广东省湛江一中等“四校”高三上学期第一次联考数学理试题含答案

1、高考数学精品复习资料2019.5绝密绝密使用完毕前使用完毕前“四校”20 xx-高三第一次联考理科数学试题本试题卷共本试题卷共 4 4 页，页，2424 题（含选考题题（含选考题） 。全卷满分。全卷满分 150150 分。考试用时分。考试用时 120120 分钟。分钟。注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2b 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、选考题的

2、作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2b 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5、考试结束后，请将答题卡上交。第第卷卷一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要求的求的.1设集合|(3)(1)0axxx，|lg(23)bx yx，则ab （）a(3,)b3 ,3)2c3(1, )2d3( ,3)22设复数z满足(1)3i zi，其中i为虚数单位，则在复平面内,z对应的点的坐标是()a( 2,2)b(1,

3、 1)c(1,) id(2, 2 ) i3 张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有懒女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个懒惰的女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布， 第一天织五尺， 最后一天织一尺， 三十天织完， 问三十天共织布 （）a30尺b90尺c150尺d180尺第 6 题图4设( )f x是 r 上的任意函数,则下列叙述正确的是（）a( ) ()f x fx是奇函数b( )()f xfx是奇函数c( )()f xfx是偶函数d( )()f xfx是偶函数5若函数1.ln ,(0),( )2,(0)xx x

4、f xex，则1( ( )f fe（）a1b0c1d36执行如图所示的程序框图，如果输入4n ，则输出的s ()a67b37c49d897如图，格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是()a6b7c12d148已知双曲线22221xyab（0,0ab）的离心率为2，则该双曲线的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（）a12b22c33d329已知函数2( )4f xx，( )g x是定义在(,0)(0,)上的奇函数，当0 x 时，( )lng xx，则函数( )( )yf x g x的大致图象为（）10设f为抛物线:c23yx的焦点，过f且倾斜角为30

5、的直线交c于a，b两点，第 7 题图abcdo为坐标原点，则oab的面积为（）a6332b9 38c94d3 3411函数xbxaxfcossin)(（0a）的图象关于4x对称，则)43(xfy是（）a图象关于点)0 ,(对称的函数b图象关于点)0 ,23(对称的函数c图象关于点(,0)2对称的函数d图象关于点(,0)4对称的函数1212 已知函数( )xaf xxe存在单调递减区间， 且( )yf x的图象在0 x 处的切线l与曲线xye相切，则符合情况的切线l（）a有3条b有2条c 有1条d不存在第第卷卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第

6、(22)(24)题为选考题，考生根据要求作答.:二、填空题：本二、填空题：本大大题共题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.1313已知实数x、y满足0401xyxyx，则yx 2的最小值是.1414已知向量a与b的夹角为120，3a ，13ab，则b .151525(32)xx的展开式中x的系数是.1616数列 na的前n项和为ns，且11a ，12nnas，则数列 na的通项公式为.三、解答题三、解答题： （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17 （本小题满分 12 分）如图，在梯形abcd中，/ /abcd，6bc ，1cos3abc .(

7、)若4bac，求ac的长；()若9bd ，求bcd的面积.18 （本小题满分 12 分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为r的函数：1( )f xx，22( )fxx，33( )fxx，4( )sinfxx，5( )cosfxx，6( )2fx （）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望19 （本小题满分 12 分）如图，在三棱锥pabc中，pc 平面abc，3pc ，2acb，,d e分别为线段,ab

8、 bc上的点，且2cdde，22ceeb.() 证明：de 平面pcd；() 求二面角apdc的余弦值.20 （本小题满分 12 分）已知椭圆:c22221xyab(0)ab的离心率为36，短轴一个端点到右焦点的距离为3.() 求椭圆c的方程;() 设直线l与椭圆c交于a、b两点，坐标原点o到直线l的距离为23，pcedba求aob面积的最大值.21 （本小题满分 12 分）已知函数1( )(2)ln2 f xaxaxx()当1a 时，求函数( )f x的极值；()讨论)(xf的单调性；()若对任意的12( 3, 2),1,3ax x ，恒有12(ln3)2ln3( )()maf xf x成立

