创意平板折叠桌

1、2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛

2、规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 22015016 所属学校（请填写完整的全名）： 长江师范学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 李慧敏 2. 陈英 3. 刘霜 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 陈波涛 日期： 2014 年 9 月 15 日2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号

3、）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：创意平板折叠桌的设计摘要空间是蕴含丰富、用之不竭的宝贵资源，近年来，空间的有效利用开始受到人们的广泛关注。能够有效节省空间的“创意平板折叠桌”应运而生，这不仅满足了人们需求又能有效地节省空间。利用数学建模知识，结合实际问题，我们对“创意平板折叠桌”问题给出了如下解答：问题一 ：在给定了木板大小的情况下，要做出相应高度的折叠桌。通过反复观看图片视频，并结合给定的数据，我们首先通过分析折叠桌折叠和展开两种状态的三视图，得到两种状态中钢筋的不同位置，经过分析计

4、算，我们得到开槽长度就是钢筋两次位置沿木条方向的距离，其中正中间木条的开槽长度最大，为cm，从而得到木条的开槽长度取值范围为。其次，通过建立以圆桌面（展开状态）的圆心为原点的三维直角坐标系，以桌腿长度为参数，我们给出桌脚边缘线数学描述。问题二：在考虑到折叠桌的稳定性、实用性的前提下，设计出相应直径和高度的最省材料的圆桌。首先，在研究问题一的基础上，并结合实际情况，作出合理假设，以尺寸随钢筋位置、开槽长度为变量，确定目标函数；然后通过对任意木条（展开状态正视图）进行分析，结合诱导公式，建立平板尺寸与钢筋位置、开槽长度之间相互影响的数学模型；最后通过分析、计算，列出相应的约束条件（开槽长度不能大于

5、桌腿长），再运用数学软件得出该模型的最优化求解，找出最省材料、最适合的尺寸。问题三：设计出满足消费者意愿和需求的折叠桌。该问题的关键是，建立满足消费者要求（如桌高、桌面边缘线和桌脚边缘线的形状等）的数学模型，然后利用最优化求解理论，研究木板材料尺寸，以及相关因素增加或减少后的动态变化，最后确定折叠桌设计软件的数学模型。并利用该数学模型设计出有创意的平板折叠桌。关键字:平板折叠桌 桌腿边缘线 开槽长度 最优化 三维直角坐标系一、问题重述问题背景: 随着社会的发展，城市化进程的加快，大厦密集，城市道路四通八达，但是于此同时，问题也接踵而来：用地紧张、生存空间拥挤、交通阻塞、生态失衡、环境恶化等等。

6、这给人们居住生活带来很大影响，也制约着经济与社会的进一步发展。在这种情况下，各行各业都开始关注空间的有效利用，尽可能的节约空间。人们转向对各种空间的开发利用，空间的利用对于人类的生活环境在功能性和实用性上有着举足轻重的关系，当然，随着社会的发展以及改变，空间的合理运用是人们不断需要去探索的重要课题。我们所设计的创意平板折叠桌就是对空间的合理利用。这款桌子当折叠起来后它也可以迅速的展开，变成一张完整的圆形桌子，用于聚会或派对当不需要时，它就瞬间变为一个不占地的长方形的小床。由此可见，本次设计的可收缩性桌子是有必要的，也是有实用价值的。可收缩桌子也具有多功能性，可以用来当做餐桌、物品架、凳子以及床

7、铺。问题再现：某公司生产一种桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板的可折叠的桌子。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证自由滑动。桌子外形由直纹曲面构成。试建立数学模型讨论下列问题：1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述

8、。2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工

9、参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。二、符号说明：表示桌面半径；,：分别表示折叠状态俯视图中钢筋；，：分别表示展开状态正视图中钢筋；：表示桌腿最外侧木条的长度；：表示任意木条到圆桌面垂直最外侧的中心轴的距离；：表示桌面边缘最外侧木块长度；：表示平板尺寸；：表示折叠时钢筋到外侧中点的距离；：表示开槽长度；: 桌面圆心；三、模型假设1假设我们做图是真实可靠；2在问题二中假设桌面边缘最外侧木块长度为0；3假设运用数学软件非线性优化模型可信度比较高；4假设计算出的各个指标误差比较小；5忽略折叠桌制作过程的木材损耗；6. 假设测量桌子高度时忽略桌面木板厚度；7. 假设钢筋的半径忽略不计；四、问题分析

