偏微分方程与其他学科的联系

1、偏微分方程与其他学科的联系1引言偏微分方程起源于18世纪，在19世纪得到了迅速发展。最初偏微分方程只 是研究直接来源于物理与几何的问题， 发展至今，已经成为了一个独立的数学分 支，讨论的问题不仅包括物理、力学、生物、几何和化学等古典问题，更深入了 图形图像处理，天气气象预测等现代方面，并在处理问题的过程中应用了现代数 学的许多工具。本文简要介绍了在一些领域中偏微分方程起到的重要作用及其应 用方法。2正文(PD,各领域中的应用)2.1物理学中的应用偏微分方程的起源与物理密不可分，从其基本方程的形式及名称不难看 出。而偏微分方程在物理学中的应用更是不胜枚举， 从电场中某点的电势到热传 导问题中某点

2、在特定时刻的温度，其精确求解的过程中，解偏微分方程组是极其 重要的一部分，更是问题的关键所在。在此，不一一列举偏微分方程在物理学中 的应用，仅以一例，望能见微知著。以弹性体不受外力的的微小振动(n=3)为例设弹性体占有三维空间R3中区域C ,并且不受外力。则对 的的任意光滑子域G二建，有又由高斯公式得由G u C的任意性，得divwdx =JQW 二 dSG5tdx = <divFdS ,utt - -divF ,x 1 1 ,t 0因为是微小振动，从而有2F(Du) : -a Du即得三维齐次波动方程utt -a2 u =0,x 1 ，t 0在给定了 t=0时刻的初始位移u(x,0)和

3、初始速度ut(x,0)后，可联立方程组，得22 /-/、一 - 3 , 八Utt -a Au =0,x =(Xi,X2,X3)= R ,t >0，UynX)、Uty=W(x)利用Kirchhoff公式，可以解得1.1.u(x,t) =-2- S (y)dS+(-2- L 中(y)dS)t ，4二 a t %4二 a t %在球面坐标系下表示为u(x,t) =4- 0 ° (x1 r：£at,x2 .-at,x3 ： . 'at)dS (； ° ° (x14eat,x2 ,- at,x3 ：- ：'at)dS) 其中，二二sin ic

4、os , : = sin s sin , = cosi, dS = sin id id从而得到弹性振动体上质点 x = (x1, x2, x3)在时刻t时的位移u2.2气象预测中的应用大气的行为可以用一组以数学方程式表示的物理定理来表达，由这些物 理定理可以计算大气的量或场(如温度、风向、风速及湿度等)将如何改变，接 触这组代表物理定理的数学式，就可以由目前的天气状态推演出对未来天气现象 的描述。以雷达探测云和降水为例为定量测量降水和云中含水量，推测云和降雨的物理特性，选择气象雷 达参数，可以利用气象雷达方程。对于发射功率为Pt ,波长为人,脉冲的空间长度为h ,天线增益为G (表示天线定向发

5、射的能力)，以及水平和垂直波束角宽度分别为日和4的雷达，其基本气象雷达方程为Pr 版"2叫的,式中Pr为雷达接收到的来自无规则分 512(2ln2)二2 R2布的云和降水水粒子的平均回波功率，R为雷达至探测目标的距离；”=Z%为雷达反射率，是单位体积中云和降水水粒子后向散射截面的和。 当云和降水粒子 为球形且直径比雷达波长小得多的情况下，其后向散射截面，可以用瑞利公式qNg+MNePV)“NeF代入，这时，气象雷达方程可写成：4Pr =二3RG2u h 122512(2ln2) 2 R2k1k2 k2Z,其中，Z=£ d是单位体积中球形粒子直径6次2m +1-2 _ _m2

6、 +2m为云和降 不能应方的总和，称为雷达反射因子，d为球形粒子的直径；心 水粒子的复折射率。当粒子直径大到和雷达波长相近或大于雷达波长时,k2Ze，男P二3PG2 Th 1r z 2 r21、2用瑞利公式，这时气象雷达方程一般可写成：512(21n 2次R4 _ ' - 1'' i1T5 2 2k为雷达等效反射因子。2.3图形图像处理中的应用以保护图像细节为例为了在同样的存储空间中存储更多的图片，我们需要对图片信息进行压 缩；但是为了保持图像的清晰程度，我们又要保持一定的细节水平。基于平 衡这对矛盾的目的，我们对图像所作处理的目标即为提取图像中的总趋势特 征，并准确的定位“边缘细节”等表征突变信息的曲线特征。偏微分方程方 法可以很好的做到保护细节。偏微分方程方法所利用的先验信息是图像为分 片光滑的二元函数.只是该函数在某些重要数据处不连续。根据图像分片光 滑的特性可构造关于梯度的约束， 而根据图像处理目的的不同又可构造图像 与原始图像之间的相似性约束.将此两个约束组合即得到变分方程.进而由 Euler方程得到图像处理的抛物方程。为避免线性模型导致的对图像边缘的模糊，用非线性方程