UB码ECchapt09

1、李莉，Notes to Error Control Code，2004.08.019. Turbo codes and TCM TechnologyTurbo码、调制与卷积码的结合（TCM技术）.ref, 吴伟陵, p306316； 王新梅，p487501;5055189.1 Turbo codes 1993年法国人Berrou等在ICC国际会议上提出了一种采用重复迭代(Turbo)译码方式的并行级联码，并采用软输入输出译码器，可以获得接近Shannon极限的性能，至少在大的交织器和BER»10-5条件下，可以达到这种性能。Turbo码的优良性能，受到移动通信领域的广泛重视，特别是在

2、第三代移动通信体制中，非实时的数据通信广泛采用Turbo码。 1产生背景 由于Turbo码的性能已逼近理论上最优的Shannon信道编码的极限，因此需首先简介Shannon信道编码定理。 (1)Shannon信道编码定理 1948年信息创始人CEShannon从理论上证明了信道编码定理，又称为Shannon第二编码定理。它指出只要在信道中实际传输速率R小于信道容量值C，就可以在该信道中实现几乎无差错的传输。 Shannon等人的证明中引用了三个基本条件： 采用随机编译码方式； 编译码的码长L®¥； 译码采用最佳的最大后验译码。 20世纪60年代后牛期，Gallager和Fo

3、rney分别给出下列误码率的指数界:·对于分组码，Gallager在采用随机码及最佳最大后验译码前提下，给出下列指数界： Pee-LlEl(R) (9.1)其中L1为分组码长，E1(R)>0为可靠性函数； ·稍后，对于串接级联码Forney在采用准最佳的广义最小距离译码前提下，给出了类似的下列指数界 Pee-L2E2(R) (9.2)其中，L2为串接级联码码长，E2(R)为非随机级联码的可靠性函数；·可见，只要当L1, L2®¥，则Pe®0，这说明构造足够长的编码，才是信道编码的发展方向；·两者相比，E2 (R)<

4、; E1(R)，所以L2>L1。这说明随机编码效率要高于非随机编码，即使这样，级联的长码也是发展方向之一。(2)目前实际工程中实现的信道编码长期以来，由于译码的复杂度高，人们将构造信道编码的重点放在短码上，即寻找较简单可译码的短码结构，并使其具有尽可能大的最小距离，如分组码和卷积码等。 1996年，Forney首先提出利用两个短码串接构成串行级联码。 ·其典型形式是内码采用较简单的卷积码，外码则采用较复杂的RS码； ·其纠错能力亦为两者串联乘积，内码纠正组内(字节)随机独立差错，外码则纠正内码不能纠正的字节内、外随机与突发差错。 (3)关于最佳译码 对于数字通信，前面

5、已指出，理论上最佳的译码准则是最小平均误码e准则，它可等效为最大后验概率准则，且在发送码元等概率条件下又可等效为最大似然准则，进一步对于二进制对称信道，还可等效为最小汉明距离准则。 就最大后验或最大似然准则而言，其译码复杂度一般为O(2k)，O(2n-k)，其中k为分组信息码元长度。可见要实现中等长度的最佳译码都相当复杂，几乎不可能。 从译码算法上看，到目前为止，工程上可用的最佳译码算法仅有约束长度较小(一般10)的维特比译码。 准(次)最佳译码大致分为两个方向：逐位软判决译码和逐字(组)软判决译码。 Turbo码采用的译码是1997年提出的计算每位码元最大后验概率的迭代算法，又称为BCJR算

6、法。 采用Forney串接级联方式，虽然可由短码串接成长码，但由于码型确知，构造规则确知，一旦码率R接近信道容量C，其渐近性能都很差。即R/C®1时，Pe­­，即其性能上仍存在着几乎不可逾越的鸿沟。 (4)级联码的软输出译码 理论与实际证明，软判决译码要比硬判决译码改善大约2 dB. 所谓硬判决是指传统的两电平“0”，“1”判决，在低信噪比时判决，容易丢失有用信息；而软判决则是按m2n的多电平判决。多电平数越多性能越好，但是实现设备也就越复杂，工程上只能取其折衷，即m4或8即可。外编码器内编码器交织器去交织信道内译码器外译码器输入信息输出信息图9.1 级联码的典型