10、问题一：（1）已知木板的尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条为宽2.5 cm，钢筋位于最外侧木条的中心位置，所以展开状态时延长各个木条至接触地面，得到以钢筋为对称中心的中心对称图形，即在展开状态的正视图是长方形，通过边角关系和木板长为120 cm联系，列方程可求解出展开状态时最外侧一根桌腿的长度。对比折叠状态与展开状态钢筋的位置，可得展开过程中钢筋沿木条方向的移动距离，从而得出正中间一根木条的开槽长度，即最大的开槽长度，其他每根木条的开槽均小于最大开槽。（2）用数学语言描述桌脚边缘线，沿木条方向延长桌脚至接触地面，于地面相交点构成的弧线与桌面边缘线是一

11、样的，即与地面相交的弧线是半圆，且直径与桌面直径是相同的，即折叠桌的桌腿在地面上的四个支点构成的是正方形。则该边缘曲线是曲面上的一条线，也就是该曲线是一条空间曲线。以桌面圆心为原点建立三维直角坐标系，引入木条长度作为参量，用该参量表示木条底端的空间坐标，即可得到桌脚边缘线的空间数学描述。问题二：自己设计出桌高70cm、桌面直径80cm的最省材料的折叠桌，自己建立模型来确定最小的平板尺寸（即长方形平板的面积），其中考虑的变量有平板的尺寸、钢筋在最外侧木条上的位置以及为了方便折叠所需的开槽长度和圆桌侧面剩余木条的长度。在第一问中我们已知平板尺寸、桌子高度以及钢筋位置，得出设计加工的参数。本问是第一

12、问的一个推广。同时在设计时还需要保证产品的稳固性好、加工方便，用材最少的特点。问题三：根据客户的不同往往对折叠桌有不同的要求，所以在该问中要求设计一个通用的软件程序，对于任意给定的折叠桌高度、桌面形状及大小和桌腿边缘线的形状等设计要求，可以设计出满足要求的最省材料、最实用稳固的桌子。那么这个软件就是可以根据不同的客户对不同的桌子所期望的的大致形状给模拟出来。因此我们组的任务就是给出软件设计的数学模型，在本题中软件数学模型的建立是至关重要的，我们还需利用建立的模型给出我们设计的两个个创意平板折叠桌。同时要给出相应的设计加工参数，画出每个设计的八张动态变化过程的示意图。五、模型的建立与求解问题一：

13、（1） 折叠桌的动态变化过程：每根木条在桌子展开时都是在做圆形旋转变化，每根木条都是以木条与桌子的连接处为圆心，该木条的长度为半径进行旋转。对折叠桌折叠和展开两种状态进行分析，得到折叠和展开两种状态的三视图如下（图1）（图2）（图3）（图4）图1：桌子折叠状态时的俯视图图2：桌子展开状态时的正视图图3：桌子展开状态时的左视图 图4：桌子展开状态时的俯视图（2）折叠桌的设计加工参数（即开槽长度）：连接桌腿木条的钢筋位于最外侧木条的中心位置，为保证滑动的自由度沿木条有开槽，平板状态是钢筋紧贴每根木条开槽的一端，展成桌子时钢筋又紧贴每根木条的另一端，由于中间最短的木条变化幅度最大，所以中间一根木条的

14、开槽长度是最长的，我们对以中间一根为例求开槽长度，其他各根均可相似求得开槽长度。根据对折叠桌的折叠状态进行分析，做折叠桌折叠状态的俯视图（图1），其中、两条红色的弧线表示木条开槽端点的连线，图1中阴影部分表示中间的一根木条。根据对折叠桌的展开状态进行分析，做折叠桌展开状态的正视图（图2），其中、与图1中的、意义相同，、分别表示桌子展开是的接触地面的支点，、表示钢筋的位置，、分别表示展开过程中正中间木条的活动部分。（图5）是从折叠桌展开状态的正视图（图）中抽象出来的只有最外侧与最中间的木条的一个抽象的数学模型图，其中表示折叠桌的直径。图5：展开状态的抽象正视图由于桌子是左右对称的，所以我们仅对左

