统计光学光波的一阶统计性质

1、 光辐射的统计特性，包括光辐射的统计特性，包括性质性质( (在一个时在一个时刻的性质刻的性质) )、二阶二阶( (两个时刻的两个时刻的) )性质和性质和三个三个或更多个时刻的或更多个时刻的) ) 性质。性质。本节限于讨论本节限于讨论。 本节的讨论完全是在本节的讨论完全是在进行的。因为进行的。因为从实际工程应用的观点看来，经典理论（从从实际工程应用的观点看来，经典理论（从出发）几乎对全部光学系统工程的实验出发）几乎对全部光学系统工程的实验都是可以完全胜任的。都是可以完全胜任的。 光振动是光振动是。振动周期一般为。振动周期一般为 10 - 15 秒，秒，现有的光探测器最快的时间分辨率为现有的光探测

2、器最快的时间分辨率为 10-12 秒。秒。 光辐射光辐射 通常是由一段段有限长通常是由一段段有限长(约为约为 109 秒秒)的的组成的，每一段波列的振幅和频率在组成的，每一段波列的振幅和频率在内保持不变或缓慢变化，前后波列间没有固定的相内保持不变或缓慢变化，前后波列间没有固定的相位关系。位关系。光辐射是光辐射是：热辐射，受激辐射。：热辐射，受激辐射。 现有现有只能探测光的平均功率，不可能只能探测光的平均功率，不可能检测出光场随时间变化的函数关系。检测出光场随时间变化的函数关系。 严格的单色光分成两束后，在空间相遇，那么这严格的单色光分成两束后，在空间相遇，那么这两束光的涨落是一致的，或者说是两

3、束光的涨落是一致的，或者说是的，可形成的，可形成稳定的干涉场，称为稳定的干涉场，称为。0( )exp2ju tAejt(振幅为不随时间变化的常量，而相位随时间作线性振幅为不随时间变化的常量，而相位随时间作线性变化变化)。光振荡在时间分布上无限延续，空间上无限光振荡在时间分布上无限延续，空间上无限延伸的，延伸的，光的迭加光的迭加。 令令 代表一个代表一个的电场或磁场一的电场或磁场一个个，u(p, t) 对应的解析信号为对应的解析信号为 2011(, )(, )jreu pu pxdsjr2( , )( , )jtu p tu pe 01x0Pr1Pds 对于任一非单色光束（来自不同原子、分子发对

4、于任一非单色光束（来自不同原子、分子发射的光束），射的光束），不能形成稳定的干涉场，从平均效应来，不能形成稳定的干涉场，从平均效应来看，没有干涉效应，观察不到任何干涉现象。我们看，没有干涉效应，观察不到任何干涉现象。我们称它为称它为的的，光束的迭加光束的迭加。 在非单色光源所产生的光场中，在非单色光源所产生的光场中， 场中某点的场中某点的基本上取决于基本上取决于光源的有效光源的有效频谱宽度频谱宽度 ，只有当，只有当测量时间测量时间比比 小得多时，小得多时，振幅才大体上保持不变。振幅才大体上保持不变。1设设 u(p, t) 是非单色光，其解析信号为是非单色光，其解析信号为 (, )( )exp2

5、jtu p tA t ejt ( , )1 sgn,exp2dTTup tUpjt 0,sgn10,sgn00,sgn1 ， 而而 。相干时间大体上就是我们可以预言相干时间大体上就是我们可以预言光波在空间某一给定点相位的那段时间间隔光波在空间某一给定点相位的那段时间间隔。1同时根据惠更斯菲涅尔原理，可以导出描述非单同时根据惠更斯菲涅尔原理，可以导出描述非单色波传播的基本关系式色波传播的基本关系式20( , )2( , )jtTup tpedUT 2011(, )(, )jrTTeppxdsjrUU有有 10,(, )2TTdrup tdtcup txdscr对上式交换积分次序，然后对时间微商对

6、上式交换积分次序，然后对时间微商, 并令并令T, 就可以得到就可以得到 2000(, )2(, )jtTup tpedUT亦即亦即当当 T 时，考虑到时，考虑到 2(1002,(, )Tjt r cTpexup tdrdsjU 011(,(,)Tu p tr cup txdSj r所谓所谓就是带宽就是带宽 比中心频率比中心频率 小得多的光。小得多的光。2(110( ,)2,jt r cTu p t r cpedU 一个热光源所发出并通过一个一个热光源所发出并通过一个 x 轴方向检偏器轴方向检偏器的光，即为的光，即为 ，实函数，实函数 ux (p, t) 代表代表在点在点 p 和时刻和时刻 t