7、原理框图传统的级联码典型结构如图9.1所示。由图可见，译码时首先对内码卷积码、实现软判决译码，称它为软判决维特比算法。为了改进级联码译码性能，最好让级联码中的外码也实现软判决，但是其前提是内码必须软输出，BCJR逐位码元最大后验概率迭代算法可提供软输出译码算法，这样外码可以从传统的RS码改为软入软出的卷积码，又称为SISO译码算法。 再进一步，若能将外码的软输出译码反馈至内码输入端，则使迭代译码成为可能，但是现有典型串接式反馈方式是难以实现的。 难以实现的原因有两个： 由串接编码方程, 对于外码：c1f(x)；对于内码：c2g(c1)，因此外译码输出关于符号x的信息并不能直接提供关于内码输入c

8、2的软信息； ·简单反馈可能引入正反馈，使算法不收敛。 为了克服以上两个缺点，采用并行级联方式，并要求两层码均为系统码，而通过两层间充分交织处理后，去掉已用过的关于该符号本身部分，则可消除正反馈。 2Turbo码编、译码结构 (1)Turbo码的提出: Turbo码是1993年在ICC国标会议上由两位法国教授与一位缅甸籍博士生(CBerrou，AC1avieux和PThitimajshlwa)共同提出。英文中前缀Turbo带有涡轮驱动，即反复迭代的含义。Figure 9.2 Turbo码编码器框图(2)Turbo码编码原理: 如图9.2所示。 图中编码器的3个组成部分：·直

9、接输入部分；·经编码器I，再经过开关单元（删余puncturing）后送入复接器；·先经过交织器、编码器，再经开关单元（删余puncturing）送入复接器。；两个编码器分别称为Turbo码二维分量码，它可以很自然地推广到多维分量码：·分量码既可以是卷积码，也可以是分组码，还可以是级联码；·两个分量码既可以相同，也可以不同；·原则上讲，分量码既可以是系统码，也可以是非系统码，前已指出，为了有效地迭代必须选系统码。Xs, Xp分别是未编码序列和校验位序列。(3)Turbo码译码器结构Turbo码译码器结构如图9.3所示。图9.3 Turbo码译码

10、器框图 由于Turbo码是由两个或多个分量码经不同交织后对同一信息序列进行编码，对任何单个传统编码，通常在译码器的最后得到硬判决译码比特，然而Turbo码译码为更好的利用译码器之间的信息，译码算法所用的是软判决信息而不是硬判决。一个由两个分量码构成Turbo码的译码器是由两个与分量码对应的译码单元和交织器与解交织器组成的，将一个译码单元的软输出信息作为下一个译码单元的输入；为获得更好的译码性能，将此过程迭代数次。这就是Turbo码译码器的基本的工作原理。 Turbo码译码器的基本结构由两个软输入软输出(SISO)译码器DECl和DEC 2串行级联组成，交织器与编码器中所使用的交织器相同。译码器

11、DECl对分量码RSCl进行最佳译码，产生关于信息序列u中每一比特的似然信息，并将其中的“新信息”经过交织送给DEC 2，译码器DEC 2将此信息作为先验信息，对分量码RSC2进行最佳译码，产生关于交织后的信息序列中每一比特的似然比信息，然后将其中的“外信息”Le21经过解交织送给DECl，进行下一次译码。这样，经过多次迭代，DECl或DEC 2的外信息趋于稳定，似然比渐近值逼近于对整个码的最大似然译码，然后对此似然比进行硬判决，即可得到信息序列u的每一比特的最佳估值序列u。 假定Turbo码译码器的接收序列为y(ys,yp)，冗余信息yp经解复用后，分别送给DEC 1和DEC 2。于是，两个

12、软输出译码器的输入序列分别为： dec 1：yl(ys,y1p) dec 2：y2(ys,y2p) 为了使译码后的比特错误概率最小，根据最大后验概率译码准则，Turbo译码器的最佳译码策略是，根据接收序列y计算后验概率(APP)P(uk)=P(uk|y1,y2)，显然，这对于稍微长一点的码计算复杂度太高。在Turbo码的译码方案中，巧妙地采用了一种次优译码规则，将y1和y2分开考虑，由两个分量码译码器分别计算后验概率P(uk)=P(uk|y1,Le1)和P(uk)=P(uk|y1,Le2)，然后通过DECl和DEC 2之间的多次迭代，使它们收敛于MAP译码的P(uk)=P(uk|y1,y2)，

