大学数学：ch3-2(3) 不定积分

1、2012年12月7日南京航空航天大学 理学院 数学系1第第3章章 一元函数积分学及其应用一元函数积分学及其应用第第1节节 定积分的概念，存在条件与性质定积分的概念，存在条件与性质第第2节节 微积分基本公式与基本定理微积分基本公式与基本定理第第3节节 两种基本积分法两种基本积分法第第4节节 定积分的应用定积分的应用第第5节节 反常积分反常积分第第6节节 几类简单的微分方程几类简单的微分方程2第第2 2节节 微积分基本公式与基本定理微积分基本公式与基本定理2.1 2.1 微积分基本公式微积分基本公式2.2 2.2 微积分基本定理微积分基本定理2.3 2.3 不定积分不定积分32.3 2.3 不定积

2、分不定积分微分法微分法:( )( ? )Fx 积分法积分法:( ? )( )f x 互逆运算互逆运算1 1 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念2 2 基本积分公式基本积分公式3 3 不定积分的性质不定积分的性质41 1 原函数原函数与不定积分的概念与不定积分的概念定义定义 1 1 若在区间若在区间 I(有限或无穷有限或无穷) 上定义的两个函数上定义的两个函数 F (x) 及及 f (x)满足满足( )( )( )( )Fxf xdF xf x dx 或或则称则称 F (x) 为为f (x)在区间在区间 I上的一个上的一个原函数原函数 . . 例例 sincos()xx xR 1ln(

3、0)xxx 5问题问题 1. 1. 在什么条件下在什么条件下, , 一个函数的原函数存在一个函数的原函数存在 ? ?2. 2. 若原函数存在若原函数存在, , 是否唯一是否唯一? ? 3.3.若不唯一有多少个若不唯一有多少个? ? 它们之间有什么联系？它们之间有什么联系？原函数存在定理原函数存在定理( )( )( )f xC If xI若在 上一定存在原函数.若在 上一定存在原函数.对于第对于第1 1个问题个问题, ,有有(后面证明后面证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数. .6问题问题 1. 1. 在什么条件下在什么条

4、件下, , 一个函数的原函数存在一个函数的原函数存在 ? ?2. 2. 若原函数存在若原函数存在, , 是否唯一是否唯一? ?若不唯一有多少个若不唯一有多少个? ? 3.3. 它们之间有什么联系？它们之间有什么联系？例例 xxcossin xCxcossin （ 为任意常数）为任意常数）C对于第对于第2 2个问题个问题, , 若原函数存在若原函数存在, , 原函数有无穷多原函数有无穷多! !7问题问题 1. 1. 在什么条件下在什么条件下, , 一个函数的原函数存在一个函数的原函数存在 ? ?2. 2. 若原函数存在若原函数存在, , 是否唯一是否唯一? ?若不唯一有多少个若不唯一有多少个?

5、? 3.3. 它们之间有什么联系？它们之间有什么联系？推论推论4.24.2( ),( )( )( )( )( ),.F x G xIFxGxF xG xC xIC如果函数在区间 上可微，如果函数在区间 上可微，且且其中 为常数其中 为常数由第由第2 2章第章第4 4节的节的f (x)的任意两个原函数之间相差一个常数!8积分常数积分常数( )( )( ),F xC Fxf xxI CR积分号积分号被积函数被积函数( )f x dx 被积表达式被积表达式积分变量积分变量( ),( )( )f xIf xIf x 若在区间 内存在原函数 则在 内若在区间 内存在原函数 则在 内的原的原义义函数全体称

6、为的函数全体称为的2 2 积积，记作，记作定定不定分不定分通常简写成通常简写成( )( )f x dxF xC ( C 为任意常数为任意常数 )9注意注意 1.1.积分号“”是一种运算符号，它表示求已知积分号“”是一种运算符号，它表示求已知函数的所有原函数；函数的所有原函数；2. 求不定积分的运算与求不定积分的运算与微分运算是微分运算是的的.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知不定不定求已求已积分积分知函数的知函数的方法方法即的称为即的称为所有原函数所有原函数积分法积分法. .( )df x dxdx ,)()(dxxfdxxfd ( )Fx dx .)()( CxFxdF.,先先导导

