第二册上册(文科)第八章圆锥曲线方程：解析几何中的范围问题

1、年 级高二学 科数学版 本人教版（文）内容标题解析几何中的范围问题编稿老师刘震【本讲教育信息】一. 教学内容：解析几何中的范围问题二. 教学重、难点：1. 重点： 确定某个变量的范围，使得问题中给出的几何图形具有某种几何性质，或满足某种数量，位置关系。2. 难点：建立含有参变量的函数关系式或不等式。【典型例题】例1 双曲线焦点距为，直线过点（，0）和（0，），且点（1，0）到直线的距离与点（，0）到直线的距离之和，求双曲线的离心率的取值范围。解：直线的的方程为 即点（1，0）到直线的距离，点到直线的距离 由，得即 于是得即 得由于，所以的取值范围是例2 已知双曲线的中心在原点，右顶点为 A（1

2、，0），点P、Q在双曲线的右支上，点M（）到直线 AP的距离为1。若直线AP的斜率为，且，求实数的取值范围。解：由条件得直线AP的方程，即因为点M到直线AP的距离为1，所以即 解得或所以的取值范围是例3 设双曲线C：与直线：相交于两个不同的点A，B。求双曲线C的离心率的取值范围。解：由C与相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解，消去并整理得由 解得且双曲线的离心率 因为且所以且，即离心率的取值范围为例4 设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆交于C、D两点。确定的取值范围，并求直线AB的方程。解：解法1：依题意，可设直线AB的方程为，代入，

3、整理得 设A（），B（），则是方程的两个不同的根 且，由N（1，3）是线段AB的中点，得 解得代入得，即的取值范围是（）于是，直线AB的方程即解法2：设A（），B（），则有+=0依题意，N（1，3）是AB的中点 ，从而又由N（1，3）在椭圆内 的取值范围是（）直线AB的方程为，即例5 设点P到M（），N（1，0）的距离之差为，到轴、轴距离之比为2，求的取值范围。解法一：设点P的坐标为（），依题设得 即 因此，点P（）、M（）、N（1，0）三点不共线，得 因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上，故 将式代入，并解得 解得即的取值范围为解法二：设点P的坐标为，依题设得 即 由，得 由式可得

4、所以，且 由式移项，两边平方整理得将式代入，整理得 ，且式右端大于0 综上，得满得例6 直线：与双曲线C：的右支交于不同的两点A、B。求实数的取值范围。分析：直线与双曲线右支有两个不同的交点，则不仅仅是的问题，还需要追加制约条件。解：（1）将直线的方程代入双曲线C的方程后，整理得 依题意，直线与双曲线C的右支交于不同两点，故解得例7 已知椭圆（），A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与轴交于P（）。证明：。解：设A（），B（） P（）是中垂线上的点 PA=PB 则 解出，得 又 A、B在椭圆上 代入得 例8 如图P是抛物线C：上一点，直线过点P且与抛物线C交于另一点Q。若直线不过原点且与

5、轴交于点S，与轴交于点T，试求的取值范围。解：设P（），Q（），M（），依题意，设直线：，依题意，则T（）分别过P，Q作轴，轴，垂足分别为、，则由消去，得（1）则方法1：因为可取一切不相等的正数所以的取值范围是（2，）方法2：当时， 当时，又由方程（1）有两个相异实根，得于是，即所以的取值范围是（2，）【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 设P是椭圆（）上一点，F1，F2是其焦点，且，求椭圆离心率的最小值。2. 已知直线与抛物线相交于A、B两点，求使的面积最大时的直线方程。3. 已知：直线：和顶点为A的抛物线C：有公共点，点P（）关于直线的对称点为Q，若AQ垂直于抛物线的对称轴，求的取值范围

6、。4. 已知：椭圆的一个顶点A（0，），是否存在斜率为（）的直线，使与已知椭圆交于两个不同的点M、N，且使？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由。【试题答案】1. 思路：由和，得到=，进而构造关于的一元二次方程，在解有关焦点三角形的最值问题时常常运用这种方法。解：由椭圆的定义得： 在中， 2，得 由、可知，、是方程的两根从而 ，即所以离心率的最小值为2. 思路：建立的面积关于变数的目标函数，求使目标函数取最大值时的值。解：设的面积为S，点O到AB的距离为，A（），B（）联立，得到， =而，于是 当且仅当，即时等号成立故的面积最大时的直线方程为3. 解：联立直线与抛物线C方程，整理得由与C有公共点，得解得，且如图所示，抛物线顶点A（），而AQ垂直于抛物线的对称轴，故可设Q（） P和Q关于直线对称 消去，得由，且，得 解得，或 故的取值范围是4. 解：由可得