初三数学专家讲座

1、整理课件整理课件1阅读理解与动手操作型问阅读理解与动手操作型问题题整理课件整理课件2一、北京近五年中考操作题统计一、北京近五年中考操作题统计专题北京近五年中考统计题型中考预测20092010201120122013实验与操作旋转、等积变换轴对称平移、等积变换坐标变化，方程组三角形、正方形、等积变换解答题整理课件整理课件3 操作类问题操作类问题在北京中考在北京中考20072007年出现在年出现在2121题，题，20082008年及此后固定出现在年及此后固定出现在2222题。此外某些试卷选题。此外某些试卷选择第择第8 8题和填空第题和填空第1212题以及几何综合题也可能包题以及几何综合题也可能包含

2、操作元素；含操作元素； 考试说明考试说明上没有专门针对操作类问题的阐上没有专门针对操作类问题的阐述，它是对几何知识的述，它是对几何知识的综合实践综合实践考查，渗透在各考查，渗透在各个知识点，多为个知识点，多为B B，C C级要求；级要求； 操作类问题通常有操作类问题通常有阅读信息阅读信息，结果可能具有，结果可能具有开开放性放性，常常设有，常常设有直接填空直接填空答题形式；答题形式；二、题型特点二、题型特点整理课件整理课件4 操作类问题丰富多变，操作类问题丰富多变，不容易找到模式化训练方法，不容易找到模式化训练方法，不容易在短期内取得突破不容易在短期内取得突破； 解决操作类问题，首先要求有对图形

3、的解决操作类问题，首先要求有对图形的空间感知能空间感知能力力，其次要具备，其次要具备创造性思维和想象能力创造性思维和想象能力，同时要有对，同时要有对所学几何知识的所学几何知识的整合能力整合能力，还要有，还要有阅读理解能力阅读理解能力，因，因此具有一定难度；此具有一定难度； 北京中考或模拟题中北京中考或模拟题中2222题通常能激发同学们的解题题通常能激发同学们的解题兴趣，有些学生面对兴趣，有些学生面对4-54-5分往往需要投入大量时间，而分往往需要投入大量时间，而且甘愿投入大量时间，且甘愿投入大量时间，欲罢而不能欲罢而不能，最后还不一定能，最后还不一定能得到分。得到分。整理课件整理课件5三、重视

4、图形变换三、重视图形变换1我们学习的几何变换有几种：我们学习的几何变换有几种：2要理解这几种变换的作用是什么？各自能解决什要理解这几种变换的作用是什么？各自能解决什么问题？怎样解决的等几个问题么问题？怎样解决的等几个问题.全等变换、相似变换、等积变换全等变换、相似变换、等积变换.全等变换：是指不改变图形形状与大小的变换全等变换：是指不改变图形形状与大小的变换.相似变换：是指不改变图形形状只改变图形大小的相似变换：是指不改变图形形状只改变图形大小的变换变换.等积变换：是指不改变图形大小只改变图形形状的等积变换：是指不改变图形大小只改变图形形状的变换变换.整理课件整理课件6全等变换问题（平移、轴对

5、称、旋转）全等变换问题（平移、轴对称、旋转） 首先要理解运用这种变换的一些基本情况：首先要理解运用这种变换的一些基本情况：按指令语言，按规定的变换移动图形；按指令语言，按规定的变换移动图形；按指令语言拼接图形；按指令语言拼接图形；根据题目的需要设计变换（需要理解变根据题目的需要设计变换（需要理解变换的条件与相应的方式与方法；需要解读好换的条件与相应的方式与方法；需要解读好题目的直接或隐含的条件）题目的直接或隐含的条件）.整理课件整理课件7例例1.（2009.22）阅读下列材料：阅读下列材料： 小明遇到一个问题：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸个同样大小的正方形纸片排列形式如图片排列形式

