高三一轮专题复习不等关系与一元二次不等式

1、学习必备欢迎下载§7.1不等关系与一元二次不等式1.不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号>、<、连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式.2.两个实数比较大小的方法1 作差法a b>0. a>b a b 0. ab a b<0. a<ba，b r；2 作商法ab>1. a>ba 1. ab ba<1. a<b ba r， b>0.3.不等式的性质1 对称性： a>b. b<a；2 传递性： a>b， b>c. a>c

2、；3 可加性： a>b. ac>b c， a>b， c>d. ac>b d；4 可乘性： a>b， c>0. ac>bc， a>b>0， c>d>0. ac>bd；5 可乘方： a>b>0. an>bn nn ， n 1；6 可开方： a>b>0. n a> n b nn ，n 2.4.“ 三个二次 ”的关系判别式 b2 4ac>0 0<0学习必备欢迎下载二次函数y ax2 bx ca>0的图象一元二次方程ax2 bxc 0a>0的根有两相异实根x1， x2

3、x1 <x2有两相等实根x1x2 b 2a没有实数根ax2 bxc>0a>0的解集 x|x<x1 或 x>x2 x|xx1 x|x rax2 bxc<0a>0的解集 x|x1<x<x2.1.判定下面结论是否正确请在括号中打“”或“×”1 a>b. ac2>bc2.×a b2 a>b>0 ，c>d>0 .d> c.3 如 ab>0，就 a>b.1 1b<.a4 如不等式 ax2 bx c>0 的解集是 ， x1 x2， ，就方程ax2 bx c 0 的两个根

4、是 x1 和 x2.5 如方程 ax2 bx c 0a0 没有实数根，就不等式ax2 bx c>0 的解集为r .×6 不等式 ax2 bx c 0 在 r 上恒成立的条件是a<0 且 b2 4ac 0.×2.设 a<b<0，就以下不等式中不成立的是1111aba. a>bb.a >c.|a|> bd. a> b答案b解析由题设得a<a b<0，所以有11< 成立，即1 ab>1不成立 . aa b a3.已知不等式ax2 bx 1 0 的解集是 11，23，就不等式x2 bx a<0 的解集是

5、学习必备欢迎下载3a.2,3b. ， 2 3， 113c.， 2d. ， 1 1，2答案a解析由题意知 1，21是方程ax2 bx 1 0 的根，所以由根与系数的关系得1 1323b1× 1122 a， 23 a.解得 a 6， b 5，不等式x bx a<0 即为 x 5x6<0，解集为2,3.4.如不存在整数x 满意不等式 kx k2 4x 4<0 ，就实数k 的取值范畴是 . 答案1,4解析可判定 k 0 或 k<0 均不符合题意，故k>0.于是原不等式即为kxk2 4k 42kx 4<0 . xk 42k x 4<0 ，依题意应有3

6、5 且 k>0 ， 1 k 4.k5.2021江·苏 已知 f x是定义在r 上的奇函数 .当 x>0 时， fx x2 4x，就不等式fx>x 的解集用区间表示为 . 答案 5,0 5， 解析由已知得f0 0，当 x<0 时，fx f x x2 4x，因此 fxx2 4x，x 0 x2 4x， x<0不等式 f x>x 等价于x 0或x2 4x>x，x<0x24x>x解得： x>5，或 5<x<0.题型一不等式的性质及应用例 11 设 a>b>1， c<0，给出以下三个结论： ccccba&g

7、t; ； a <b； logba c>log ab c.其中全部正确结论的序号是a. b. c.d.22021 四·川 设 a，b 为正实数 .现有以下命题：学习必备欢迎下载如 a2 b2 1，就 a b<1如|a3 b3 | 1，就 |a b|<1.；如1 11，就 ab<1；如 |ab|1，就 |a b|<1； ba其中的真命题有 .写出全部真命题的编号思维启发利用不等式的性质进行变形，比较大小时要留意题设条件.答案1d2<.解析1 a>b>1， 11ab又 c<0， cc> ，故结论 正确；a b函数 y xcc

8、<0 为减函数，又a>b， ac<bc，故结论 正确；依据对数函数的单调性，logb a c>log bb c>log ab c，故 正确 . 正确结论的序号是 .2 中， a2b2 a b a b 1， a，b 为正实数， 如 a b 1，就必有 a b>1，不合题意，故 正确 . 中，11a babab 1，只需 a b ab 即可 .24如取 a 2， b 3满意上式，但a b 3>1，故 错 . 中， a， b 为正实数，所以ab>|ab| 1，且|a b| |abab| |ab|>1，故 错. 中， |a3 b3 |a ba2ab