13、从而达到近Shannon限的性能。这里，Le1和Le2为附加信息。其中，Le1由DEC 2提供，在DECl中用作先验信息；Le2由DECl提供，在DEC 2中用作先验信息。·并行级联卷积码的反馈迭代结构中软信息的转移过程：DEC1 ®DEC2® DEC1 ®DEC2., 类似于涡轮机原理(Turbo)，故称为Turbo码；·译码算法采用软入软出(SISO)的BCJR迭代算法；·Berrou指出，当分量码采用简单递归型卷积码，交织器大小为256X 256时，计算机仿真结果表明：当Eb/N00.7dB，BER105，性能极其优良。 (4)

14、结论初步分析 其优良性能是由分量码设计、交织器设计、译码算法及其并联结构进行组合优化共同取得的。 Turbo码的主要特色(优点)·发端交织器起到随机化码重分布的作用，使Turbo码最小重量尽可能大，即随机化编码的作用；·收端交织器与相应的多次迭代译码起到随机译码的作用，同时对有突发错误的衰落信道起到化突发为随机独立差错的作用；·级联编、译码起到利用短码构造长码的作用，再加上交织的随机性使级联也具有随机性，从而克服了固定式级联渐近性能差的缺点；·并行级联结构与最优的多次迭代软输入软输出的BCJR算法，大大地改善了译码的性能。Turbo码的主要缺点·

15、;译码设备很复杂，因此寻找在译码性能与复杂性上折衷的改进型算法是实用化的 关键技术；·译码时延太大，因此无法应用于实时的通信系统(比如话音)；·在低误码率时产生地板效应，其主要原因是由于Turbo码的自由距离太小。9.2 TCM Technology 前面所研究的信道编码(分组码、循环码、BCH、RS码等)是在低频谱效率，h<1条件下的高可靠性信道编码。1982年Ungerboeck提出网格编码调制(Trellis Coded Modulation TCM)。开创了高频谱效率h>1条件下信道编码的研究。 1TCM提出的背景 为了适应电信工程上在模拟电话线上高速拨

16、号上网传送数据的需求，即研究限带(04kHz)高速数据传输的要求Ungerboeck提出了网络编码调制(TCM)的新概念。其原理如下。根据著名的Shannon公式C=Wlog2(1+Ps/(WN0) bit/s(9.3)假若取入公用网的标准大约为Ps/NPs/(WN0)28dB，在模拟电话04kHz的传输线上可供使用的振幅相位平坦段大约为W=2.4kHz。现将这两个参数代人公式(9.3)中可求得C=2.4*103 log2(1+1028/10)» 22k bit/s(理论值)，实际上若采用二进制，只能传送2.4 kbits。若要进一步提高传输速率，只能依靠多进制调制以及它与编码的结合

17、。下面，先介绍多电平调幅(MASK)、多进制调相(MPSK)、多进制星座调制(MQAM)的图形表示，如图9.4所示。 由图9.4可得如下结论： (1)信号抗干扰性能主要决定于调制后信号在欧氏空间的距离大小。 (2)一维调制MASK抗干扰性不如二维调制的MPSK和MQAM，因为在二维欧氏空间中的信号点的距离比在一维欧氏空间中的大。(3)在不增加总信号平均功率的条件下，信号点间的欧氏距离越来越密，这时要想进一步增加抗干扰性能，必须利用信道纠错码增大信号空间的维数以进一步扩大信号点间的欧氏距离。同时多维调制下的信道编码又会遇到两类距离的问题。 2两类距离的概念 根据上面的分析，在调制中其抗干扰性主要

18、取决于调制后信号点在欧氏空间中距离的大小，即被调信号在欧氏空间中的距离越大，其抗干扰性也就越强。然而在信道编码中，其抗干扰性则主要取决于码组(字)间的汉明距离的大小。汉明距离是有限域中的距离，它与欧氏距离是两个不同的概念，两类距离指导了两类抗干扰的理论与技术的发展。那么在什么情况下，两类距离具有等效性，即是有“一一对应”的关系，又在什么情况下，它们不存在“一一对应”的关系呢? 经分析人们发现，当信号的进制数小于四时，即二进制与四进制时，存在“一一对应”的关系，八进制以上“一一对应”关系就不再成立。下面进行简要分析，见图9.5。Figure 9.4 MASK, MPSK, MQAM 调制信号矢量