6、如图1所示，将它们分割后拼接成一个所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形新的正方形. 他的做法是：按图他的做法是：按图2所示的方法分割后，所示的方法分割后，将三将三角形纸片绕角形纸片绕AB的中点的中点O旋转至三角形纸片处，旋转至三角形纸片处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.图图1 1图图2 2（一）以旋转为背景的操作型题目（一）以旋转为背景的操作型题目整理课件整理课件8请你参考小明的做法解决下列问题：请你参考小明的做法解决下列问题：（1）现有）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所

7、所示示.请将其分割后拼接成一个平行四边形要求：在图请将其分割后拼接成一个平行四边形要求：在图3中画出中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；的平行四边形即可）；（2）如图）如图4，在面积为，在面积为2的平行四边形的平行四边形ABCD中，点中，点E、F、G、H分别是边分别是边AB、 BC、CD、DA的中点，分别连结的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形得到一个新的平行四边形MNPQ. 请在图请在图4中探究平行四边形中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）面积的大小（画图并直接写出结果）.

8、图图3 3图图4 4整理课件整理课件9【评析评析】本题是一道融阅读、理解、动手操本题是一道融阅读、理解、动手操作、猜想、探究于一体的图形变换问题作、猜想、探究于一体的图形变换问题. .考考查的知识主要有图形的认识、平行四边形、查的知识主要有图形的认识、平行四边形、矩形、正方形及矩形、正方形及中心对称、旋转、面积等，中心对称、旋转、面积等，并进一步对学生的识图能力、动手操作能力、并进一步对学生的识图能力、动手操作能力、逆向思维能力、信息迁移能力以及相关几何逆向思维能力、信息迁移能力以及相关几何知识的综合运用能力提出了更高的要求知识的综合运用能力提出了更高的要求. .整理课件整理课件10可行复习建

9、议：可行复习建议：1.有关中点的联想：有关中点的联想：（1）等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想）等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三三线合一线合一”的性质的性质（2）直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想）直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜斜边上的中线，等于斜边的一半边上的中线，等于斜边的一半”（3）三角形中遇到两边的中点，常联想）三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的三角形的中位线定理中位线定理”（4）遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想）遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型八字型”全等三角形全等三角形（5）圆中遇到弦的中点，常联想）圆中遇到弦的中点，常联想“垂径

10、定理垂径定理”（6）遇到中点，联想共边等高的两个三角形面积相）遇到中点，联想共边等高的两个三角形面积相等等整理课件整理课件11剪拼成剪拼成平行四边形平行四边形2.与中点有关的图形剪拼：与中点有关的图形剪拼：整理课件整理课件12剪拼成剪拼成矩形矩形整理课件整理课件13剪拼成剪拼成平行四边形平行四边形整理课件整理课件14剪拼成剪拼成梯形梯形用用已有结果已有结果整理课件整理课件15剪拼成剪拼成梯形梯形 用用已有结果已有结果整理课件整理课件16 讨论讨论: :怎样特殊的三角形能剪拼成怎样特殊的三角形能剪拼成菱形菱形? ?将将图形图形( (菱形菱形) )分割分割逻辑思考逻辑思考12B CA B整理课件整

11、理课件17 讨论讨论: :怎样特殊的三角形能剪拼成怎样特殊的三角形能剪拼成正方形正方形? ?逻辑思考逻辑思考2ADBCDADBC于，整理课件整理课件18 讨论讨论: :怎样特殊的三角形能剪拼成怎样特殊的三角形能剪拼成正方形正方形? ?逻辑思考逻辑思考12ADBCD ADBC于，或等腰直角三角形（将图形或等腰直角三角形（将图形(正方形正方形)分割）分割）.整理课件整理课件19 引申引申: :用用四边形四边形能剪拼成能剪拼成特殊四边形吗特殊四边形吗? ?整理课件整理课件20 ?b?aab矩形剪拼成正方形矩形剪拼成正方形整理课件整理课件21在菱形纸片在菱形纸片ABCD中，中，AB=4cm，ABC=1

