考研数学高数之微分学的应用中公考研

1、在考研数学中，微分学的应用是考查频率比较高的一个大的考点。微分学的应用包括一元函数微分学的应用以及多元函数微分学的应用，下面中公考研数学教研组的吴金凤老师就这两方面分别给大家介绍在考试过程中我们需要注意的内容。一元函数微分学的应用一元函数微分学的应用包含的知识点很多，包含数一数二数三公共考查的部分以及单独考查或者数一（比如切平面、法线等）或者数一数二（微分学的物理应用）或者数三（微分学的 经济学应用）的部分，这里我们主要介绍的是公共考查的部分，而一部分所占的比重也是非 常大的。首先我们看第一个应用：切线和法线.这个考点可以说是微分学应用中最简 单的考点，它不存在难理解的地方，大家只需要记住一句

2、话工对于可导函数 曲线上任意一点的切线斜率等于该点的导数值,也就是说曲线¥ = /在I=/处 的切线方程可以表示为=7（工.-再）于六%）.知道了切线的斜率，法线的斜率 也就知道了，从而法线方程为1=&）-/国）,这个考点解题的关键就在 于求导数，所以考试如果想增加这类题型的难度和综合性，就会在求导过程上做 文章，但是大家只要掌握竭数的方法，这类问题就不会有问题口下面我们看第二个应用：单调性和凹凸性小首先我们看这两个的定义：1.单 调性：对于值司上连续（已为内可导的函数/（心，如果在6切上有尸（幻0,则 函数在匕句上单调递增；如果在g切上有厂0,则函数在匕目上单调递减, 工凹

3、凸性对于gw上连续g分内具有7寓和三.阶导数的函数/8，如果在（龙切 上有广（工）0,则函数在M句上是凹函数如果在3与上有尸（工）0,则函数在 gm上是凸函数,由单调性定理我们可以看出来凹凸性过诊的就是导困数的单调 性所以这里我们主要讨论函数的单调性,一般来说，单调性是分三个方面去考查大家的：1 .直接考查，也就是说给出来函数直接判断函数的单调性，这时候的关键就是要求出一阶导数并且判断一阶导数的正负号，所以对于直接考查大家会求导数就可以了。2 .不等式的证明，这也是考试的常考题型之一，也是需要结合单调性去证明的。这一部分的证明题步骤固定：一是构造辅助函数；二是求端点值；三是根据端点值去判断构造

4、出来的 函数是递增或者递减就可以了。3 .判断方程根的个数。一般来说看到方程的根，我们就想到了零点定理，但是由零点定理我们只能判断出有根而不能判断出具体的个数， 所以我们的解决办法就是单调性与零点定 理结合使用去判断出方程根的具体个数。最后一个应用是极值和拐点。关于极值和拐点，大家记住拐点就是导函数的极值点，所以我们在这里主要讨论极值点。这里我们不去详细的说它们的定义以及必要条件和第一、第二充分条件，大家可以自己看课本， 我们主要想说的是什么时候用什么条件去解决问题。吴金凤老师认为，一般来说，题目中告诉已知点极值点或者拐点，让求参数的时候我们就可以用必要条件去解题；如果题目中给出的函数是可以求

5、出来单调区间，那么我们就使用第一充 分条件去判断极值点，因为此时我们可以判断一点左右两边导数的正负；如果题目中给出的是隐函数或者参数方程的时候，我们就可以用第二充分条件去解决问题，因为此时我们只能知道一点处函数的信息。以上就是一元函数微分学的应用，也是在考试过程中常考的知识点， 所以大家一定要对于它们给出足够的重视。多元函数微分学的应用多元函数微分学的应用就是求多元函数的极值，其中包括条件极值与无条件极值。无条件极值与一元函数的极值是对应的，这里就不需要多讲。条件极值我们采用拉格朗日数乘法去解决问题，步骤也是固定的：一是构造出拉格朗日函数期五聚/);二是分别求出,并令它们等于0；三是解出极值点

6、。对于条件极值大家只需要记住所求即所得，即求出来的点就是题目中要求的点。以上就是我们微分学的应用， 大家主要是掌握一元函数微分学的应用。吴金凤老师建议 各位同学，这部分的内容比较多， 考查的频率也很高， 所以大家在复习的过程中一定要给予 足够的重视。以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途tojibko AJiajiioAe ak pTOpwenojib symaisaidyHeHMia c ,1 e a o b 团 hhha o ji >k h eiHcnojib3OBaTbCH b KOMMepnecKHx uejiax.For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werd