19、图信道编码中的汉明距离二进制：d1'=01=1四进制：d1'=0001=1=0010d2'=0011=2Figure 9.5 二/四进制调制的欧氏距离图信号调制成的欧氏距离二进制：d1=01=1四进制：d1=0001=1=0010d2=0011=Ö2 可见，在四进制以下两类距离具有“一一对应”的关系。这种情况下度量抗干扰的两类距离不存在矛盾，它们是一致的。因此在这种情况下特别是对二进制通信，Shannon曾建议将通信系统优化的两个主要部分调制与信道编码分开来优化，这样可简化分析和实现。根据这一建议在低频谱效率， h<1的编码中已被广泛采用并已取得了很大的

20、成功。比如，目前已找到了一系列的分组码、卷积码、级联码，以及Turbo码和低密度校验码(LDPC)等。但是，进一步研究将发现对于八进制及其以上，两类距离“一一对应”的关系将不再成立。图9.6 8PSK调制矢量欧氏空间图形 下面，分析八进制调制与编码的两类距离，图9.6给出8PSK调制矢量欧氏空间图。 八进制信道编码的三类汉明距离：(1) d1'=1000001=000010=000100=(2) d2'=2000011=000101=000110=(3) d3'=3000111=八进制调制的四类欧氏距离:(1) d1Ö2-Ö2(2) d2Ö

21、2(3) d3Ö2+Ö2(4) d42 八进制情下，三类Hamming距离和四类欧氏距离无法直接建立“一一对应”关系。一般地，多进制（大于等于八进制)情况下，编码的汉明距离与调制的欧氏距离不能建立直接、简单的“一一对应”关系。然而在信道传输中信号的抗干扰性主要取决于调制后信号在欧氏空间中的距离大小，因此如何协调两类距离的对应关系就成为多进制下高效信道编码中如何提高抗干扰性的一个核心问题。 3Ungerboeck子集划分理论 1982年，Ungerboeck对多进制情况下的两类距离的不一致性进行了深入的研究，并在此基础上提出了“子集划分”理论。利用这一理论将待传送的信源消息变

22、成为待发送的调制信号，并用计算机搜索了一批符合子集划分且具有最大欧氏距离的信道纠错码，称它为UB码。 UB码是一类调制联合优化的编码，它一般是利用(n1，n，m)卷积码，其中n表示输入消息，n1表示输出码元，m表示编码器中的寄存器节数。即将n位消息送入编码器，输出n1位码元，它不仅与输入的n位消息还与编码器中寄存的m位消息有关，且将每一个码组(字)与调制信号的星座图中的一个信号点相对应。星座中共有2n+1个信号点，为了使发送信号间欧氏距离最大，可将2n+1信号点划分为若干个子集，子集中信号的欧氏距离随划分次数而增大，即d1<d2<d3<，从而解决了两类距离的一致性问题。 以8

23、PSK调制信号为例，见图9.7。 d12Ö r sinp/8=Ö2-Ö2 =0.765由图9.7可见，将一个8PSK的信号集合A(即会有8个黑色信号点的集合A)逐次按照“一分为二”方式进行子集划分。若设8PSK的信号点位于半径r1的单位圆上，则集合A中各信号点的欧氏距离第一次子集划分AB0ÈB1 d2Ö2 =1.44图9.7 8PSK调制信号子集划分图子集B0 ，B1中各有4个黑色信号点， 且位置相间隔，Bi (i=0,1)中各黑色信号点的欧氏距离扩大为第二次子集划分B0C0ÈC2B1C1ÈC3其中各子集Ci (i=0,1,

24、2,3)中各有二个黑色信号点，且位置相间隔，各子集中黑色信号点间的欧氏距离进一步扩大为d32第三次，也是最后一次子集划分：图9.8 TCM的一般结构C0D0ÈD4C1D1ÈD5C2D2ÈD6C3D3ÈD7其中各子集Di (i=07)中各有一个黑色信号点。可见每次子集划分都使各子集中信号点间的欧氏距离不断扩大：即d1<d2<d3<。在上述8PSK调制信号的子集划分中，经过三次划分，使每个子集仅包含一个黑色信号点为止。实际上，在一般情况下，不一定要划分到每个子集中仅含有一个黑色信号点才为止，比如上述8PSK调制信号的星座可以只进行两级(两次