9、 b2| |a b|a2 ab b21.如|a b| 1，不妨取a>b>1，就必有a2ab b2，不合题意，故 正确 .>1思维升华判定多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判定或反例说明.常用的推理判定需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面摸索： 不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0； 不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不肯定保持不变； 不等式左边是正数，右边是负数， 当两边同时取倒数后不等号方向不变等.学习必备欢迎下载1如 a ln 2 ， bln 3， c ln 5 ，就235a. a<b<cb

10、. c<b<ac.c<a<bd. b<a<c1 12 如1，就以下不等式：1112<； |a| b>0； a >b ； ln a2 中，正a<b<0a b abab>ln b确的不等式是a. b. c.d. 答案1c2c解析1易知 a， b， c 都是正数， ba2ln 33ln 2 log8 9>1，所以 b>a；a5ln 2c 2ln 5 log2532>1，所以 a>c.即 c<a<b.应选 c.<<02 由1 1a b，可知 b<a<0. 中，由于a b&

11、lt;0， ab>0，所以1ab1<0，ab>0.11<故有，即 正确；a b ab 中，由于b<a<0，所以 b> a>0.故 b>|a|，即 |a|b<0，故 错误；< 中，由于b<a<0，又 1a1<0 ，所以 a b1>b a1，故 正确；b 中，由于b<a<0，依据 y x2 在 ， 0上为减函数，可得b2>a2>0， 而 yln x 在定义域 0 ， 上为增函数，所以 ln b2>ln a2，故 错误 .由以上分析，知 正确 .x题型二一元二次不等式的解集例 2求

12、以下不等式的解集：1 2 8x 3>0；2 ax2 a 1x 1<0.思维启发1可利用求根公式得到方程x2 8x 3 0 的解， 再求不等式的解集；2 含参学习必备欢迎下载数 a，要进行分类争论.解1 由于 82 4× 1× 352>0 ，所以方程 x2 8x 3 0 有两个不相等的实根x1 413， x2 413.又二次函数y x2 8x 3 的图象开口向下，所以原不等式的解集为 x|413< x<413.2 如 a 0，原不等式等价于x 1<0 ，解得 x>1.如 a<0，原不等式等价于x 1xa1>0 ，解得 x&

13、lt;1或ax>1.1如 a>0，原不等式等价于x a x1<0. 当 a 1 时， 1a1， x1ax 1<0 无解； 当 a>1 时， 1<1，解 x1 x 1<0 得1；<x<1aaa 当 0<a<1 时， 1>1，解 x1 x 1<0 得1aaa1< x< .综上所述：当a<0 时，解集为 x|x<1或 x>1 ；a1当 a 0 时， 解集为 x |x>1 ；当 0<a<1 时，解集为 x|1<x<a ；当 a 1 时， 解集为 .；当 a>1

14、时，解集为 x 1<x<1.|a思维升华含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类争论.1 如二次项系数为常数，第一确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类争论，如不易分解因式，就可依据判别式符号进行分类争论；2 如二次项系数为参数，就应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后再争论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；3 对方程的根进行争论，比较大小，以便写出解集.<x<1如不等式ax2 bx 2>0 的解为 121，就不等式2x2 bx a<0 的解集是3 .x 12 不等式 2x 1 0 的解集为 .学习必备

15、欢迎下载答案1 2,321， 12和解析1由题意，知121是一元二次方程3ax2bx2 0 的两根且a<0，311 b2a所以1123a × 2，解得a 12.b 2就不等式2x2 bx a<0 即 2x2 2x 12<0，其解集为 x| 2<x<3.2 原不等式等价于x12x1 0 2x 1 0*1由* 解得 2<x 1.学习必备欢迎下载题型三不等式恒成立问题例 3设函数 fx mx2 mx 1.1 如对于一切实数x， f x<0 恒成立，求m 的取值范畴；2 如对于 x 1,3 ， f x< m 5 恒成立，求m 的取值范畴 .思维

