高三数学复习选讲：数列的最大与最小项问题-人教版

1、精品资源高三数学复习选讲：数列的最大与最小项问题学习要点：数列的最大与最小项问题是一类常见的数列问题，也是函数最值问题的一个重要类型， 问题的解答大致有下面一些方法：1 .直接求函数an = f(n)的最大值或最小值，根据 f(n)的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据 f (n)本身的性质求出f (n)的最值，也可以考虑求导解决，但必须注意，不能直接对f(n)求导(因为只有连续函数才可导)，而应先对f(n)所在的函数f(x)(x >0)求导，得到f(x)的最值，然后再分析 f(n)的最值.2 .考察f(n)的单调性：f (n+1) f (n) >0(或<0

2、),然后卞!据f(n)的单调判断f (n) 的最值情况.3 .研究数列an = f (n)的正数与负数项的情况，这是求数列an的前n项和&的最大值或最小值的一种重要方法.例1首项为正数的等差数列4,它的前4项之和与前11项之和相等，问此数列前多少项 之和最大？解法一记4的前n项和为Sn，二S4 = S11 ,4 311 1014ald = 11ald = da1 :二 0,227. Sn =na1 n(n -1)(-1a1)二包(-n2 15n)2714a115 2 225-；-(n -),1424,n =7或门=8日,Sn最大，一，1解法二由解法二知d = -1a <0,，an

3、是首项为正数的单调递减数列，所有的正数项的和最大,S4 -S11 = a5 a6a11 =0= 7a8 =0a1 >a2 >a7 > a8 =0,而0 =a8 >a9 > a10 a二a7中前7项为正数项，从第 9项开始各项为负数，而S7 =S8,二S7或S8最大.评析解法一抓住了 Sn = f (n)是二次函数的特点，通过配方法直接求出了最大项.而解法通过考察an的单调性与正、负项的情况得到最大项.例2设等差数列an的前n项和为Sn ,已知a3 =12,02 >0, S13 >0,(I)求公差d的取值范围；(II)指出§,S2,，Sn中哪一

4、个最大？说明理由；Si S2Sn(III)指出,中哪一个最小？说明理由.ai a2an一,_6(a1 a12)_解析(I) S12 A0=3(a6 +a7)>0= a6 +a7 >0 ，2: S13 <0= 13a7 <0= a7 <0，2a3 +7d >024由、得，=<d <-3;、a3 +4d c07a6 a a7 a 0(II)由、得，67，而d <0,an为递减数列，a7 <0a1a2 -，a6 0a7 a8,- S1 <S2<S6,而S6 >S7 >S8 >，故&最大；(III ) &

5、lt; S <S2<<S6>S7>S8>">Sl2 >0>Sl3>Sl4>,二在盅中，只有§7,色,，§2"这六项为负值，而其余各项均为正数，ana7 a8ai2r Sn-的最小项只可能是这六项中的一项, anS7 S8S12 00cos7s8S12 c111=>>->0>a >->0a?a8a12、a7a8a12=S7 <S8 <- <S12 <0,故在Sn中,S7 最小.a? a8a12ana7评析通过讨论数列中的正、负项(并

6、结合讨论单调性)是求数列前n项和的最大、最小值的重要方法.例3设n WZ,当n是什么数时，Sn =|n 1| + |n 2| + | n 3| 1 + | n100|取最小值，并说明理由.解析(1)当 nW0时Sn 之1+2+100=505Q(2)当n21时，考察Sn的单调性,Sn1-Sn=(|n| |n-1| |n-99|)-(|n-1| |n-2| | n -1001) =n-| n -100|,当n至100时,Sn书Sn =100>0,Sn单调递增，二当 n 2 100时,Sn *Sioo =4950;当1 Wn <100时,Sn+-Sn =2n -100,当1 Wn E49

7、时Sn* <Sn,Sn单调递减；当26Mn <100寸Sn+ >Sn,Sn单调递增;而当 n = 50时S51 = S50 = 49 48 471 0 1 2 349 5049 50 . 50 5122二 2500欢迎下载综上，当 n=50 或 n=51 时，(Sn)min =2500.精品资源评析命题中的数列是比较特殊的数列，虽然解题方案上还是通过考察数列的单调性，但具 体过程更灵活.例4已知函数f(x) =3x2+bx+1是偶函数，g(x) =5x+c是奇函数，正数数列anN2足：& =1, f (an 1 an) -g(anan) -1. 若an的前n项和为Sn

8、，求lim Sn；n1二(II)若bn =2 f (an)g(an书)，求bn中的项的最大值和最小值.2解析(I)由条件得 b =c=0,，f(x)=3x +1,g(x)=5x,由条件得 3(an 1 an)2 -5(an a2) =022- 3an 1 an 问-an =0= (3an 1 -2an)(an 1 an) =0an A0,二亘土 =2,.an是公比q =2是等比数列,an33a1lim Sn = 3;二 1 -q(II) bn =*(an) =2f (an) g(an由)= 6(an ；5)2 +83,18542、n51an =(一) ,0 ：二 an 三1,0 :： L,31

9、8 214当 n =1 时 bn 取大，即(bn)max =6 =,3丁当n=1,2,3,4,5，时,an =1,2,4,8，吗3 9 27 811658324548 < < 3 < < 374243811827 162162162,，当an =27，即n =4寸,(bn)min = b4=9 (27)评析由于bn是关于an的二次函数，所以选择配方法完成， 但与普通二次函数不同的是函数的定义域不是连续的数集，而是由间断的实数构成，这也是数列中才会出现的特点.例5求数列an =Un的最大项与最小项.欢迎下载精品资源解析通过计算可知：当n 一 3时单调递减，由此可得最大项与

10、最小项，但是用一般方法:,、aan书-an或上却证明不了 an的单调性.an11 考察函数 f (x) =xx(x 至3)的单倜性，ln f(x) = -lnx,x1 - In x2x11 - ln x1两边对 x 求导得：f (x) = L，, f '(x) = xxf(x)x二当x之3时f (x) M0, f (x)单调递减,: V3 > V4 >5/5 A>Vn >1,又由8 <9= <2 < 3'3,.1 ： 2 ：3 3 4 4 5 51,故,an的最大项为a3 =V3，最小项为& =1.解法二用数学归纳法证明当n >3Bntn7M <Vn,1 当n =3时，= 64 <81= 124y胃纸= V4 <V3;2假设当n = k(k之3)时*R1 < Vk,即(k 1)k ：二 kk1 =(k 1)