初中数学竞赛精品标准教程及练习36：三点共线

1、中考数学复习资料，细心整编吐血举荐, 如如有用请打赏支持，感谢不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（36） 三点共线一、内容提要1. 要证明 a， b， c 三点在同始终线上，常用方法有：连结 ab，bc证明 abc是平角连结 ab，ac证明 ab，ac重合连结 ab，bc， ac证明ab bcac连结并延长 ab证明延长线经过点c2. 证明三点共线常用的定理有： 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半 两圆相切，切点在连心线上 轴对称图形中，如对应线段（或延长

2、线）相交，就交点在对称轴上二、例题例 1. 已知：梯形 abcd中， abcd，点 p 是形内的任一点， pmab， pncd求证： m， n， p 三点在同始终线上证明：过点 p 作 efab，ab cd， efcd1 2180 ， 3 4 180pm ab，pncddnc 4ep 3f 1am 2b 190 ， 3 90 1 3 180m，n，p 三点在同始终线上例 2. 求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同始终线上 已知：平行四边形abcd中， m，n分别是 ad和 bc的中点， o是 ac和 bd的交点求证： m，o，n三点在同始终线上证明一：连结 mo，nodc

3、monabmo，no分别是 dab和 cab的中位线moab，no ab依据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行m，o，n三点在同始终线上，证明二：连结 mo并延长交 bc于 nmo是 dab的中位线dc,moabmonn在 cab中ab，aooc，on ab，bn n c，即 n是 bc的中点n也是 bc的中点，点 n 和点 n重合m，o，n三点在同始终线上例 3. 已知：梯形 abcd中， ab cd，a b 90 ，m，n 分别是 ab和 cd的中点， bc，ad的延长线相交于 p求证： m，n，p 三点在同始终线上证明： a b90 ，apbrt连结 pm，pn依据直角三角形斜边

4、中线性质pmma mb，pndn dc mpb b， npc bpm和 pn重合m，n，p 三点在同始终线上pdncamb例 4. 在平面直角坐标系中，点原点 o的对称点ya 关于横轴的对称点为b，关于纵轴的对称点是c，求证 b 和 c 是关于解：连结 oa， ob，oca， b 关于 x 轴对称，caoaob， aox box同理 ocoa， aoy coy coy box90o xb， o， c三点在同始终线上obocb 和 c是关于原点 o的对称点b例 5. 已知： o1 和 o2 相交于 a， b 两点，过点 b 的直线 ef 分别交 o1 和 o2 于 e，f；求证： ae，af和

5、o1 和 o2 的直径成比例证明：作 o1 和 o2 的直径 am，an，连结 ab，bm， bnam，an分别是 o1 和 o2 的直径 abmrt ， abnrtm， b， n在同始终线上a m e， n fo1o 2 amn aeff amanaeafmebn三、练习 361. 已知：梯形 abcd中， ab cd，m，n，p 分别是 ad，bc， ac的中点求证： m， n， p 三点在同始终线上2. 已知： abc中， be，cf是中线，延长 be到 g，使 eg be，延长 cf到 h，使 fh cf， 求证： g，a，h三点共线3. 已知：正方形 abcd中， m，n分别是 bc

6、，cd的中点， de an于 e， 求证：点 m在 de的延长线上（同33 第 5）4. 求证：梯形两腰中点和两条对角线的中点，四点在同始终线上5. 已知：梯形 abcd中， ab cd， a 和 d 的平分线相交于o， 求证：点 o在梯形的中位线上6. 已知： abc中， abm， acn分别是 b， c的邻补角，从点a 作 b， c， abm， can四个角平分线的垂线段ad，ae，af， ag，垂足是 d， e， f， g求证： d，e，f，g四点在同始终线上7. 已知：点 p 在等边 abc外， pa=pb+p，c以 pa为一边作等边 apq使点 q和点 c 在 pa的同一侧求证： pq必过点 c8. 已知： abc中， ab=ac，直线 ap bc，点 d 和点 c 是关于直线 ap的对称点求证：点 d 和点 b 是关于点 a 的对称点练习1.连结36 参考答案：mp，np证明都与ab平行