大学数学：ch6-8 各种积分的联系及其在场论中的应用-1

1、2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系1第第8节节 各种积分的联系各种积分的联系 及其在场论中的应用及其在场论中的应用Green 公式、平面线积分的路径无关性公式、平面线积分的路径无关性Stokers 公式与旋度公式与旋度Gauss 公式与散度公式与散度几种重要的特殊向量场几种重要的特殊向量场2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系2格林格林(Green)(Green)公式及其应用公式及其应用( )( )( )baFx dxF bF a 牛顿牛顿莱布尼茨莱布尼茨(Newton-leibniz(Newton-leibniz) )公式公式问题的提出问题的提出)?()?(CDdxdy

2、C D复习复习2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系38.1 8.1 格林格林( (Green) )公式公式8.2 8.2 平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与路径无关的条件格林格林(Green)(Green)公式及其应用公式及其应用2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系48.18.1格林格林(Green)(Green)公式公式D 设设D为平面区域为平面区域, , 如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的区域都属于围成的区域都属于D, , 则称则称D为平面为平面单连通区单连通区域域, , 否则称为否则称为复复( (多多) )连通区域连通区域. .复连通区域复连通区域单

3、连通区域单连通区域D1 1、区域连通性的分类、区域连通性的分类2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系52 2、区域边界的正向规定、区域边界的正向规定.DC设设为为有有界界闭闭区区域域，其其边边界界曲曲线线为为边界曲线边界曲线C的正向的正向: : 当沿边界当沿边界C的这个方向前进时的这个方向前进时,区域区域D永远在其左边永远在其左边.12CCC由与连成由与连成12CCC由与组成由与组成2CD1C2C1CD边界曲线边界曲线C取正向时取正向时,记作记作C+2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系6)?()?(CDdxdy C D( , )CP x y dx ( )( )( )baFx

4、dxF bF a DPdxdyy ? ( , )CQ x y dy DQdxdyx ? 3 3、格林、格林(Green)(Green)公式公式2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系7DPdxdyy ( , )CP x y dx ( , )( , )EFP x y dxP x y dx ABi）积分区域）积分区域D是是X型区域型区域?( , )CDPdxdyP x y dxy 21( )( )bxaxPdxdyy 21 ( ,)( )( ),)baP xP xxdxx 21( )( ,() ),bbaaP xdxdxxxxPCABEFA ABBEEFFA)(1xy )(2xy DabAB

5、EFxyo21( )(,()(),)bbaaP xdxxdxxxP 21( )(,()(),)bbaaP xdxxdxxxP (1)(2) 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系8同理，可证明同理，可证明;DCQdxdyQdyx 积分区域积分区域D是是Y型区域型区域积分区域积分区域D是既是是既是X X型又型又Y型区域型区域()CDQPdxdyPdxQdyxy ydcxo)(2yx)(1yx yC Dyxodcab2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系93 3、格林、格林(Green)(Green)公式公式说明说明：区域：区域D可以是可以是单连通区域单连通区域也可以是也可以是复连

6、通区域复连通区域.2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系10ii）积分区域）积分区域D不不是是X型或型或Y Y 区域区域则可通过加辅助线将其分割为有限个既是则可通过加辅助线将其分割为有限个既是X型又型又是是Y Y区域区域1D2D3DCDl2l1l2112233()ClClClPdxQdy CPdxQdy 123()CCCPdxQdy C1C2C3证明证明:()DQPdxdyxy 123()DDDQPdxdyxy 123CCCC 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系11iii）积分区域）积分区域D是复连通区域是复连通区域D().DCQPdxdyPdxQdyxy D1D2()DQ

7、Pdxdyxy 12()DDQPdxdyxy C1C2C=C1+ C2ABEF12CFE BAAB FE CPdxQdyPdxQdy12CCPdxQdyPdxQdyD1,D2为单连通区域为单连通区域2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系12格格林林公公式式的的实实质质: : 沟沟通通了了沿沿闭闭曲曲线线的的积积分分与与二二重重积积分分之之间间的的联联系系.(1)(2)(3) ( ,),( ,)CCP x yQ x yD 使使用用格格林林公公式式要要注注意意以以下下几几点点：封封闭闭曲曲线线取取正正方方向向在在上上有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数注LDxydxdyPdxQdyPQ 方