25、)划分，即产生4个子集，而每个子集中包含有两个黑色信号点。究竟应该划分到什么程度合适，这完全取决于编码特性，一般情况下编码过程可按图9.8进行。用码率为n/(n+1)的卷积编码器与相应的调制器联合优化编码。 由图9.8可知，用(n+1,n,m)卷积码，一个n比特的信息组可分解为nn1+n2（对应的调制信号点为2n+12n1+1×2n2），其中nl比特组被送入(n1+1,n1,m)卷积编码器并编成n1+1比特组输出，而另一组n2比特不参与编码。这样，从编码器得出的n1+1比特可以在经过子集划分后的信号星座的2n1+1个子集中选取其中之一，而未编码的n2比特则被送至在已划分的(共有2n1

26、+1个子集),并被选中的那个子集中的2n2个信号点中选取其中之一。具体地，这n2比特与子集中信号如何映射，在TCM设计中并不重要，因为它不影响TCM的自由距离，故对码的性能影响不大。在网格图中子集内的2n2个信号点对应着2n2条并行转移支路。若当n20，则nnl，即所有的信息比特都参与编码。 4TCM的实现 TCM是通过扩展信号的星座图的大小，而不是利用传统的扩展频带来获取编码增益的，故其频谱效率高，并称为高效编码调制。它的最佳性是通过将编码器和调制器作为一个统一的整体来加以考虑的，使得编码器与调制器级联后具有最大的欧氏自由距离，从信号空间角度看这种最佳编码调制的设计实际上是一种对信号空间的最

27、佳分割。这类最佳分割具有以下两个特点。 (1)星座中的所有信号点数大于未编码同类调制所需的信号点数；通常是信号点扩大1倍，扩大后多余的信号点为纠错编码提供了冗余度。 (2)采用卷积码在信号点之间引入某种依赖性，只有某些信号点序列是允许出现的，这些允许信号点序列可以模型化为网格结构，故称为网格编码凋制。 通常，TCM最优码是按照编码信号的网格图确定的。下面，从一个具体例子出发，分析、总结TCM网格图的构造原则。图9.9四状态网格编码的8PSK调制信号图 以上面分析的8PSK调制信号星座与网格编码的结合使用为例。图9.9表示一个四状态网格图与8PSK调制的结合的四状态网格图。(采用(3,2,2)

28、或(2, 1 ,2)卷积编码器。编码器有m2个寄存器，故编码器状态有4个，Si, i=0,1,2,3。) 其中，图9.9(a)表示在网格图上每一个分支对应四个子集ci，（i0,1,2,3）中的一个，编码的信息比特组n1=1， 2n1+14。对于8PSK调制的8个星座，每个子集ci，（i0,1,2,3）包含两个信号点，未编码信息比特组n2=1，2n22。对照图9.7与图9.9(b)，则有状态转移：c0包含两点为(000,100), 对应的八进制为(0,4)；c2包含两点为(010,110), 对应的八进制为(2,6)；cl包含两点为(001,101), 对应的八进制为(1,5)；c3包含两点为(

29、011,111), 对应的八进制为(3,7)。 这样，在四状态的网格图上的每个转移包含两条并行路径，如图9.9所示。理论分析指出(ref. 王新梅p493494)，在四状态的网格图中，由任何状态发出又汇合于某一状态的两条路径的最小欧氏距离的最大值是2，在网格码中称它为自由欧氏距离，并用df表示，由图9.7及图9.9可知，dfd32，它与不编码的QPSK调制的欧氏距离d2Ö2相比，四状态网格编码取得了3dB的编码增益(因为d32/d224/2=2，为3dB)。 对上面8PSK信号星座与四状态网格码结合使用的分析，可总结出相应TCM网格图的构造原则。 (1)所有的调制信号点应有相同的出现

30、频率，并应有一定的规则结构形式，比如对称性等。(2)并行转移(若存在)的输出信号点取自同一ci子集。是具有最大的欧氏距离的信号点，比如8PSK的4个子集c0，c1，c2，c3，其欧氏距离为d32。(3)从任状态出发的所有分支输出信号取自同一Bi子集。具有次最大的欧氏距离，d2=Ö2。(4)汇合于任一状态的所有转移输出取自子集(c0,c2)或(c1,c3)。应具有次最大的欧氏距离，比如对8PSK指定子集(c0,c2)或(c1,c3)，其具有次最大欧氏距离d2=Ö2。图9.10四状态网格编码最优码与8PSK信号映射图其中规则(1)是保证网格码具有一定的规则结构，而规则(2)、(