7、后后积积常常数数要要先先积积后后导导全全消消掉掉( ),f x( )F xC 10例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx11不定积分的几何意义不定积分的几何意义:)(xf的原函数的图形称为的原函数的图形称为)(xfxxfd)(的图形的图形的所有积分曲线组成的所有积分曲线组成)(xf的平行曲线族的平行曲线族.yxo0 x的的积分曲线积分曲线 . ( )yF xC12求求f (x)的过的过(x0 , y0)的积分曲线的积分曲线 : 000000(,)( )()( )xyyF

8、xCCyF xCyF xC将代入可解得将代入可解得：,：,即得到所求的积分曲线：即得到所求的积分曲线：定义 用于确定常数C的条件0000()xxyyy xy 或或称为称为初始条件初始条件, ,带有初始条件的求原函数问题带有初始条件的求原函数问题, ,称为称为初值问题初值问题: :00( )( )xxyxf xyy 13例例3 3 求求的初值问题的初值问题解解12,2xyxy 2yx 1,C . 12 xy12xy 将初始条件代人得，将初始条件代人得，故初值问题的解为故初值问题的解为: :几何上几何上, ,在所有切线斜率等于横坐标的两倍的积分在所有切线斜率等于横坐标的两倍的积分曲线中，通过点（曲

9、线中，通过点（1 1，2 2）的积分曲线为）的积分曲线为. 12 xy22,yxdxxC 2012年12月10日南京航空航天大学 理学院 数学系142 2 基本积分公式基本积分公式利用逆向思维利用逆向思维(2)x dx (3)dxx (5)xe dx (4)xa dx ;lnCaax xeC(1)kdx 11xC kxCln xC(1); ();kR 15(6)cos xdx ;sinCx (7)sin xdx ;cosCx 2(8)cosdxx xdx2sec;tanCx 2(9)sindxx xdx2csc;cotCx (11)csccotxxdx (10)sectanxxdx secxC

10、cscxC1621(13)1dxx ;arctanCx 21(12)1dxx ;arcsinCx arccos.xC或或arccot.xC或或Cx ch(15)ch dx x Cx sh(14)sh dx x 2shxxeex2chxxeex17例例4 4 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根据积分公式（根据积分公式（2）11xx dxC 183 3 不定积分的性质不定积分的性质( )( ),f xg xI 若，在区间 内存在若，在区间 内存在性质性质原函数原函数 则则(1) ( )( )f xg x dx ;)()( dxxgdxxf(2

11、)( )kf x dx .)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k若1( )( ) ,niiif xk f x 则则1( )( )niiif x dxkf x dx 19例例5 5 求积分求积分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 20例例6 6 求积分求积分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx 21例例7 7 求积分求积分2tan.xdx 解解 原式原式 =2(sec1)dxx 2sec

12、 d xdxtan xxC2211.sincosdxxx EX1EX1 求积分求积分422.1xdxx 31arctan3xxxCtancotxxC32 (5)d.xxex 52ln21ln2xxeC 22例例8 8 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 说明说明： 以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.23内容小结内容小结1. 不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表 (见见P 186)2. 直接积分法直接积分法:利用利用恒等变形恒等变形, 及及 基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分 .常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式 , 代数公式代数公式 ,积分性质积分性质24ch,2xxeex sh2xxeex 思考与练习思考与练习1. 证明证明 212,sh,chxxxeexex.chshxexx 都是的原函数都是的原函数2. 若若( ),xef x 是的原函数则是的原函数则2(ln )d x fxx 提示提示:xe ( )()xf xe ln xe (ln )fx1x 212xC