高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质课件6 苏教版选修2-1

1、定义：在平面定义：在平面内内,与一个定点与一个定点f和一条定直和一条定直线线l(l不经过点不经过点f)的的距离相等距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛物线抛物线.抛物线的定义及标准方程抛物线的定义及标准方程准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图 形形x xf foy ylx xf foy ylx xf foy ylx xfoy yl)0 ,2p(2px)0 ,2p(2px )2p0( ，2py)2p0(，2py 一、温故知新一、温故知新范围范围1、yox)0 ,2(pf由抛物线由抛物线y2 =2px（p0）220pxy有有 0p 0 x 所以抛物线的范围为所以抛物线的范围为0 x

2、二、探索新知二、探索新知如何研究抛物线如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质）的几何性质?抛物线在抛物线在y轴的右侧，当轴的右侧，当x的值增大时，的值增大时，y也也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。对称性对称性2、yox)0 ,2(pf( , )x y关于关于x轴轴对称对称( ,)xy即点即点(x,-y) 也在抛物线上也在抛物线上,故故 抛物线抛物线y2 = 2px(p0)关于关于x轴轴对称对称.则则 (-y)2 = 2px若点若点(x,y)在抛物线上在抛物线上, 即满足即满足y2 = 2px，顶点顶点3、yox)0 ,2(pf 定

3、义：抛物线与定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛它的轴的交点叫做抛物线的物线的顶点顶点。y2 = 2px (p0)中，中，令令y=0,则则x=0.即：抛物线即：抛物线y2 = 2px (p0)的的顶点（顶点（0，0）.注注:这与椭圆有四个顶点这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。双曲线有两个顶点不同。离心率离心率4、yox)0 ,2(pfp(x,y) 抛物线上的点与抛物线上的点与焦点的距离和它到准焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做线的距离之比，叫做抛物线的离心率。抛物线的离心率。 由定义知，由定义知， 抛物线抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为的离心率为e=1. 下面请大家得出其余三种

4、标准方程抛下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。物线的几何性质。（二）归纳：抛物线（二）归纳：抛物线的的几何性质几何性质图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elfyxolfyxolfyxolfyxoy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pf)0 ,2(pf )2, 0(pf)2, 0(pf2px 2px 2py 2pyx0yrx0yry0 xry 0 xr(0,0)x轴轴y轴轴1特点：特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无虽然它可以无限延伸限

5、延伸,但它没有渐近线但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有没有对称中心对称中心;3.抛物线只有一个顶点、抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1;思考思考：抛物线标准方程中的：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.yox)0 ,2(pfp(x,y)p越大越大,开口越开阔开口越开阔补充补充（1）通径：）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径。|pf|

6、=x0+p/2xoyfp通径的长度通径的长度：2pp越大越大,开口越开阔开口越开阔（2）焦半径：）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的做抛物线的焦半径焦半径。焦半径公式：焦半径公式：),(00yx（标准方程中（标准方程中2p的几何意义）的几何意义）利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出反映抛物可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。线基本特征的草图。(3)焦点弦：通过焦点的直线与抛物线相交于两点，连接两点的线焦点弦：通过焦点的直线与抛物线相交于两点，连接两点的线段。焦点弦公式：段。焦点弦公式：f|=|ab|=x

7、1+x2+p方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度 y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lfyxolfyxolfyxox0 yrx0 yrxr y0y0 xrlfyxo12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）通径2p2p2p2p因为抛物线关于因为抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点点，并且经过点m m（，），（，），2 2解解:所以设方程为：所以设方程为：)0

8、(22ppxy又因为点又因为点m m在抛物线上在抛物线上：所以：所以：2( 2 2)22p2p因此所求抛物线标准方程为：因此所求抛物线标准方程为：24yx2 2三、典例精析三、典例精析坐标轴坐标轴当焦点在当焦点在x(y)轴上轴上,开口方向不定时开口方向不定时,设为设为y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可避免讨论可避免讨论例例：已知抛物线关于：已知抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点原点，并且经过点m m（，），求它的标准方程（，），求它的标准方程. .练习：练习：1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦

9、点在轴，焦点在直线直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是上，那么抛物线通径长是 .162、已知点、已知点a（-2，3）与抛物线）与抛物线 的焦点的距离是的焦点的距离是5，则，则p= 。 22(0)ypx p4法一法一: :直接求两点坐标直接求两点坐标, ,计算弦长计算弦长( (运算量一般较大运算量一般较大);); 法二法二: :设而不求设而不求, ,运用韦达定理运用韦达定理, ,计算弦长计算弦长( (运算量一般运算量一般) ); ; 法法三三: :设设而而不不求求, ,数数形形结结合合, ,活活用用定定义义, ,运运用用韦韦达达定定理理, ,计计算算弦弦长长. . 例例2、斜率为、斜率

10、为1的直线的直线 经过抛物线经过抛物线 的的焦点焦点f，且与抛物线相交于，且与抛物线相交于a，b两点，求线两点，求线段段ab的长。的长。l24yxaabbfoxyaabbfoxy432 .图图 .:,101122 xlfpp准线焦点由题意可知解如 .,.baddlbayxbyxa的距离分别为到准线设图2211432 .| ,|1121 xdbfxdafba由抛物线的定义可知.|221 xxbfafab于是 1101., xyabf方程为的所以直线为由已知得抛物线的焦点 .,xxxy412122 得代入将aabbfoxy432 .图图. 0162 xx化简得.|,822232232121 xxa

11、bxx于是由求根公式得 621 xx或由韦达定理得.,8的长是线段所以ab 分析分析:直线与抛物直线与抛物线有一个公共点线有一个公共点的情况有两种情的情况有两种情形：一种是直线形：一种是直线平行于抛物线的平行于抛物线的对称轴；对称轴；另一种是直线与另一种是直线与抛物线相切抛物线相切 判断直线与抛物线位置关系的操作程序判断直线与抛物线位置关系的操作程序把直线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与抛物线的直线与抛物线的对称轴平行对称轴平行相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式0=00 分析分析:直线与

12、抛物线没有公直线与抛物线没有公共点时共点时0 个公共点。即直线与抛物线只有一时，或，或综上所述，当0211kkk公共点。即直线与抛物线有两个时，且当0,211kk共点。即直线与抛物线没有公时，或当211kk注注:在方程中在方程中,二次项系数含有二次项系数含有k,所以要对所以要对k进行讨论进行讨论作图要点作图要点:画出直线与抛物线只有一个公共点时的情画出直线与抛物线只有一个公共点时的情形形,观察直线绕点观察直线绕点p转动的情形转动的情形说明：直线被曲线截得的弦说明：直线被曲线截得的弦ab 1k2 x1x2 例例4、已知直线、已知直线l：yx1和抛物线和抛物线c：y24x，设直线与抛物线的交点为，设直线与抛物线的交点为a、