8、便记忆形式：方便记忆形式：2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系13(1)计计算算曲曲线线积积分分；格林公式的应用格林公式的应用2CDdxdyxdyydx 由格林公式，设由格林公式，设: CDAdxdyPdxQdy (2)计算平面图形的面积.计算平面图形的面积.2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系14例例星形线星形线:33cos,sinxat yat12DCSAdxdyydx 332022coss1()23 sincos3 cossininatataat dtttt 22424203(cossinsincos)2atttt dt 222203sincos2attdt 2220

9、3sin 28atdt 22203113(sin4 )|8288aatt 解解 .所围的平面面积所围的平面面积2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系1522,xyPyxQ 例例解解yxPxyQ22 2222:2Cxy dyx ydxCxyx 计算计算是沿圆周的正向闭路是沿圆周的正向闭路22Cxy dyx ydx 22()Dyxd 22()Dxyd 224423cos42d 222cos30dr dr 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系1623168sinsin8sin)sin1(2sin)cos2cos31()sin(sin)cos1(cossin)cos1(4022202

10、20222202222 dttttdtttdtttdtttttttydxxdyxyL 20:sincos1 ttytx又解又解2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系17解解cosxPeymy cosxQeyx xyo)0 ,(aAMdxdyyPxQDAMOA )( Ddxdym,82am 0)(000dmedxxaaAO , 0 082 am.82am L OAOAAMOAOAI AMOAAOI计算计算sin,cosxxPeymyQeym 设设则则2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系18 求曲线积分时求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算,若积分路径不是

11、闭曲线若积分路径不是闭曲线, 可可添加辅助线添加辅助线.说明：说明：2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系19222222222)(:yxyxxQyPyxxQyxyP 用用格格林林公公式式例例4解法二解法二点点处处不不连连续续在在)0 , 0(,QPCxyo1222,0DCCCDCDCyxCo围围成成的的区区域域为为与与围围成成的的区区域域。记记由由为为取取顺顺时时针针，：作作一一圆圆周周为为半半径径为为圆圆心心以以 C)( 1:222222逆逆时时针针计计算算 byaxCyxxdyydxIC.sin,cos:tbytax 令令直直接接计计算算解法一解法一2013年5月南京航空航天大学

12、 理学院 数学系200)(1 DCCdxdyyPxQQdyPdx由由格格林林公公式式得得 CC 222 Cyxydxxdy22:2Cxdyydxxy 又又由由第第二二节节得得CxyoC2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系21。所所围围的的区区域域为为的的连连续续封封闭闭曲曲线线分分段段光光滑滑且且不不经经过过原原点点是是无无重重点点其其中中小小结结：DLLyxydxxdy,:L22 0D)0 , 0()1(22 Lyxydxxdy，则则若若 2D)0 , 0()2(22 Lyxydxxdy，则则若若2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系225.Green5.Green公式的另

13、一形式公式的另一形式0 n(cossin )PQds C C( cossin )()CDCPQdQPPdxQdysdxdyxy Green公式公式C+0cos,cos 正向切矢单位矢正向切矢单位矢0cos,cosn 外法线单位矢外法线单位矢()DPQdxdyxy cos()sin() 22PQds C C(sincos)CPQds ()DPQdxdyxy CQdxPdy 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系238.2 8.2 第二型平面曲线积分与路径无关的条件第二型平面曲线积分与路径无关的条件1 1 概念概念Gyxo 1LQdyPdx则则称称曲曲线线积积分分 LQdyPdx在在G内内

14、与与路路径径无无关关, , 2LQdyPdx1L2LBA 否否则则与与路路径径有有关关. .GLLBAGBAGyxQyxPG 21,),(),(, 的的任任意意两两条条曲曲线线及及从从点点对对任任意意给给定定的的有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,内内具具在在是是一一个个开开区区域域点点设设2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系24定理定理2. 设设D 是单连通域是单连通域 ,( , ),( , )P x yQ x y在在D 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,(1) 沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L , 有有dd0 .LPxQy (2) 对对D 中任一分段光滑

