全称量词与存在量词

1、全称量词与存在量词编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；2能准确地使用全称量词和存在量词符号“ ”“ ”来表述相关的教学内容；3掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；4. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定 .【要点梳理】要点一、全称量词与全称命题全称量词全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、 “一切” 、 “任给”等. 通常用符号“ ”表示，读作“对任意”.全称命题全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题 .一般形式： “对 M 中任意一个x ，有

2、 p(x) 成立” ，记作： x M , p(x)(其中M为给定的集合，p(x)是关于x的语句).要点诠释： 有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如： ( 1) “末位是 0的整数， 可以被 5 整除” ； ( 2) “线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；( 3 ) “负数的平方是正数” ；都是全称命题 .要点二、存在量词与特称命题存在量词定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.常见存在量词：“有一个”，“存在一个” , “至少有一个” ，“有的” , “有些”等.通常用符号“ ”表示，读作“存在 ”.特称命题特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题 .

3、一般形式： “存在 M 中一个元素x0 ，有p(x0 ) 成立” ，记作： M , p(x0)(其中M为给定的集合，p(x)是关于x的语句).要点诠释： ( 1 )一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在 R, R 使sin() sin sin2)有些特称命题也可能省略了存在量词.3)同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述要点三、含有量词的命题的否定对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p ：x M ， p(x)p 的否定 p ：x0M ，p(x0 ) ；从一般形式来看，全称命题“对M中任意一个x,有p (x)成立"，它的否定并不是简单地对结论部分p(x) 进行否定，还需对全

4、称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意 x M , p(x) ”的否定为“x0M ，p(x0) ”.对含有一个量词的特称命题的否定特称命题 p ：x0M ， p(x0)p 的否定 p ： x M ， p(x) ；从一般形式来看，特称命题“x0M ， p(x0) ” ，它的否定并不是简单地对结论部分p(x0) 进行否定，还需对存在量词进行否定， 使之成为全称量词， 也即 “ x0M ， p(x0) ”的否定为“ x M ， p(x) ”.要点诠释：(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；(2) 命题的否定与命题的否命题是不同的 .(3) 3) 正面词： 等于 、 大于

5、、 小于、 是、 都是、 至少一个、至多一个、 小于等于 否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个、 大于等于 .要点四、全称命题和特称命题的真假判断要判定全称命题“x M, p(x)”是真命题，必须对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立；要判定全称命题“ x M , p(x)”是假命题，只需在集合M中找到一个元素xo,使得p(x0)不成立，即举一反例即可.要判定特称命题“x0M使得p（x0） 成立即可；要判定特称命题“p（Xo） ”是真命题，只需在集合M中找到一个元素X0,X0M ， p（X0） ”是假命题，必须证明在集合p（X） 成立得元素不存在【典型例题

6、】类型一：量词与全称命题、特称命题【高清课堂： 全称量词与存在量词395491 例 1 】例 1. 判断下列命题是全称命题还是特称命题 .（ 1） x R, X2+1 >1；（ 2）所有素数都是奇数；（ 3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（ 4）有些整数只有两个正因数.【解析】（ 1）有全称量词“任意” ，是全称命题；（ 2）有全称量词“所有”，是全称命题；（ 3）有存在量词“存在” ，是特称命题；（ 4）有存在量词“有些” ；是特称命题。【总结升华】 通过量词来确定命题是全称命题还是特称命题 . 判断一个命题是否含有全称量词和存在量词， 关键是看命题中是否有“所有”， “任意”，

7、“任何”， “存在”， “有的”，“至少有”等词语，或隐含有这些词语的意思.举一反三：【变式】下列命题中全称命题的个数为 （）平行四边形的对角线互相平分梯形有两边平行存在一个菱形，它的四条边不相等（ 0B 1（ 2D 3【答案】 C【解析】是全称命题，是特称命题.类型二：判断全称命题、特称命题的真假（ 2. 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假 .（1） 1）对数函数都是单调函数；（2） 2）至少有一个整数，它既能被 2 整除，又能被5 整除；（3） x x|x是无理数, x2是无理数；（4） Xo x|x Z , log 2X00.【解析】(1)全称命题，真命题.(2)特称命题，

8、真命题.(3)全称命题，假命题，例如X0 J3,但X02 3是有理数.(4)特称命题，真命题.【总结升华】(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合 M中的每一个元素X,验证p(x)成立；要判断全称命题是假命题， 只要能举出集合 M中的一个X X0,使p(x0)不成立即可；(2)要判断一个特称命题的真假， 依据：只要在限定集合 M中，至少能找到一个x X0,使P(X0)成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题举一反三：【变式1】下列全称命题中真命题的个数为()末位是0的整数，可以被2整除；角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；正四面体中相邻两侧面的夹角相等.A. 1 B . 2

9、 C . 3 D . 0【答案】C【高清课堂： 全称量词与存在量词 395491例2】(1) 2】判断下列命题的真假.(2) p：x R,x220 ;(3) p：x N,x41 .(4) 】(1)命题为真；(5) 命题为假；类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定例3.写出下列命题的否定并判断真假(6) p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(7) p：每一个非负数的平方都是正数；(8) p：存在一个三角形，它的内角和大于180 ;(9) p：有的四边形没有外接圆；(10) p：某些梯形的对角线互相平分 .【解析】(1)存在未位数字是 0或5的整数但它不能被 5整除，假命题；(11

10、) 在一个非负数的平方它不是正数，真命题；(12) 何一个三角形它的内角和都不大于180°,真命题；(13) 有的四边形都有外接圆，假命题；(14) 一梯形的对角线都不互相平分，真命题【总结升华】命题的否定要与否命题区别开来，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题.举一反三：【变式1】(2015浙江)命题 n N,f(n) N 且f(n) n的否定形式是()A.N , f (n) N 且 f (n) nB.N , f (n) N 或 f (n) n_ _ * _ . . 一* 一 一, 、 . * _ . . 一*,、一，、C.n0N,f(n0)N 且 f(n0)noD

11、.n0N , f (n0)N 或 f(n0)no【答案】D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选 D.【变式2】命题 x0 R , Xo2 1 0的否定是-【答案】x R, X2 1 0【变式3】写出下列命题的否定，并判断真假 .(1) x R,x2 4x 4 0；(2) 所有的正方形都是矩形；2(3) xo R,xo xo 1 0;(4) 至少有一个实数 x。，使得x2 2 0.【答案】,.、_2一 .，一(5) p ：x0 R,x0 4x0 4 0 (假命题)；(6) p ：至少存在一个正方形不是矩形(真命题) ；2一 ，一(7) p ：xR, xx10 (真命题)；,_2_ ，一

12、(8) p ：xR, x20(真命题).类型四：含有量词的命题的应用x 199例4.已知p ：|1 1 2, q:x 2x 1 m 0(m 0),右 p是 q的必要不充分条件，求实数 m的取值范围【解析】<02 x 10x 1x 1 ,p:|1 | 22 1 233q:x2-2x+1-m 2< 0x-(1-m)x-(1+m)又 m>0，不等式的解为 1-m< x< 1+m p是 q的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“ p是q的充分不必要条件”.X 1_99.、，不等式|1 | 2的解集是x-2x+1-m W0(m>0)的解集的子集.31 m 2m 3,m 91 m 10m 9实数m的取值范围是9,【总结升华】本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性，使用的技巧与方法是利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式， 找解集间的包含关系，进而使问题解决.举一反三：【变式1】已知p： xw2或yw3; q： x+yw5,判断p是q的什么条件.【答案】p : x 2JL y=