初中数学经典几何题及答案,附知识点及结论总结

1、经典难题（一）1、已知：如图，o 是半圆的圆心，c、e 是圆上的两点，cd ab ， ef ab ，eg co 求证： cd gf（初二）cegadofb2、已知：如图，p 是正方形abcd 内点， pad pda 150求证： pbc 是正三角形 （初二）ad pbc3、如图，已知四边形abcd 、a 1b 1c1d1 都是正方形，a2、b 2、c2、 d2 分别是 aa 1、bb 1、cc1、dd 1 的中点求证：四边形a2b 2c2 d2是正方形（初二）a da 2d2a 1d1b 1c1b2c2b c4、已知：如图，在四边形abcd 中， ad bc ， m 、n 分别是 ab 、cd

2、 的中点， ad 、bc的延长线交mn 于 e、f求证： den ffenc经典难题（二）damb1、已知： abc 中， h 为垂心（各边高线的交点）， o 为外心，且om bc 于 m （ 1）求证： ah 2om ；a（ 2）如 bac 600，求证： ah ao （初二）o· hebmdc2、设 mn 是圆 o 外始终线，过o 作 oa mn 于 a ，自 a 引圆的两条直线，交圆于b 、c及 d、e，直线 eb 及 cd 分别交 mn 于 p、qg求证： ap aq （初二）eco·bd3、假如上题把直线mn 由圆外平移至圆内，就由此可得以下命题：mpaqn设 m

3、n 是圆 o 的弦，过mn 的中点 a 任作两弦bc 、de ，设 cd 、eb 分别交 mn于 p、q求证： ap aq （初二）ecmaqp·n·ob4、如图，分别以abc的 ac 和 bc 为一边，在 abc的外侧作正方形cbfg ，点 p 是 ef 的中点dacde和正方形求证：点p 到边 ab 的距离等于ab 的一半（初二）dgce经典难题（三）pfaqb1、如图，四边形abcd为正方形， de ac ，ae ac ， ae 与 cd 相交于 f求证： ce cf（初二）a dfeb c2、如图，四边形abcd为正方形， de ac ，且 ce ca ，直线 ec

4、 交 da 延长线于f 求证： ae af （初二）fadbc3、设 p 是正方形 abcd一边 bc 上的任一点， pfap ，cf 平分 dce e求证： pa pf（初二）adfbpce4、如图， pc 切圆 o 于 c， ac 为圆的直径， pef 为圆的割线， ae 、af 与直线 po 相交于b 、d求证： ab dc ，bc ad （初三）ap经典难题（四）bodefc1、已知： abc 是正三角形，p 是三角形内一点，pa3， pb 4，pc 5求： apb 的度数（初二）ap2、设 p 是平行四边形abcd 内部的一点，且pba pda 求证： pab pcb （初二）bac

5、dp3、设 abcd 为圆内接凸四边形，求证：ab · cd ad · bc ac · bd （初三）bac dbc4、平行四边形abcd 中，设 e、f 分别是 bc、ab 上的一点， ae 与 cf 相交于 p，且 ae cf求证： dpa dpc （初二）adf经典难题（五）pbec1、设 p 是边长为 1 的正 abc 内任一点， l pa pb pc，求证： l 2ap2、已知： p 是边长为1 的正方形abcd 内的一点，求pa pb pc 的最小值bca dpb c3、p 为正方形abcd 内的一点，并且pa a， pb 2a， pc 3a，求正方形

6、的边长adp4、如图， abc 中， abc acb eba 200，求 bed 的度数0，d 、e 分别是 ab 、ac 上的点， dca 300，80abced经典难题（一）bc1.如下图做gh ab, 连接 eo；由于 gofe 四点共圆，所以gfh oeg,即 ghf oge, 可得eogo=gfghco=,又 co=eo ，所以 cd=gf 得证；cd2. 如下图做 dgc 使与 adp 全等，可得 pdg 为等边，从而可得 dgc apd cgp,得出 pc=ad=dc, 和 dcg= pcg 150所以 dcp=30 0 ，从而得出 pbc 是正三角形3. 如下图 连接 bc1

7、和 ab1 分别找其中点 f,e. 连接 c2f 与 a2e 并延长相交于 q点，连接 eb2 并延长交 c2q于 h点，连接 fb2 并延长交 a2q于 g点，2由 a2e= 1a1 b1= 1b1c1= fb2 ，eb2 = 1ab=1bc=f c1 ，又gfq+ q=900 和222 geb2+q=90 0,所以 geb2= gfq 又 b2fc2= a2 eb2 ，可得 b2fc2 a 2eb 2 ，所以 a 2b2=b2c2 ， 又 gfq+ hb 2f=900 和 gfq= eb 2a 2 ,从而可得 a 2b2 c2=90 0 ， 同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形a 2b