12、20，按下列步骤进行裁剪和拼图：，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步：如图第一步：如图1，在线段，在线段AD上任意取一点上任意取一点E，沿，沿EB，EC剪下一个三角形纸片剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用余下部分不再使用)； 第二步：如图第二步：如图2，沿三角形，沿三角形EBC的中位线的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点上任意取一点M，线段，线段BC上任意取一点上任意取一点N，沿，沿MN将梯形纸片将梯形纸片GBCH剪成两部分；剪成两部分； 第三步：如图第三步：如图3，将，将MN左侧纸片绕左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转点按顺时针方向旋转180，使

13、线段，使线段GB与与GE重合，将重合，将MN右侧纸片绕右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转点按逆时针方向旋转180，使线段，使线段HC与与HE重重合，再与三角形纸片合，再与三角形纸片EGH拼成一个与三角形纸片拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸面积相等的四边形纸片片 (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠) （1）请你在图）请你在图3中画出拼接成的四边形；中画出拼接成的四边形； （2）直接写出拼成的四边形纸片周长的最小值为）直接写出拼成的四边形纸片周长的最小值为_cm，最大值为，最大值为_cm （2013东城东城22）整理课件整理课件22通过操作，我们可以看到最后

14、所得的四边形纸片是一通过操作，我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形，其上下两条边的长度等于原来菱形的个平行四边形，其上下两条边的长度等于原来菱形的边边AB=4，左右两边的长等于线段，左右两边的长等于线段MN的长，当的长，当MN垂垂直于直于BC时，其长度最短，等于原来菱形的高的一半，时，其长度最短，等于原来菱形的高的一半，于是这个平行四边形的周长的最小值为于是这个平行四边形的周长的最小值为 ；当点；当点E与点与点A重合，点重合，点M与点与点G重合，点重合，点N与点与点C重合时，线重合时，线段段MN最长，等于最长，等于 ，此时，这个四边形的周长最大，此时，这个四边形的周长最大，其值为其

15、值为 . 82 384 72 7整理课件整理课件232010.北京中考北京中考 22. 阅读下列材料：阅读下列材料： 小贝遇到一个有趣的问题：在矩形小贝遇到一个有趣的问题：在矩形 中中ABCD， AD=8cm， AB=6cm现有一动点现有一动点 按下列方式在矩形内运动：它从按下列方式在矩形内运动：它从 A点出发，沿着与点出发，沿着与 AB边夹角为边夹角为 45的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为动方向，沿着与这条边夹角为 45的方向作直线运动，并且它一直按照的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，

16、即当这种方式不停地运动，即当 P点碰到点碰到 BC边，沿着与边，沿着与 BC边夹角为边夹角为45 的的方向作直线运动，当方向作直线运动，当 点点P碰到碰到 CD边，再沿着与边，再沿着与 CD边夹角为边夹角为 45 的方向的方向作直线运动，作直线运动，如图，如图1所示问所示问 P点第一次与点第一次与D 点重合前与边相碰几次，点重合前与边相碰几次， P点第一次与点第一次与 D点重合时所经过的路径的总长是多少点重合时所经过的路径的总长是多少 小贝的思考是这样开始的：如图小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形将矩形 ABCD沿直线沿直线 CD折叠，得折叠，得到矩形到矩形 A1B1CD由轴对称的知识，由

17、轴对称的知识，发现发现 P2P3=P2E，P1A=P1E （二）以轴对称为背景的操作型题目（二）以轴对称为背景的操作型题目整理课件整理课件24 请你参考小贝的思路解决下列问题：请你参考小贝的思路解决下列问题： （1） P点第一次与点第一次与 D点重合前与边相碰点重合前与边相碰_次；次； P点从点从 A点点出发到第一次与出发到第一次与 D点重合时所经过的路径地总长点重合时所经过的路径地总长_cm； （2）进一步探究：改变矩形）进一步探究：改变矩形 ABBCD中中 AD、AB的长，且满足的长，且满足ADAB 动点动点 从从 A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并点出发，按照阅读材料中动点的运动