16、启发1分 m 0 和 m0 争论， m 0 可结合图象看的条件；2 可分别参数m，利用函数最值求m 的范畴 .解1 要使 mx2 mx 1<0 恒成立，如 m 0，明显 1<0；如 m 0，就m<0，. 4< m<0. m24m<0所以 4<m 0.2 要使 fx< m5 在 x1,3 上恒成立，即1m x2 3 6<0 在 x 1,3 上恒成立 .m24有以下两种方法：1方法一令 gx m x 232 4m6， x 1,3.当 m>0 时， gx在1,3 上是增函数， 所以 g xmax g3 . 7m 6<0，6所以 m&l

17、t;7，就 0< m<6；7当 m 0 时， 6<0 恒成立；当 m<0 时， gx在1,3 上是减函数，所以 g xmax g1 . m 6<0，所以 m<6 ，所以 m<0.6综上所述： m 的取值范畴是 m|m<7.方法二由于 x2 x 1 x1232>0， 4又由于 mx2 x1 6<0 ，所以 m<6.x2 x 1学习必备欢迎下载6由于函数y 26在 1,3 上的最小值为16，所以只需m<6即可 .x x 1x 22 37746所以， m 的取值范畴是m|m<7 .思维升华1对于一元二次不等式恒成立问题，恒

18、大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方 .另外常转化为求二次函数的最值或用分别参数法求最值.2 解决恒成立问题肯定要搞清谁是主元，谁是参数， 一般地， 知道谁的范畴， 谁就是主元，求谁的范畴，谁就是参数.2已知函数fx 的取值范畴 .x2 2x a，如对任意x 1 ， ， fx>0 恒成立，试求实数axx 2x a2解由于 x 1 ， 时， fxx>0 恒成立，即x 2x a>0 恒成立 .即当 x 1 时， a> x2 2x gx恒成立 .而 g x x2 2x x12 1 在

19、1 ， 上单调递减， 所以 g xmax g1 3，故 a> 3.所以，实数a 的取值范畴是 a|a> 3.转化与化归思想在不等式中的应用典例： 10 分12021江·苏 已知函数fx x2 ax ba，br 的值域为 0 ， ，如关于 x的不等式fx< c 的解集为 m， m 6，就实数c 的值为 .2 已知 a 1,1 ，不等式x2 a 4x 4 2a>0 恒成立，就x 的取值范畴为 . 思维启发1考虑函数f x、方程 f x 0 和不等式的关系；2 可把不等式看作关于a 的一次不等式 .解析1由题意知fx x2 ax b xa22 b a .24学习必备

20、欢迎下载a2a2. fx的值域为 0 ， ， b 0，即 b44a 2 fx x 2.a又f x<c. x22<c，即 ac<x< 2ac. 2 ac m，2a 2c m 6. ，得 2c 6， c 9.2 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记fa x 2a x2 4x 4，就由 fa>0 对于任意的a 1,1 恒成立，易知只需f 1 x2 5x 6>0，且 f1 x2 3x 2>0 即可，联立方程解得x<1 或 x>3.答案192 x|x<1 或 x>3温馨提示此题解法中利用了转化与化归思想.1 中利用“三个二次”之间的联

21、系，将不等式、函数、方程之间相互转化；2 中将已知不等式看作关于a 的一次不等式， 表达了主元与次元的转化.利用转化与化归思想的原就是熟识化原就、简洁化原就、直观化原就、正难就反原就.方法与技巧1.判定不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特殊是对于有肯定条件限制的挑选题，用特殊值验证的方法更简洁.2.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法的主要步骤为作差 变形 判定正负 .3.“ 三个二次 ”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a<0 的情形转化为a>0 时的情形 .4.简洁的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式的

22、解法进行求解.学习必备欢迎下载失误与防范1.不等式的性质应用要精确，特殊在不等式两边同乘以或同除以一个数时，肯定要搞清符号.2.对于不等式ax2 bx c>0 ，求解时不要遗忘争论a 0 时的情形 .3.当 <0 时， ax2 bx c>0 a 0的解集是r 仍是 .，要留意区分 .a 组专项基础训练时间： 40 分钟 一、挑选题1.下面四个条件中，使a>b 成立的充分而不必要的条件是a. a>b 1b. a>b1c.a2>b2d. a3>b3答案a解析由 a>b1，得 a>b 1>b，即 a>b，而由 a>b 不能

23、得出a>b 1，因此，使a>b 成立的充分而不必要的条件是a>b1.2.2021 陕·西 设 x表示不大于x 的最大整数，就对任意实数x， y 有a. x xb.2 x 2xc. xy x yd. x y x y答案d2解析特殊值法 .令 x 1.5， 1.5 2， 1.5 1，故 a 错； 2 ×1.5 3,21.5 2，故 b 错；令 x 1.5，y 0.5， x y 2， x y 10 1，故 c 错.1， q 1xx ，其中 a>2， x r，就 p， q 的大小关系是3.已知 p aa 22a. p qb. p>qc.p<qd.