9、，求实数m的取值范围请考生在第请考生在第（22） 、 （23） 、 （24）题中任选一题作答题中任选一题作答,如果多做如果多做,则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分。22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，o过平行四边形abct的三个顶点,b c t，且与at相切，交ab的延长线于点d（）求证：2atbt ad；（）若ef、是bc的三等分点，且dedf，求a23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，曲线c的方程为2220 xxy，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为4r（）。（）写出c的极坐标方

10、程，并求l与c的交点m，n的极坐标；（）设p是椭圆2213xy上的动点，求pmn面积的最大值。24 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数( )23()f xxxxm mr（）当4m 时，求函数( )f x的最大值；（）若存在0 xr，使得01()4f xm，求实数m的取值范围高三第一次高三第一次“四校四校”联考理科数学试题联考理科数学试题参考答案参考答案一、选择题答题卡（共一、选择题答题卡（共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分） 。题号123456789101112答案dbbdacdabcad二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共

11、 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）. .13214.415.24016.21(1)2 3(2)nnnan详细解答：详细解答：一、一、本大题共本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的. .1 【解析】【解析】d. . |13axx，3 |2bx x，3 |32abxx，故选故选 d。2 【解析】【解析】b. . 2 121111iziiii , ,故选故选 b。3 【解析解析】b. .问题模型为等差数列，首项为 5，末项为 1，项数为30，

12、其和为30 (5 1)902，故故选选 b。4 【解析】【解析】d. .a 选项中( )( ) ()f xf x fx则()() ( )( )fxfx f xf x，即函数( )( ) ()f xf x fx为偶函数，b 中( )( )()f xf xfx，()()( )fxfxf x此时( )f x与()fx的关系不能确定，即函数( )( )()f xf xfx的奇偶性不确定，c 中( )( )()f xf xfx，()()( )( )fxfxf xf x，即函数( )( )()f xf xfx为奇函数，d 中( )( )()f xf xfx，()()( )( )fxfxf xf x，即函数

13、( )( )()f xf xfx为偶函数，故选故选 d。5 【解析】【解析】a. .11( )ln1fee ，01( ( )( 1)21f ffee ，故选故选 a。6. 【解析】【解析】c. .由图得，输出的s为数列12121nn的前四项和，而1111=()21212 212 +1nnnn，11s =(1)22 +12 +1nnnn，44s =9，故选故选 c。7 【解析】【解析】d. .受三视图的启发，据三视图，想象感知、分析校正、操作确认得原实物图为：在一个水平横躺的底面半径为2，高为4的圆柱中，在其前方、上侧的左侧挖去18部分后余下的部分. 所以该几何体的体积为27(2 ) 4148.

14、故选故选 d。8 【解析】【解析】a. . 如图，过双曲线的顶点a、焦点f分别向其渐近线作垂线，垂足分别为b、c，2cea|1|2aboaafcofc，故选故选 a。9 【 解 析 】【 解 析 】 b. . 因 为( )yf x是 偶 函 数 ，( )yg x是 奇 函 数 ， 所 以( )( )yf xg x是 在(,0)(0,)上的奇函数，可排除 a、c，当01x时，( )( )0f xg x可排除 d，选选 b10 【解析】【解析】c. .解法一：解法一：3( ,0)4f，设设1122()()a xyb xy，222312sinsin 30pab，12111319sin12222424

15、oabsof yyof ab。故故选选 c。解法二：解法二：直线ab的方程为3tan 30 ()4yx，即3334yx.联立y33x34，y23x，将23yx 代入并整理得24 3369 30yy，123 3yy，1294y y 22121212111399()4(3 3)4()222444oabsof yyofyyy y解法三：解法三：联立y33x34，y23x，将代入并整理得13x272x3160，x1x2212，线段|ab|x1x2p2123212，又原点(0，0)到直线 ab 的距离为 d3413138.1139|122284oabsab d。故故选选 c。11 【 解 析 】【 解