31、3)、(4)则是保证从任何状态出发并汇合于该状态的单条或多条路径的欧氏距离一定要大于不编码的QPSK的欧氏距离。 根据图9.8所示的TCM一般结构图给出四状态网格编码与8PSK调制相结合的最优码编码器结构的原理图，如图9.10所示。 在四状态网格码中，dfd32，因受并行转移距离的限制，编码增益也受限于3dB，但是若能采用更多状态数，则可取得更大的编码增益。有人通过计算机搜索找到8状态与16状态最优网络码，其编码增益可提高到3.6 dB与4.1 dB。 5TCM的应用 基于Ungerboeck对高效TCM的研究成果，很快将这一技术应用于模拟电话线(04kHz)的限带高速、高效数据传输中。198

32、6年ITU-T通过了以Wei提出的8状态(3，2，4)非线性二维码为基础的V32和V33标准，后来接着又通过了仍以Wei提出的另一种以16状态(3，2，5)线性四维码为基础的V34标准。 其中V32标准的TCM技术中采用了两个未编码比特和32点的星座图。它在频谱效率h4.0比特符号和9 600bits数据传输速率的条件下，与未采用TCM的V.29标准在同样的数据传输速率下，可获得大约3.5 dB的性能增益，若与未编码的16QAM(h4.0比特符号)相比，在BER» 10-5时，可获得3.6 dB编码增益。 在V.33标准的TCM技术中采用了四个未编码比特和128点星座图，它在频谱效率

33、h=6.0比特/符号和14.4kbits数据传输速率的条件下，与64QAM(h6.0比特符号)相比，在BER»10-5时，可获得3.6dB的编码增益。 在V34标准的TCM技术中采用16状态的(3，2，5)线性四维Wei码，并综合了一些先进、复杂的信号处理技术，比如实时信道探测技术、自适应均衡技术以及预编码等技术，可以将以前的2 400符号秒进一步提高至3 429符号秒。在V34中数据速率不一定是符号速率的整数倍，由于它采用了一种先进的外壳构图技术，允许对每个符号的部分比特进行构图。最理想情况下，最终可实现频谱效率h=10比特/符号和数据传输速率高达33.6 kbits。 下面，介绍

34、ITUT的V32标准中采用的Wei提出的8状态非线性二维码和32点星座图。如图9.11所示。 图中有4个输入信息位：x1,x2,x3,x4；5个输出码位：y0为奇偶校验码；y1，y2为经差分编码后的信息位；y3=x3,y4=x4未经编码器。这样，每4个输入信息位，传送一个32点星座图上的信号，其频谱效率，h4.0比特符号。由于在图中的编码器中使用了两个与门，因此属于非线性卷积编码器。非线性编码器需要使码字对9<)相位旋转不变性，差分编码可满足这一要求，故又使用了差分编码，这也是Wei设汁此码的一个至关重要的条件。 在·V33标准中使用了与V32标准具有同样形式与结构的非线性卷积

35、编码器和类似的信号星座图，只不过将V32中的2个未编码信息位增加至4个未编码信息位，并将V32中的32点星座图扩大至128点星座图，从而使频谱效率增加至l>60比特符号。 下面，给出Wel的16状态(3，2，5)线性四维码的原理性方框图和相应的224点星座图和它的镜像，可形成448点二维信号星座图，它与ITUT，V34标准-·致。 图7129表示V34标准的16状态(3，2，5)线性四维码原理性方框图。9.3 A comparison of block and convolutional codes Fig.10.2 Comparison of a block and CC o

36、n a BSC.Algebraic decoding (for block or convolutional )of BCH-RS codes: This codes were designed for a very special class of channels, the q-ary symmetric channels (in particular the binary symmetric channel in the case of BCH codes), and the decoding algorithms are not easily (if not all) adaptabl

37、e to other channels.Viterbi and sequential decoding for convolutional codes may not mathematically profound, are extremely robust and can rather easily be adapted to a very wide class of channels. And since a relatively small fraction of the communication channels that arise in practice are well mod

38、eled by a qSC (except when the data networks become more and more popular), a relatively large fraction of practical applications of coding theory involve convolutional and not block codes.Consider the application of (127,64) 10-error-correcting BCH code with PGZ decoding algorithm and a (2,1,6) convolutional code with generator matrix G=(x6+x4+x3+x+1, x6+x5+ x4+x3 +1).The 1st channel example: figure 10.2