t，x（:，l:4），-.，t，x（:，5:8） %

15、由初始条件引起的状态响应 title（bf状态响应）legend（x 1 ,；x2,；x3,；x4,；xl hat，2haf，x3hat，4haf）figure（2）step（t）title（*bfp介跃响应）figure（3）impulse（t）title（'bf脉冲响应）6.2程序运行结果the system is controlled.the system is observable.p =1 0-11 0 0 v =003.3166 - 3.3166the system is unstable and the ubstable poles are: ans =3.3166 k

16、=-36.9000 -49.9200 -334.5400 -81.9200 g =962594-14826-64984受控对象的传递函数模型transfer function:s八2 - 1.776e-015 s- 10观测器控制器模型：xlx2x3x4xl-96100x2-255749.92333.581.92x31.483e+004001x46.495e+004-49.92-323.5-81.92b =ulxl-96x2-2594x3 1.483e+004 x4 6.498e+004c =xl x2 x3 x4 yl 36.9 49.92 334.5 81.92d =ulyl 0conti

17、nuous-time model.观测器控制器的极点：f一poles =1.0e+002 *-1.4948+ 1.8786i -1.4948 - 1.8786i1.7424 -0.0328观测器控制器与对象串联构成的闭环系统模型:xlx2x3x4x5xl0100cx200-1036.9x30001cx400110-36.9x596000-96x62594000-2557x7-1.483e+0040001.483e+004x8-6.498e+0040006.495e+004x6 049.92 0-49.92149.92 0-49.92ul 0 0 0 0 -96 -2594 x7 1.483e+004 x8 6.498e+004 c =xl x2 x3 x4 yl 1000d =ulyl 0continuous-time model. 闭环系统的极点和零点: c_poles =-45.0000-45.0000-15.0001-14.9999-3.0000 + 3.0000i -3.0000 - 3.0000i -1.0000+ 0.8000i -1.0000-0.8000ixl x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b =xlx2x3x4x5x70334.50-334.50333.50-323.5x8081.920-81.92081.