7、观察到的电场矢量的观察到的电场矢量的 x 分量，称为分量，称为。 绝大部分光源绝大部分光源, 大量的原子或分子大量的原子或分子, 依靠热、依靠热、电或其他手段激发到高能态，然后电或其他手段激发到高能态，然后、跃迁到较低的能态，在这个过程中发光。这种跃迁到较低的能态，在这个过程中发光。这种由由称为称为，所发的，所发的光称为光称为。 由于热辐射的原子数目通常是大量的，相互独由于热辐射的原子数目通常是大量的，相互独立的立的, 所以具有所以具有 的热光源波形的热光源波形 t 可以可以看成是看成是贡献之和：贡献之和： 根据根据中心极限定理中心极限定理可以得出结论：一个偏振可以得出结论：一个偏振热光光源的

8、热光光源的 ux (p, t) 是一个高斯随机过程。是一个高斯随机过程。( , )( , )xixup tup t一切原子( , )( , )xixAp tAp t一切原子2( , )( , )jtxxAp tup t eAx(p, t) 为为 U(p, t) 的的复包络复包络(或称或称复振幅复振幅)：1( , )iNjxixiAp tA e ux(p,t) 的解析信号为的解析信号为2( , )( , )jtxxup tAp t e ui(p, t) 和和 Ai(p, t) 分别是分别是第第 i 个基元个基元辐射体贡献辐射体贡献的波动分量的的波动分量的解析信号表示解析信号表示和和复包络表示复包

9、络表示。1( , )( , )Nxixiup tup t 在一个特定点在一个特定点 p 和时刻和时刻 t 上，上， ux (p , t) 的复包络的复包络Ax (p , t) ，是由大量独立的，是由大量独立的构成的。构成的。 Ax (p , t) 的相位模型看成是统计独立的并且在的相位模型看成是统计独立的并且在 ( -， ) 上均匀分布。上均匀分布。1cosNiiiRA1sinNiiiIA 令令的实部的实部和虚部分别为和虚部分别为 R 和和 I , 则则,xAp t 当当 N 时，时， R、I 分别趋向高斯分布，其形式分别趋向高斯分布，其形式由由和和唯一确定。唯一确定。 11coscos0NN

10、iiiiiiE RE AE A E 11sinsin0NNiiiiiiE IE AE A E2221111sinsin2NNNIijijiijiE IE A AE A2221111coscos2NNNRijijiijiE RE A AE A11cossin0NNRIijijijCE RIE A A Ax (p, t )的实部和虚部是独立的、的实部和虚部是独立的、 分布完全一分布完全一样的零均值样的零均值。于是。于是 具有具有的性质。的性质。22221( , )exp22RIripr i2222112NRIiiE A其中其中 由于由于 E(R) = E( I) = CRI = 0，因此，因此 u

11、x(p, t) 和和Ax (p, t) 都是都是。利用变换利用变换22iraritg12222( , )(cos ,sin )exp220aRIpaa praiaari 其它cossinsincosrraaJaiiaa得行列式得行列式222exp0( )( , )200Aaaaap apada 010( )( , )20aappada 其它求边缘分布求边缘分布: 由于偏振热光的由于偏振热光的是是模的模的平方，即有关系：平方，即有关系：22),(),(),(tpAtputpIxxx 221( )( )21exp0220IAAdApIpapadIIII其它即瞬时光强服从即瞬时光强服从。2( )2I

12、E II 瞬时光强瞬时光强有一个重要性质有一个重要性质: 等于等于，也，也等于等于 ，即：，即：因此瞬时光强的分布还可以写为：因此瞬时光强的分布还可以写为： 1exp00IIIpIII其它偏振热光偏振热光服从服从偏振热光的瞬时强度的概率密度函数偏振热光的瞬时强度的概率密度函数 IIpII I。 光的任何两个相互垂直的分量光的任何两个相互垂直的分量 ux(p, t) 和和 uy(p, t) 都具有下述性质：都具有下述性质： 对于一切相对时间延迟它们都不相关，两个对于一切相对时间延迟它们都不相关，两个过程是统计独立的。过程是统计独立的。 ux(p, t) u*y(p, t) 恒等于零。恒等于零。

13、和和 都是都是圆型复数高斯随机过程圆型复数高斯随机过程。光波的瞬时强度：光波的瞬时强度：22),(),(),(tputputpIyx22( , )( , )xyAp tAp t( , )( , )xyIp tIp t光波的瞬时解析表述：光波的瞬时解析表述：,xyu p tup t iup t j2( , )( , )jtxxup tAp t e2( , )( , )jtyyup tAp t e22expxxIxIpIII22expyyIyIpIII1( , )( , )( , )2xyE Ip tE Ip tI p t非偏振热光非偏振热光的的0( )xyIIIxIxxp IpIpIIdI022