8、 2c2d2 是正方形；4. 如下图 连接 ac并取其中点 q，连接 qn和 qm，所以可得 qmf= f， qnm= den 和 qmn= qnm ，从而得出den f；经典难题（二）1.1延长 ad到 f 连 bf，做 og af,又 f= acb= bhd ，可得 bh=bf, 从而可得hd=df ，又 ah=gf+hg=gh+hd+df+hg=2gh+hd=2om2 连接 ob，oc,既得 boc=120 0，从而可得 bom=60 0,所以可得ob=2om=ah=ao,得证；3. 作 of cd，ogbe ，连接 op， oa ， of， af ， og，ag ， oq ；adacc

9、d2fdfd由于=，abaebe2bgbg由此可得 adf abg ，从而可得afc= age ；又由于 pfoa 与 qgoa 四点共圆，可得afc= aop 和 age= aoq ， aop= aoq ，从而可得ap=aq ；4. 过 e,c,f 点分别作 ab所在直线的高 eg，ci，fh；可得eg +pq=fh ；2由 ega aic ，可得 eg=ai ，由 bfh cbi ，可得 fh=bi ；从而可得pq=ai + bi=2ab ，从而得证；2经典难题（三）1. 顺时针旋转 ade ，到 abg ，连接 cg.由于 abg= ade=90 0+45 0=135 0从而可得b ，g

10、，d 在一条直线上，可得agb cgb ；推出 ae=ag=ac=gc，可得 agc 为等边三角形； agb=30 0，既得 eac=30 0，从而可得a ec=75 0；又 efc= dfa=45 0+30 0=75 0.可证： ce=cf ；2. 连接 bd作 ch de ，可得四边形cgdh 是正方形；由 ac=ce=2gc=2ch ，可得 ceh=30 0，所以 cae= cea= aed=15 0，+45又 fae=90 00+1500，=150从而可知道f=15 0，从而得出ae=af ；3. 作 fg cd，febe ，可以得出gfec 为正方形；令 ab=y， bp=x ,ce

11、=z , 可得 pc=y-x；xztan bap=tan epf=，可得 yz=xy-x 2 +xz ，yy -x + z即 zy-x=xy-x，既得 x=z，得出 abp pef ，得到 pa pf ，得证；经典难题（四）1. 顺时针旋转 abp600 ，连接 pq ，就 pbq 是正三角形；可得 pqc 是直角三角形；所以 apb=150 0 ；2. 作过 p点平行于 ad的直线，并选一点e，使 ae dc，bepc.可以得出 abp= adp= aep，可得：aebp 共圆（一边所对两角相等）；可得 bap= bep= bcp，得证；3. 在 bd取一点 e，使 bce= acd ，既得

12、 bec adc ，可得：bead=bcac，即 ad .bc=be .ac，又 acb= dce ，可得 abc dec ，既得abde=acdc，即 ab .cd=de .ac ，由 +可得 : ab .cd+ad .bc=acbe+de= ac· bd，得证；4. 过 d作 aq ae ， ag cf ，由ss ade =abcd2= s dfc ，可得：a ep q=2ae pq ， 由 ae=fc ；2可得 dq=dg ，可得 dpa dpc（角平分线逆定理） ；经典难题（五）1. （1）顺时针旋转 bpc 600 ，可得 pbe 为等边三角形；既得 pa+pb+pc=ap

13、+pe+ef要使最小只要ap ， pe， ef 在一条直线上，即如下图：可得最小l=；（ 2）过 p 点作 bc的平行线交 ab,ac与点 d，f；由于 apd> atp= adp ，推出 ad>ap又 bp+dp>bp和 pf+fc>pc又 df=af由可得：最大l< 2； 由（ 1）和（ 2）既得：l 2 ；2. 顺时针旋转 bpc 60 0 ，可得 pbe 为等边三角形；既得 pa+pb+pc=ap+pe+ef要使最小只要ap， pe， ef 在一条直线上，即如下图：可得最小pa+pb+pc=af ；既 得 af= 1 + 3 + 12=2 +3 =4 +