15、曲线中任一分段光滑曲线AB弧弧, 曲线积分曲线积分(3)ddPxQy ( , )u x yd ( , )ddu x yPxQy(4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有.PQyx 与路径无关与路径无关, 只与起点只与起点A和终点和终点B有关有关. 函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价:在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 2.2.等价条件等价条件ABPdxQdy 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系25说明说明: 积分与路径无关时积分与路径无关时, 曲线积分可记为曲线积分可记为 证明证明 (1) (2)设设21, LL12ddddLLPxQyPxQy1dd

16、LPxQy 2ddLPxQy 12ddLLPxQy 0 AB1L2L2ddLPxQy 1ddLPxQy 为为D 内内任意任意两条由两条由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲线线, 则则(根据条件根据条件(1)ddBAPxQy ddABPxQy 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系26证明证明 (2) (3)在在D内取定点内取定点),(00yxA因曲线积分因曲线积分00(,)(,)( , )ddxyxyux yPxQy (, )( , )xuu xx yu x y 则则(,)P xy 0limxxuuxx 0lim(, )xP xx y (,)( ,)ddxxyx yPxQy

17、(,)( ,)dxxyx yPx (, )P xx yx 同理可证同理可证uy (,),Q xy 因此有因此有dduPdxQy和任一点和任一点B( x, y ),与路径无关与路径无关,(,)C xxy ( ,)B xy00(,)A xy有函数有函数 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系27证明证明 (3) (4)设存在函数设存在函数 u ( x , y ) 使得使得ddduPxQy则则( ,),( ,)uuP xyQ xyxyP, Q 在在 D 内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数,22uux yy x 所以所以从而在从而在D内每一点都有内每一点都有PQyx 22,PuQuyx yx

18、y x 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系28证明证明 (4) (1)设设L为为D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线,DD (如图如图) ,D 因此在上因此在上PQyx 利用利用格林公式格林公式 , 得得dd()d dLDQQPxQyxyxy DDL0 所围区域为所围区域为定义定义：如果函数如果函数u(x y)满足满足du(x y) P(x y)dx Q(x y)dy 则则函数函数u(x y)称为称为P(x y)dx Q(x y)dy的的原函数原函数. .2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系29yx说明说明:根据定理根据定理2 , 若在某区域内若在某区域内,xQyP

19、则则2) 可用积分法求可用积分法求d u = P dx + Q dy在域在域 D 内的原函数内的原函数:Dyx),(00及动点及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x则原函数为则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(取定点取定点1) 计算曲线积分时计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径;2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系30例例5. 验证验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分是某个函数的全微分, 并求并求出这个函数出这个函

20、数. 证证: 设设,22yxQyxP则则xQyxyP2由定理由定理2 可知可知, 存在函数存在函数 u (x , y) 使使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx求法求法12013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系31求法求法2存在函数存在函数 u (x , y) 使使yyxxyxuddd22du22()2x yucc 为为常常数数222x yd 222222xyy dx d2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系32求法求法3存在函数存在函数 u (

21、x , y) 使使yyxxyxuddd22uudxdyxy22(1)(2)uuxyyxxy(1)2( )uxy dxy 22( )(3)2x yy (3)22(2)( )uyxyyxy ( )0y ( )yc 代入代入(3)有有22()2x yucc为常数为常数2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系333保守场、有势场和势函数（位函数）概念保守场、有势场和势函数（位函数）概念See P224 0,0,Fmg 00()dd()zzCWFsmg zmg zz 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系34定义定义()()(),()grad (),()()()A MDDu MA Mu M