14、22expexpIyxxIIdIIIII222exp00IIIII其它非偏振热光非偏振热光的的曲线曲线 IIpII I 任一任一的瞬时光强，总可以分成两的瞬时光强，总可以分成两个互不相关的偏振分量的强度之和。个互不相关的偏振分量的强度之和。12( , )( , )( , )I p tIp tIp t两分量的平均强度为：两分量的平均强度为：1112IIP2112IIP121210IIII线偏振光自然光P定义：定义： 为光的偏振度为光的偏振度P和和的一阶的一阶和和 111111212expexp11IIIpIIIII = PP222222212expexp11IIIpIIIII -= PP1111

15、( )1112IMIjIjP2211( )1112IMIjIjP 由于由于 和和 互相独立，它们和的特征函互相独立，它们和的特征函数可表示为两特征函数的积数可表示为两特征函数的积121211( )( )( )11IIIMMMjIjI 对对 作作得得 122expexp11IIIpIIIIPPP 1212111122IIjjPPPPPPP瞬时强度的标准偏差瞬时强度的标准偏差： 22202dIjMd 22222222113122IIIIIIPP2112IIP 22332111342IIPPPP 激光是由大量原子或分子激光是由大量原子或分子 (激活媒质激活媒质) 一致地作一致地作受激辐射而产生的，它

16、的受激辐射而产生的，它的决定于它的决定于它的。 激光器首先是一个受噪声驱动的激光器首先是一个受噪声驱动的器件，器件，鉴于激光器的多样性，即使是同一激光器，工作鉴于激光器的多样性，即使是同一激光器，工作在在，其性能也有很大不同，因此，对于，其性能也有很大不同，因此，对于激光器产生辐射的讨论，没有统一的模型。激光器产生辐射的讨论，没有统一的模型。 tStu02cos)( 假设激光为纯粹的线偏振单色光，光场的实值假设激光为纯粹的线偏振单色光，光场的实值表示为：表示为： 由于由于知道这个振荡的知道这个振荡的，所以把，所以把 看做是一个均匀分布在看做是一个均匀分布在 (，) 上的随机变量。上的随机变量。

17、因此因此 u(t) 是一个是一个、随机过程。由随机过程。由于平稳过程的统计性质不随时间变化，于平稳过程的统计性质不随时间变化，。1200Eexpcosexpcos1expcosUMjSjSdjSdJS 2210UuSPuSu其它则，根据特征函数的定义，可得单模激光的概率密则，根据特征函数的定义，可得单模激光的概率密度函数：度函数： co ssinutSdSd t = 0令， 则，22ex1pSUSMjSd 2220exp2Iu tSjtS 2IpIIS 0( )cos 2u tStt 0( )2ttt令：令：定义定义： 00( )11( )22iRddtttdtdtt 1( )2Rdttdt其

18、中其中 2( )tRtd假如，假如，( )Rt具有零均值，并为平稳涨落，则有具有零均值，并为平稳涨落，则有在时间（在时间（t, t +) 内，内，（） 2122211212221221212124( )224(,)()(RRRD t tttErectdttttttrectrectEd dttttttE 2124( , )ttd d 208(1)d21tt这里这里 2120( , )8tdkD t 208kd这里这里相位增量的均方值正比于相位增量的均方值正比于。这是这是粒子布朗运动和粒子布朗运动和过程的特征。过程的特征。由于相位仍然由于相位仍然均匀分布在（均匀分布在（-，+）上，）上，的的统计分

19、布仍然统计分布仍然 如如的一样。的一样。 1( )2Rdttdt如果时间延迟如果时间延迟 的相关的相关时间，则结构函数变成：时间，则结构函数变成：( )Rt 0( )cos 2( )nu tStu tt写为解析信号写为解析信号0022( )jtjtnu tSeA e其中其中 njtjnnSSeAA e 这里这里 S 和和0 是已知数。是已知数。 是扩散型时变随机相是扩散型时变随机相位，位， un(t) 是一个是一个强平稳噪声随机过程强平稳噪声随机过程。 噪声项的强度随着激光器工作区在阈值上越来噪声项的强度随着激光器工作区在阈值上越来越远而趋于零。越远而趋于零。 t该模型该模型代表代表。 22*