16、析 】 a. . 函 数( )f x的 图 象 关 于4x对 称 ，(0)()2ff， ba ， ( )sincosf xaxax，333()sin()cos()444fxaxax，333()sin()cos()0444faa，故选故选 a。12 【解析】【解析】d.1( )1xafxea ，依题意可知，1( )10 xafxea 在(,) 有解，0a 时，则( )0fx，( )0fx在(,) 无解，不符合题意；0a 时，( )0lnlnxaxfxaeaxaaa，符合题意，所以0a 易知，曲线)(xfy 在0 x的切线l的方程为1)11 (xay.假设l与曲线xy=e相切，设切点为),(00y

17、x，则00011:1(1)1xxealexa ，消去a，得0001xxee x，0011xex，画出1,1xyeyx的图象，知有唯一交点0 x，且01x ，0 xee，而0a时，0111xea ，与0 xee矛盾，所以不存在故选故选 d。:二、填空题：本二、填空题：本大大题共题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.13 【解析】2画出可行域abc，解得(1, 1)a，(1,5)b，( 2,2)c ，代入得2xy最小值为2 ( 2)22 14. 【解析】43,13,aab3| | cos120|2a babb ，222|2|abaa bb ，21393|bb，则1b (舍去)或4b .15

18、. 【解析】240解法一：解法一：2555(32)(1) (2)xxxx， x的项是455544555522240c xcc c xx， x的系数是240。解法解法二二：1445432240cxcx16. 【解析】21(1)2 3(2)nnnan11a ，2122aa，12nnas，12nnas(2)n ，112()2nnnnnaassa，13nnaa，13nnaa(2)n 又212aa，数列 na自第2项起是公比为3的等比数列，21(1)2 3(2)nnnan三、解答题三、解答题： （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）1717 （本小题满分（本小题满

19、分 1 12 2 分）分）解解： （）因为1cos3abc ，所以abc为钝角，212 2sin1 cos193abcabc，2 分在abc中，sinsinbcacbacabc，即62 2sin43ac，4 分解得8ac .5 分（）因为/ /abcd，所以abcbcd，故1coscos3bcdabc ，6 分2 2sinsin3bcdabc.7 分在bcd中，213681cos32 6cdbcdcd ，9 分整理得24450cdcd，解得9cd ，11 分所以112 26 9 sin6 918 2223bcdsbcd .12 分1818 （本小题满分（本小题满分 1 12 2 分）分）解解:

20、（1）1( )f xx， ，33( )fxx，4( )sinfxx，这三个函数都是奇函数”这三个函数任意两个相加得到的函数是奇函数1 分记事件 a 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数” ，由题意知.51)(2623ccap4 分（2）可取1,2,3,45 分13161(1)2cpc，113311653(2)10ccpcc7 分111111133332211111111654654331(3) , (4)2020cccccccppccccccc；9 分故的分布列为1234p2110320320111 分.47201420331032211e的数学期望为.4712 分1919

21、（本小题满分（本小题满分 1 12 2 分）分）解解： （）由pc 平面abc，de 平面abc，故depc .2 分由2ce，cd = de2，222cddecedecd .2 分又ccdpc， de 平面pcd.5 分（）由（）知，cde为等腰直角三角形，4dce，如图，过d作df垂直ce于f，易知fcdf 1 fe，又已知1eb，故2fb.由2acb得acdf /，32bcfbacdf,故2323dfac.7 分以c为坐标原点，分别以,ca cb cp 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则)0 , 0 , 0(c，)3 , 0 , 0(p，)0 , 0 ,23(a，)0