24、p q答案a解析p a1 a21 2 22 4，当且仅当a 3 时取等号 .由于 x2 2 2，a 2a 22所以 q 1x2x 1 2 4，当且仅当x 0 时取等号 .所以 p q.24.20211安·徽 已知一元二次不等式fx<0 的解集为x|x< 1或x>2，就 f10x>0 的解集为 a. x|x< 1 或 x> lg 2学习必备欢迎下载b. x| 1<x< lg 2 c. x|x> lg 2d. x|x< lg 2答案d解析由已知条件0<10x<1，解得 x<lg 1 lg 2.225.如集合 a

25、 x|ax2 ax 1<0 .，就实数a 的取值范畴是 a. a|0<a<4b. a|0 a<4c. a|0<a 4d. a|0 a 4答案d解析由题意知a 0 时，满意条件 .a 0 时，由a>02得 0<a 4，所以 0a 4.a 4a 0二、填空题6.已知 a<0， 1<b<0 ，那么 a， ab， ab2 的大小关系是 . 用“ >”连接 答案ab>ab2>a解析由 1<b<0，可得 b<b2<1.又 a<0， ab>ab2>a.7.函数 yx2 x12的定义域是 .

26、答案， 4 3 ， 解析由 x2 x 12 0 得x 3x 4 0， x 4 或 x3.8.已知不等式2 2x k2 1>0 对一切实数x 恒成立，就实数 k 的取值范畴为 .x答案，2 2， 解析由题意，知 44× 1× k2 1<0 ，即 k2>2， k>2或 k<2.三、解答题9.如不等式ax2 5x2>0 的解集是1 x|<x<2.21 求实数 a 的值；2 求不等式 ax2 5x a2 1>0 的解集 .学习必备欢迎下载，解1 由题意知a<0，且方程ax2 5x 20 的两个根为 122，代入解得a 2.

27、22 由1知不等式为2x 5x3>0 ，即 2x 25x 3<0 ，解得 3<x<1，2.即不等式ax2 5x a2 1>0 的解集为 3，12 y2210.1 设 x<y<0，试比较 x22y y与x ·x y的大小；x12 已知 a，b， x， y 0， 且1，x>y，求证：x>y.a>b1 解方法一x2 y2 x y x2 y2x y x y x2 y2 x y2 2xyx y， x<y<0， xy>0， x y<0， 2xyx y>0， x2 y2xy> x2 y2 x y.方法二

28、 x<y<0， x y<0， x2>y2， x y<0. x2 y2xy<0， x2 y2x y<0，x ay bx2 y2x yx2 y2 0<22 22<1，x yx yx y 2xy x2 y2xy> x2 y2 x y.2 证明xybxay.x ay bx ay b 1 1> 且 a， b0， ， b>a>0， a b又x>y>0， bx>ay>0 ，bx ay>0 ，x>y.x ay bx aybb 组专项才能提升时间： 30 分钟 1.如 a<0，就关于x 的不等

29、式x2 4ax 5a2>0 的解集是 a. ， a5a， b. ， 5a a， 学习必备欢迎下载c.5a， ad. a， 5a答案b解析由 x2 4ax 5a2>0 得x 5ax a>0 ， a<0， x<5a 或 x> a.2.设函数 fx x2 1，对任意 x3，2，f x 4m2·fx f x 14fm恒成立， 就实数 mm的取值范畴是 .答案 m|m3或 m322 x2解析依据题意得2 1 4m2 x2 1 x 12 14m2 1. m在 x3， 上恒成立， 212323即m2 4m x2 x 1 在 x ， 上恒成立 . 2当 x332532时函数 y x2 x 1 取得最小值，所以 12 522m2 4m3，即 3m 14 m 3 0，解得 m332 或 m 2 .3.设 fx是定义在r 上的以 3 为周期的奇函数，如f1>1 ，f2 是 .答案 1， 232a 3，就实数 a 的取值范畴a 1解析 fx 3 fx， f2 f 1 3 f 1 f1< 1.2a 3< 1.a 13a