最新初中数学教案-解直角三角形

1、初中数学教案 - 数学教案解直角三角形教学建议1知识结 构：本小节主要学习解直角三角形的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之 间的关系以及直角三角形的解法 .2重点和难点分析：教学重点 和难点：直角三角形的解法 .本节的重点和 难点是直角三角形的解法 .为了使学生熟 练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三 边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系 .正确选用这些关系，是正确、迅速地解直角三角形的关 键.3. 深刻认识锐角三角函数的定 义，理解三角函数的表达式向方程的 转化 .锐角三角函数的定 义：实际上分别给了三个量的关系：a、b、c 是边的长、和

2、是由用不同方式来决定的三角函数 值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的 值是有一个锐角的数值参与其中 .当这三个实数中有两个是已知数 时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素 .如：已知直角三角形 ABC 中，求BC 边的长.画出图形，可知边 AC，BC 和三个元素的关系是正切函数（或余切函数）的定 义给出的，所以有等式，由于，它实际上已经转化了以 BC 为未知数的代数方程，解 这个方程，得.即得 BC 的长为.又如，已知直角三角形斜 边的长为 35.42cm，一条直角边的长 29.17cm，求另一条边所对的锐角的大小 .画出图形，可设中，于是，

3、求的大小时，涉及的三个元素的关系是也就是这时，就把以为未知数的代数方程 转化为了以为未知数的方程，经查三角函数表，得.由此看来，表达三角函数的定 义的 4 个等式，可以转化为求边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成 为解三角形的重要工具 .4. 直角三角形的解法可以 归纳为以下 4 种，列表如下：5.注意非直角三角形 问题向直角三角形 问题的转化由上述（3）可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的 .值得注意的是，它不仅使直角三角形的 计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路 .不难想到，只要能把非直角三角形的 图形问题转化为直角三角形 问题，就可以

4、通过解直角三角形而 获得解决 .请看下例 .例如，在锐角三角形 ABC 中，求这个三角形的未知的 边和未知的角（如图）这是一个锐角三角形的解法的 问题，我们只需作出 BC 边上的高（想一想：作其它边上的高为什么不好 .），问题就转化为两个解直角三角形的 问题 .在 Rt 中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在 Rt 中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高 AD 可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了 .解法如下：解：作于D，在Rt 中，有；又，在 Rt 中，有又，于是，有由此可知，掌握非直角三角形的 图形向直角三角形 转化的途径和方法是十分重要的，如（1）

5、作高线可以把锐角三角形或 钝角三角形 转化为两个直角三角形 .（2）作高线可以把平行四 边形、梯形转化为含直角三角形的 图形.（3）连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的 图形 .（4）如图，等腰三角形 AOB 是正 n 边形的n 分之一 .作它的底 边上的高，就得到直角三角形 OAM，OA 是半径，OM 是边心距，AB 是边长的一半，锐角 .6. 要善于把某些 实际问题转 化为解直角三角形 问题 .很多实际问题 都可以归结为图 形的计算问题，而图形计算问题又可以 归结为解直角三角形 问题 .我们知道，机器上用的螺丝钉问题 可以看作 计算问题，而圆柱的侧面可以看作是长方形围成

6、的（如图）.螺纹是以一定的角度旋 转上升，使得螺丝旋转时向前推进，问直径是 6mm 的螺丝钉，若每转一圈向前推 进 1.25mm，螺纹的初始角 应是多少度多少分？据题意，螺纹转一周时，把侧面展开可以看作一个直角三角形，直角 边 AC 的长为，另一条直角 边为螺钉推进的距离，所以，设螺纹初始角为，则在 Rt 中，有.即，螺纹的初始角 约为 .这个例子说明，生产和生活中有很多 实际问题 都可以抽象 为一个解直角三角形问题，我们应当注意培养 这种把数学知识应用于实际生活的意 识和能力 .一、教学目 标1使学生掌握直角三角形的 边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个 锐角互余及锐角三角函数解直角三

7、角形；2通过综 合运用勾股定理，直角三角形的两个 锐角互余及 锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析 问题、解决问题的能力；3通过 本节的学习，向学生渗透数形结合的数学思想，培养他们良好的学习习惯 .二、重点·难点·疑点及解决 办法1重点：直角三角形的解法。2难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。3疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是 边。4解决办 法：设置疑问，引导学生主动发现方法与途径，解决重 难点，以相似三角形知识为背景解决疑点。三、教学步骤（一）明确目标1在三角形中共有几个元素？2如图直角三角形 ABC 中，这五个元素 间有哪些等量关系

8、呢？（1）边角之间关系（2）三边之间关系（勾股定理）（3）锐角之间关系 。以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用。（二）整体感知教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用 锐用三角函数知 识，对其加以复 习巩固。同时，本课又为以后的应用举例打下基 础。因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课 解直角三角形的知 识来解决的。综上所述，解直角三角形一 课在本章中是起到承上启下作用的重要一 课。（三）教学过程1我们已掌握 Rt 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少有一个是 边）后，就可求出其余的元素。这样的导语 既可以使学生大概了

9、解解直角三角形的概念，同 时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢，激发了学生的 学习热情。2教师在学生思考后， 继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条 边？”让全体学生的思 维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？（由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的 过程，叫做解直角三角形）。3例题【例1】在中，为直角，所对的边分别为，且，解这个三角形。解直角三角形的方法很多，灵活多 样，学生完全可以自己解决，但例 题具有示范作用。因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析 问题、解决问题能力，同时渗透数形 结合的思想。其次，教师组织学生比较

10、各种方法中哪些 较好，选一种板演。解：（1），（2），（3）完成之后引 导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？ ”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两 边。计算时，利用所求的量如不比原始数据 简便的话，最好用题中原始数据 计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底。【例2】在 Rt 中，解这个三角形。在学生独立完成之后， 选出最好方法，教师板书。解：（1），查表得；（2）（3），。注意：例1 中的 b 和例 2 中的 c 都可以利用勾股定理来 计算，这时要查平方表和平方根表，这样做有时会比上面用含四位有效数字的数乘（或除）以另一含四位有效数字的数要方便一些。但先后要 查两次表，并作一次加法（或减法）或者使用计算器求平方、平方根及三角正数 值等。4巩固练习解直角三角形是解 实际应用题的基础，因此必须使学生熟 练掌握。为此，教材配备了练习 P23 中 1、2 练习 1 针对各种条件，使学生熟 练解直角三角形；练习 2 代入数据，培养学生运算能力。 参考答案 1（1）；（2）由求出或；（3），或；（4）或。2（1）；（2）。说明：解直角三角形计算上比较繁琐，条件好的学校允许用计算器。但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形