14、234223 +=212=2 3 + 126 +2=；23. 顺时针旋转 abp900 ，可得如下图：既得正方形边长l =2 +2 2 + 2 2 a=5 +22 a；224. 在 ab上找一点 f，使 bcf=60 0 ， 连接 ef， dg ，既得 bgc 为等边三角形，可得 dcf=10 0 , fce=200 ,推出 abe acf，得到 be=cf， fg=ge；推出： fge 为等边三角形，可得 afe=80 0 ，既得： dfg=40 0又 bd=bc=bg，既得 bgd=80 0 ，既得 dgf=40 0推得： df=dg ,得到： dfe dge，从而推得：fed= bed=

15、30 0；附：平面对量 复习基本学问点及经典结论总结1、向量有关概念：（ 1）向量的概念 ：既有大小又有方向的量，留意向量和数量的区分；向量常用有向线段来表示，留意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）；如已知 a（ 1,2），b（ 4,2），就把向量ab 按向量 a （ 1,3）平移后得到的向量是 （答：（ 3,0 ）（ 2）零向量 ：长度为0 的向量叫零向量，记作：0 ，留意 零向量的方向是任意的；（ 3） 单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与 ab 共线的单位向量是ab ；| ab |（ 4）相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

16、（ 5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量，记作： a b ，规定零向量和任何向量平行；提示 ：相等向量肯定是共线向量，但共线向量 不肯定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（由于有 0 ；三点 a、 b、c 共线ab、ac 共线；（ 6）相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的相反向量是a ；如以下命题：（1）如 ab ，就 ab ；（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同； （ 3）如 abdc ，就 abcd 是平行

17、四边形； （ 4）如 abcd 是平行四边形，就 abdc ；（ 5）如 abb,c，就 ac ；（6）如 a / b, b/c，就a / c ；其中正确选项 （答：（ 4）（ 5） 2、向量的表示方法：（ 1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如ab ，留意起点在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ， b ， c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i， j 为基底，就平面内的任一向量a 可表示为axiy jx, y ，称x, y 为向量 a 的坐标， ax, y叫做向量 a 的坐标表示； 假如 向量的起

18、点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同；3. 平面对量的基本定理：假如 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内 的 任 一 向 量a ， 有 且 只 有 一 对 实 数1 、2 ， 使a=1 e1 2 e2 ； 如 （ 1 ） 如a1,1,b1,1,c1,2 ，就 c （答： 1 a3 b ）；224、实数与向量的积：实数与向量 a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定如下：1aa ,2当>0 时，a 的方向与 a 的方向相同，当<0 时，a 的方向与 a 的方向相反，当 0 时，a0 ， 留意 ：a 0；5、平面对量的数量积：（ 1 ） 两 个

19、 向 量 的 夹 角 ： 对 于 非 零 向 量 a ， b ， 作 o a,ao b，baob0称为向量 a ，b 的夹角， 当 0 时， a ，b 同向， 当时， a ，b 反向，当时， a ， b 垂直；2（ 2） 平面对量的数量积：假如两个非零向量a ， b ，它们的夹角为，我们把数量| a | b | cos叫做 a 与 b 的数量积（或内积或点积），记作： ab ，即 ab a b cos；规定：零向量与任一向量的数量积是0，留意数量积是一个实数，不再是一个向量；如（ 1） abc 中，| ab |3， | ac |4， | bc |5，就ab bc （答： 9）；（ 3） b 在

20、 a 上的投影 为 |b | cos，它是一个实数，但不肯定大于0；如 已知 | a |3 ，| b |5 ， 且 a b12 ，就向量a 在向量 b 上的投影为 （答：12 ）5（ 4） ab 的几何意义 ：数量积 ab 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积；（ 5）向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为，就： abab0 ；2当 a ，b 同向时， ab a b ，特殊地， a22aaa, aa；当 a 与 b 反向时，ab a b ；当为锐角时，ab 0，且 a、b 不同向，a b0 是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，ab 0，且 a、b 不反向，

21、a b0 是为钝角的必要非充分条件 ；非零向量a ， b 夹角的运算公式：cosab ； | ab | | a | b | ；如（ 1）a b已知 a,2 ， b3,2 ，假如 a 与 b 的夹角为锐角， 就的取值范畴是 （答：4 或0 且1 ）；336、向量的运算：（ 1）几何运算 ：向量加法：利用“平行四边形法就”进行，但“平行四边形法就”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法仍可利用“三角形法就”：设aba, bcb ，那么向量ac 叫做 a 与 b 的和，即 ababbcac ；向量的减法：用“三角形法就”：设aba, acb,那么ababacca ，由减向量的终点指向被减向量的终点