22、 , 2 , 0(e，)0 , 1 , 1 (d，(1, 1,0)ed ，( 1, 1,3)dp ，1( , 1,0)2da .8 分设平面pad的法向量为),(1111zyxn ，由10n dp ，10n da ，得, 021, 0311111yxzyx故可取) 1 , 1 , 2(1n.9 分由(i)可知de 平面pcd，故平面pcd的法向量2n可取为ed，即)0 , 1, 1 (2n.从而法向量1n，2n的夹角的余弦值为212121,cosnnnnnn(2,1,1,) (1, 1,0)364 1 11 1 0 .11 分故所求二面角apdc的余弦值为36.12 分2020 （本小题满分（

23、本小题满分 1 12 2 分）分）解解： （）设椭圆的半焦距为c，依题意633caa，2 分1b ，3 分所求椭圆方程为2213xy4 分（）设11()a xy，22()b xy，（1）当abx轴时，l为32x ，代入2213xy得y 32，3ab5 分（2）当ab与x轴不垂直时，设直线ab的方程为ykxm由已知2321mk，得223(1)4mk6 分把ykxm代入椭圆方程，整理得222(31)6330kxkmxm，22730k ，122631kmxxk，21223(1)31mx xk7 分221212(1)()4abkxxx x22222223612(1)(1)(31)31k mmkkk22

24、222222224212(1)(31)3(1)(91)123(31)(31)961kkmkkkkkkk 9 分当0k 时，3ab ，10 分当0k 时，22121233212 3696abkk 当且仅当2219kk，即33k 时等号成立 11 分综上所述max2ab当ab最大时，aob面积取最大值max133222sab12 分2121 （本小题满分（本小题满分 1 12 2 分）分）解：解：()函数的定义域为(0,)，当1a 时，函数1( )ln2f xxxx22221121(21)(1)( )2xxxxfxxxxx，1 分0 x ，10 x 令( )0,fx则12x ，令( )0,fx则1

25、02x2 分所以函数( )f x在1(0, )2上单调递减，在区间1( ,)2上单调递增，所以函数( )f x在12x 处取得极小值，极小值为3ln2，( )f x无极大值.3 分()2222212(2)1(21)(1)( )2aaxa xxaxfxaxxxx当0a 时，221( )xfxx，令( )0,fx则12x ，令( )0,fx则102x所以函数( )f x在1(0, )2上单调递减，在区间1( ,)2上单调递增，4 分当0a 时，21(21)()( )axxafxx，令1211( )0,2fxxxa 得，当0a 时，则10 xa，令( )0,fx则12x ，令( )0,fx则102x

26、所以函数( )f x在1(0, )2上单调递减，在区间1( ,)2上单调递增，5 分当2a 时，112a ，22(21)( )0 xfxx，函数( )f x在定义域(0,)单调递减；6 分当20a ，112a ，令( )0,fx则112xa ，令( )0,fx则102x或1xa 所以( )f x在区间1(0, )2和1(,)a上单调递减，在区间11( ,)2a上单调递增；7 分当2a 时，112a ，令( )0,fx则112xa，令( )0,fx则10 xa 或12x 所以( )f x在区间1(0,)a和1( ,)2上单调递减， 在区间1 1(, )2a上单调递增.综上，当0a 时，函数( )f x在1(0, )2上单调递减，在区间1( ,)2上单调递增；当2a 时，函数( )f x在定义域(0,)单调递减；当1120( )(0, ),(,)2af xa 时,在区间上单调递减，在区间11( ,)2a上单调递增；当2a 时，( )f x在区间11(0,),( ,)2a上单调递减，在区间1 1(, )2a单调递增.8 分()由()知，当( 3, 2)a 时，函数( )f x在区间1,3上单调递减，所以当1,3x时，maxmin1( )(1)12 ,( )(3)(2)ln363f xfa f xfaa ，9 分问题等价于：对任意的( 3, 2)a ，恒有1(ln3)2l