20、2RennISASS A为为。un (t) 代表小量的残余自发辐射，代表小量的残余自发辐射， un (t) 服从高斯分布，其平均值为零，标准偏差服从高斯分布，其平均值为零，标准偏差S ( ) 。的强度，可以理解为一个很强的大小恒的强度，可以理解为一个很强的大小恒定而位相随机分布的定而位相随机分布的 与一个很弱的与一个很弱的 An ( un的复包络的复包络) 求和的问题，即求和的问题，即*22cosrennnnIRS ASAA XAn是是的振幅，服从的振幅，服从分布，分布，2 cosnXS服从以下分布服从以下分布221( ),24XpxxSSx222()exp,02nnnAnnAApAA ， S

21、 是常数，是常数， 独立无独立无关，关， 是均匀分布在是均匀分布在 ( ,) 上的随机变量上的随机变量。,njjnnSseAA e,n ,n 令令An与与 X 是独立的，其联合概率密度函数为两者之积是独立的，其联合概率密度函数为两者之积现在是求现在是求 I r = An X 乘积的概率密度函数乘积的概率密度函数222222011()exp24rnnIrnnrnAApIdAASIA2224nrS AI令令则有则有,( )nnA XnAnXpA xpApx22222222220411exp284nrnnrdS AIASS AI21 222222201()expexp888rrIrIpIdSSS1

22、22222022e1()exp22221exp2222xprrIrrIpSSSdISI228S令令则有则有 22*2RensIE IESES ASI可见可见 Ir 服从服从均值为均值为；方差为方差为 的高斯的高斯分布。所以分布。所以222S21( )exp44SInSnSIIp II II I22,EnSnISIA式中222*22222222EE2Re4Ecosco4E4E2s12InnnnnnnSIIS ASASASAIEI 因此，因此，近似服从下述近似服从下述。当。当 时时nSII 激光器光强概率密度函数激光器光强概率密度函数 pI( I) 的解析解是的解析解是 求解求解 方程得出的，适用

23、于激光器工作在高方程得出的，适用于激光器工作在高于于, 等于和低于阈值的等于和低于阈值的情形，情形， 20021exp0( )100IIwIpIIerf wII 202expwerf wxdxerfwerf w - w-工作参量，随激光器工作在不同的区域而异，工作参量，随激光器工作在不同的区域而异， erf(w)是一个标准误差函数，是一个标准误差函数，I0 是阈值时的平均强度，是阈值时的平均强度， 201weIIwerf w相对于阈值时的平均强度而言，激光器输出的平均相对于阈值时的平均强度而言，激光器输出的平均强度为强度为（1）激光器工作在）激光器工作在， w 0 ， PI( I) 的形状为高

24、斯密度函数，即的形状为高斯密度函数，即20001exp0( )0IIIIp III其它w单模激光器光强概率密度函数的单模激光器光强概率密度函数的解析解解析解 假定激光器工作在远远高于阈值处，其稳态输假定激光器工作在远远高于阈值处，其稳态输出为出为 1( )cos 2Niiiiu tStt式中式中 N 为模式总数，为模式总数， 和和为第为第 i 个模式的个模式的和和， 为这个模式的随时间涨落的为这个模式的随时间涨落的。 假定各个模式假定各个模式，则，则光矢量的光矢量的为为0( )E expcos1expcos2iUiiiiiiMj SjJSSd0iJS是第一类零阶贝塞尔函数。是第一类零阶贝塞尔函

25、数。于是于是为为01NUiiMJS 若一切模式都有相等的振幅若一切模式都有相等的振幅iSIN0NUMJIN 为了获得为了获得的概率密度函数，必须将特征的概率密度函数，必须将特征函数作付里叶逆变换。函数作付里叶逆变换。 2212012UuIpIuIuK其它式中式中 K( ) 是第一类完全椭圆积分。是第一类完全椭圆积分。：对于：对于相等强度的相等强度的，求出的，求出的如下：如下： 求求的的与求场矢量的概与求场矢量的概率密度函数相比率密度函数相比首先研究首先研究的的情况，它们的强度分别情况，它们的强度分别为为 和 。12(1) cos12(1)cosIkIk Ikk IIkk 21212ttt 式中式中 由由可得可得为为 12tt01( )exp121cos2exp21IMj Ikkdj I JIkk作傅里叶逆变换即可求得作傅里叶逆变换即可求得为为221( )21Ip IIkkII121121IkkIkkI 由于由于2 和和1 均匀分布且统计独立，考虑到均匀分布且统计独立，考虑到 是是余弦函数的宗量，余弦函数的宗量， 在在 (-,) 上是均匀分布。因此上