22、；留意：此处减向量与被减向量的起点相同；如（ 1）化简： abbccd ； abaddc ； abcd acbd （答：ad ； cb ； 0 ）；（ 2）坐标运算 ：设 ax1, y1 ,b x2 , y2 ，就： 向量的加减法运算： ab x1x2 ， y1y2 ；如（ 1） 已知点a2,3, b5,4 ，c 7,10 ，如（答： 1 ）；2apabac r ，就当 时，点 p 在第一、三象限的角平分线上 实数与向量的积：ax1, y1x1,y1；如 ax1, y1, bx2 , y2 ，就 abx 2x 1 y, 2y 1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标

23、；如设就 c、d 的坐标分别是 （答：11a2,3,b1,5 ，且 aca1b3，ad3ab ， 平面对量数量积： abx1 x21,7,9 ）；3y1 y2 ；如已知向量 a （ sinx， cosx） ,b （ sinx，sinx ）,c （ 1，0）；（ 1）如 x ，求向量 a 、 c 的夹角；（2）如 x 33, ，函数84f xab 的最大值为1 ，求的值（答：21150 ;21 或21）；2222222 向量的模 ：| a |xy, a| a |xy；如已知a, b 均为单位向量， 它们的夹角为 60 ，那么 | a3b | （答：13 ）； 两点间的距离：如ax1 , y1,

24、bx2 , y2，就 | ab |2x2x1y2y12；如如图， 在平面斜坐标系xoy 中，xoy60 ，平面上任一点p 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：如opxe1ye2，其中e1 ,e2 分别为与x 轴、 y 轴同方向的单位向量，就p 点斜2坐标为 x, y ；（ 1）如点 p 的斜坐标为（ 2， 2），求 p 到 o 的距离 po；（ 2）求以 o2为圆心， 1 为半径的圆在斜坐标系xoy 中的方程；（答：（ 1） 2；（ 2） xyxy10 ）；7、向量的运算律：（ 1）交换律： abba ，aa ， abba ； 2结合律：abcabc, abcabc，ababab；（ 3）安排律

25、：aaa,abab ，abcacbc ；如 以下命题中：a bca bac ；a b c a b c ；2 ab2| a |2 | a | | b | b |2； 如 a b0 ， 就 a0 或 b0 ； 如a bc b,就 ac ；22abb222222 aa；2a； a baab； aba2a bb；其中正确选项 （答：）提示：（ 1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区分：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除 相约 ；（ 2）向量的“乘法”不满意结合律，即abcab

26、c ，为什么？8、向量平行 共线 的充要条件 ：a / baba b2| a |b | 2x1 y2y1 x2 0；如1 如向量 a x,1,b4, x ，当 x 时 a 与 b 共线且方向相同（答：2）；9 、向量垂直的充要条件： aba b0| ab | | ab |x1x2y1 y20 .特abacabac别地 ； 如1 已知 oaabacabac1,2, ob3, m ，如 oaob ，就 m（答： 3 ）； 210. 线段的定比分点：1 p 212（ 1）定比分点的概念：设点 p 是直线 p上异于 p 、p的任意一点，如存在一个实数，使p1ppp2 ，就叫做点 p 分有向线段p1p2

27、所成的比， p 点叫做有向线段p1p2 的以定比为的定比分点；1 p 2（ 2）的符号与分点p 的位置之间的关系：当 p 点在线段p上时>0；当 p1 p 22 p1点在线段p的延长线上时< 1；当 p点在线段 p的延长线上时10 ；如点 p 分有向线段p1p2 所成的比为，就点 p 分有向线段p p 所成的比为1 ；如如点 p 分2 1ab 所成的比为34，就 a 分 bp 所成的比为 （答：7 ）3（ 3）线段的定比分点公式：设p1 x1, y1 、p2 x2 , y2 ， p x, y分有向线段p1p2 所成x1x的比为，就1yy11x21，特殊地，当 1时，就得到线段pp 2y2的中点公式x x1x2 2y y1y2 2；在使用定比分点的坐标公式时，应明确 x, y ， x1 , y1 、 x2 , y2 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标；在详细运算时应依据题设条件，敏捷地确定起点，分点1和终点， 并依据这些点确定对应的定比；如（1）如 m（ -3，-2），n（ 6，-1），且7mpmn， 3就点 p 的坐标为 （答：6, ）；311. 平移公式 ：假如点px, y按向量ah, k平移至px, y ，就xxhyyk；曲线f x, y0 按向量ah, k平移得曲