15、半部分进行分析，右半部分同理可进行分析。设最长的棱长为常数（cm），则：由勾股定理得：由得：计算得： 已知木板的长为， 则：由题易知桌面直径为木板宽为，则： 因为点是的中点，则：由题知桌高为，故：在直角三角形中作分析，已知：,可得：则：在三角形中进行分析，已知：,则 ： 下面对折叠和展开两种状态的钢筋位置进行分析，折叠桌折叠状态时，到钢筋的长度为：折叠桌展开状态时，到钢筋的长度为：最大开槽的长度即为两种状态中钢筋位置沿木条方向的距离，最终计算得开槽为：所以：开槽长度的范围为（2） 用数学语言描述桌腿边缘线：图2：桌子展开状态时的正视图在（图2）中设为任意木条， 到该图中间轴的距离设为现求到的距

16、离，即为点的三维图中的坐标。上一个小问题知：又知：则：所以 ：在三角形中进行分析，已知：则：则：在三维图中，横坐标X可由勾股定理求得，纵坐标即为t，竖坐标Z是该点到XOY面的距离，即为NN。所以桌角边缘线的数学描述为:问题二：图6：最省材料的折叠桌模型假设：桌面边缘最外侧木块长度对折叠桌的高度和半径影响很小，所以假设来对本问进行分析，如（图6）模型建立：已知桌高和直径求最小尺寸，分建立目标函数、分析约束条件和分析数学模型三步来解决。1)建立目标函数： 要使材料最省，显然，当中间时最省材料，如（图6）：其中设，分别为钢筋的位置。为中间一根木板的开槽长度（即最长的开槽），设：，已知，则： 又可得：

17、，由可得：整理上式得：2)联系实际情况与题中的要求，分析得出开槽长度小于桌腿长度，折叠时钢筋到外侧中点的距离要大于半径，得到约束条件为：3)模型求解：用MATLAB软件进行非线性优化求解，可得木板长度为164.7059cm,则木板尺寸为：164.7059cm× 80 cm × 3 cm问题三：根据对不同客户的不同要求，建立软件。软件的设计目地就是面对不同的客户输入对折叠桌不同形状的不同的要求，利用这个软件就可以算出所需平板的尺寸和切实可行的最优化设计加工参数。即将折叠桌高度、桌面边缘线和桌脚边缘线作为未知量，求尺寸的最优解，考虑的边缘线的形状，可以用数学软件分为规则图形和不

18、规则。在程序中将尺寸用折叠桌高度、桌面边缘线和桌脚边缘线表示，当边缘线为直线是，可以这样表示，但是一般边缘线是曲线，就不便于将尺寸用折叠桌高度、桌面边缘线和桌脚边缘线表示，这时可以引入直径等其他变量来表示，由此可以建立数学模型，再而利用数学软件，针对不同的客户的要求，经过编程就可以在软件中的出直观的空间几何图，让客户满意。图7：平板折叠桌动态图图8：平板折叠桌动态图六、模型评价与应用推广1、模型评价模型的优点：（1）在数据处理方面，我们详细分析了视频，仔细观察题目所给的数据和图形，利用直观平面图形把所给的抽象空间图形具体到各面，做出了折叠桌展开和折叠时的直观三视图，通过这样细致的分析我们规范了

19、各种数据，为下一步解题提供了准确的数据资料。（2）在数据的精确度和理想值方面，我们利用MATLAB作图，得出最优解，并重复多次作图，取得最结合实际的一个。（3）模型在图像处理和显示上，我们采用MATLAB作图和几何作图等多种作图工具，用于拟合数据的变化趋势，使问题结果更加清晰、条理和直观。（4）在模型建立上，分析提取出了平板折叠桌的尺寸和开槽长度的关系，同时结合实际情况，使其尽量贴近数学建模，用最简单的方法解决最难问题。（5）在问题二中，我们将桌面边缘最外侧木块长度d是近似的视为零，虽然有一定误差，但是却简化了模型，便于求解。模型的缺点：（1）在数据计算上，采用的是计算机算取，以“四舍五入法”为基本法，保留四位小数，虽然大大提高了灵活性，但也容易使数据出现人为的偏差和不精确；（2）在问题一中，只采用了三视图分析法，结