18、方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形 ABCCD相邻的两边相邻的两边上若上若 P点第一次与点第一次与 B点重合前与边相碰点重合前与边相碰7次，则次，则 AB:AD的值为的值为_整理课件整理课件25例例. . 边长为边长为1 1的正方形的正方形ABCDABCD中，中，M M、N N分别是分别是ADAD、BCBC的的中点，将点中点，将点C C折至折至MNMN上落在点上落在点P P的位置，折痕为的位置，折痕为BQBQ，连结连结PQ .PQ .（1 1）求线段）求线段MPMP的长；（的长；（2 2）求线段）求线段PQPQ的长的长. . ?Q Q?N N?MM

19、?B B?C C?A A?D D?P P?Q Q?N N?MM?B B?C C?A A?D D?P P30发现图中隐含的轴对称关系是关键！发现图中隐含的轴对称关系是关键！整理课件整理课件26可行复习计划：可行复习计划： 1、翻折问题 2、“将军饮马”问题整理课件整理课件27“将军饮马将军饮马”问题问题整理课件整理课件28整理课件整理课件29整理课件整理课件30（2011.北京中考北京中考）阅读下面材料：）阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图小伟遇到这样一个问题：如图1，在梯，在梯形形ABCD中，中，ADBC，对角线，对角线AC、BD相相交于点交于点O 若梯形若梯形ABCD的面积为的面积为

20、1，试求，试求以以AC、BD、AD+BC的的长度为三边长的三长度为三边长的三角形的面积角形的面积图图1 1（三）以平移变换为背景的操作型题目（三）以平移变换为背景的操作型题目整理课件整理课件31 小伟是这样思考的：小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可他先后尝试了翻折、旋转、平再计算其面积即可他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题移的方法，发现通过平移可以解决这个问题他的他的方法是过点方法是过点D作作AC的平行线交的平行线交BC的延长线于点的

21、延长线于点E，得到的得到的BDE即是以即是以AC、BD、AD+BC的长度为三的长度为三边长的三角形（如图边长的三角形（如图2）请你回答：图请你回答：图2中中BDE的面积等于的面积等于 图图2 2整理课件整理课件32参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图如图3，ABC的三条中线分别为的三条中线分别为AD、BE、CF（1）在图）在图3中利用图形变换画出并指明以中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长的长 度为三边长的一个三角形（保留度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；画图痕迹）；（2）若）若ABC的面积为的面积为1，则以，则以AD、BE、

22、CF的长度为三边的长度为三边 长的三角形的面积等于长的三角形的面积等于 图图3 3【评析评析】本题是一道阅读理解、操作题本题是一道阅读理解、操作题. .此题为不同学习水平此题为不同学习水平的学生提供了平台，突出考查了学生的学习过程，体现了新的学生提供了平台，突出考查了学生的学习过程，体现了新课程标准的理念课程标准的理念. .考查了平行四边形、梯形、三角形中线、面考查了平行四边形、梯形、三角形中线、面积和平移等知识；要求学生通过阅读理解对所给信息和方法积和平移等知识；要求学生通过阅读理解对所给信息和方法进行现场学习、动手画图和知识迁移，考查了几何探究的能进行现场学习、动手画图和知识迁移，考查了几

23、何探究的能力、创新能力、综合运用几何知识解决新问题的能力力、创新能力、综合运用几何知识解决新问题的能力. .整理课件整理课件33(2012 (2012 海淀一模海淀一模) 22) 22阅读下面材料：阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图小明遇到这样一个问题：如图1 1，ABOABO和和CDOCDO均为等腰直角三角形均为等腰直角三角形, , AOB=COD =90AOB=COD =90若若BOCBOC的面积为的面积为1 1， 试求以试求以ADAD、BCBC、OC+ODOC+OD的长度为三边长的三的长度为三边长的三角形的面积角形的面积 小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的

24、线段，小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可他利用图形变换解决了这个问题，其解题构造一个三角形，再计算其面积即可他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长思路是延长COCO到到E, E, 使得使得OE=CO, OE=CO, 连接连接BE, BE, 可证可证OBEOBEOAD, OAD, 从而得到的从而得到的BCEBCE即是以即是以ADAD、BCBC、OC+ODOC+OD的长度为三边长的三角形（如图的长度为三边长的三角形（如图2 2）请你回答：图请你回答：图2 2中中BCEBCE的面积等于的面积等于_ 请你尝试用平移、旋转、翻折的方

25、法，解决下列问题：请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：如图如图3 3，已知，已知ABC, ABC, 分别以分别以ABAB、ACAC、BCBC为边向外作正方形为边向外作正方形ABDEABDE、AGFCAGFC、BCHI, BCHI, 连接连接EGEG、FHFH、IDID（1 1）在图）在图3 3中利用图形变换画出并指明以中利用图形变换画出并指明以EGEG、FHFH、IDID的长的长 度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2 2）若）若ABCABC的面积为的面积为1 1，则以，则以EGEG、FHFH、IDID的长度为的长度为三边长的三角形的面

26、积等于三边长的三角形的面积等于_ _ ADCOBEBOCDAIHGFABCDE整理课件整理课件34整理课件整理课件35（四）等积变换问题（四）等积变换问题 这是新课标在重视几何变换的前提下与实际问题这是新课标在重视几何变换的前提下与实际问题相结合而形成的问题，它主要体现在以下问题中：相结合而形成的问题，它主要体现在以下问题中： 图形在不改变大小的情况下的移动；图形在不改变大小的情况下的移动； 图形的分割与组合；图形的分割与组合； 图形的拼接图形的拼接.整理课件整理课件36等积变换的基本原理：等积变换的基本原理：等底等高的两个三角形面积相等不等底但等高的两个三角形面积的比等于底边的比等底但不等高

27、的两个三角形面积的比等于高的比等积变换的基本图形等积变换的基本图形整理课件整理课件37等积变换的基本图形等积变换的基本图形整理课件整理课件38用等积变换作图用等积变换作图根据等积关系，可以使某些作图题较快地得到解答。根据等积关系，可以使某些作图题较快地得到解答。例例1.1.用三种方法把任意一个三角形分成四个面积用三种方法把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。相等的三角形。 整理课件整理课件39 例例2.如图如图 ABC，过，过A点的中线能把三角形分成面积点的中线能把三角形分成面积相同的两部分相同的两部分.你能过你能过AB边上一点边上一点E作一条直线作一条直线EF，使它也将这个三角形分成两个

28、面积相等的部分吗？使它也将这个三角形分成两个面积相等的部分吗？A AB BC CE E整理课件整理课件40过梯形中位线中点且与过梯形中位线中点且与上下底相交的任意直线上下底相交的任意直线例例3.如图，梯形纸片如图，梯形纸片ABCD中，中，ADBC且且ABDC.设设AD=a,BC=b.过过AD中点和中点和BC的中点的直线可将的中点的直线可将梯形纸片梯形纸片ABCD面积分成面积相等的两部分面积分成面积相等的两部分.请你请你再设计一种方法再设计一种方法:只须用剪子剪一次将梯形纸片只须用剪子剪一次将梯形纸片ABCD分割成面积相分割成面积相等的二部分，画出设计的图形并简要说明你的分等的二部分，画出设计的图形并简要说明你的分割方法割方法.整理课件整理课件41 例例4.有一块形状如图的耕地，兄弟二人要把它分成两有一块形状如图的耕地，兄弟二人要把它分成两等份，请你设计一种方案把它分成所需要的份数如等份，请你设计一种方案把它分成所需要的份数如果只允许引一条直线