22、A Mu MA MD 有有势势场场设设向向量量函函数数在在平平面面区区域域（或或空空间间区区域域 ）内内有有定定义义，若若或或内内存存在在一一数数量量函函数数使使得得则则称称为为，函函数数称称为为势势函函向向量量函函数数在在（或或 内内的的( (数数 或或位位函函数数) ). .( , )( , )( , )( , )( , )( , ).A x yP x yQ x yDDu x yduP x y dxQ x y dy 向量场（，）在 内是有势场向量场（，）在 内是有势场在 内存在使在 内存在使定理定理( , , )( , , )( , , ),( , , )( , , )d( , , )d(

23、 , , )d( , , )d .A x y zP x y zQ x y z R x y zu x y zuP x y zxQ x y zyR x y zz 向量场（，）向量场（，）在 内是有势场在 内存在在 内是有势场在 内存在使使定理定理2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系35例例7. 设质点在变力设质点在变力作用下沿曲线作用下沿曲线 L :cos2yx 由由(0,)2A 移动到移动到(, 0),2B 求力所作的功求力所作的功W解解:2( dd )Lkyxxyr 令令22,kykxPQrr 则有则有22224() (0 )Pk xyxyyr Qx 可见可见, 在不含原点的单连通区

24、域内积分与路径无关在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.22() .rxy其中其中LBAyox2( ,)kFyxrdLWFs 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系36:AB2( dd )ABkWyxxyr 0222(sincos)dk cos ,sin(:0 )222xy2k 思考思考: 积分路径是否可以取积分路径是否可以取?OBAO取圆弧取圆弧LBAyox为什么？为什么？注意注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关无关 !2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系37积积分分与与路路径径无无关关xQyP ，解解,2)(2xy

25、xyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系38由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .故故 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)( cxx 2)( 10100ydydx.21 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系39内容小结内容小结1. 格林公式格林公式LyQxPdd2. 等价条件等价条件在在 D 内与路径无关内与路径无关.yPxQ在在 D 内有内有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd对对 D 内任意闭曲线内任意闭曲线 L 有有0ddLyQxP在在 D 内有

26、内有设设 P, Q 在在 D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, 则有则有( , )( , )( , )A x yP x yQ x yD 向量场（，）在 内是有势场向量场（，）在 内是有势场( , )( , )( , )A x yP x yQ x yD 向量场（，）在 内是保守场向量场（，）在 内是保守场2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系4022222.:(1)4,(1)LxdyydxL xyxy 正正向向闭闭路路 则则2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系41解解：用格林公式：用格林公式,也可将曲线写成也可将曲线写成参数方程后化为定积分计算参数方程后化为定积分计算

27、182013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系4222222.:(1)4,(1)LxdyydxL xyxy 正正向向闭闭路路 则则114224LDxdyydxdxdy 先将曲线方程代入被积表达式化简，然后用格林公式先将曲线方程代入被积表达式化简，然后用格林公式或化为定积分计算或化为定积分计算.注意：曲线注意：曲线L所围区域内有奇点（所围区域内有奇点（0，1），），不能直接用格林公式不能直接用格林公式2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系43xxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 解解 xQyP ，原积分与路径无关原积分与路径无关 故故原原式式 101042)1(dyydx

28、x.1523 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系44EX3 计算计算 220.5d0.5d,0.5Lxyxxyyxy其中其中 到点到点 D(0,1) 的路径的路径(见右图见右图). 分析分析 如果第二型曲线积分在某单连通区域内满足如果第二型曲线积分在某单连通区域内满足 与路径无关的条件与路径无关的条件, ,则可改变积分路径则可改变积分路径, ,使易于计算使易于计算. . L 为沿着右半圆周为沿着右半圆周221(0)xyx由点由点 A(0, - -1) xyO(0, 1)A(1, 1)B(1,1)C(0,1)D1L2LL E2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系45解解 记记

29、 220.5( , ),0.5xyP x yxy 2222 2(0.5)2 (0.5).(0.5)QPxyy xxyxy 220.5( , ).0.5xyQ x yxy 易知除去点易知除去点 E(0.5, 0) 外外, 处处满足处处满足 1L(0, 1)A (1, 1),B (1,1),C设设 为由点为由点 到点到点 再到点再到点 最最 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系46220.5d0.5d0.5Lxyxxyyxy1( , )d( , )dLP x yxQ x yy( , )d( , )dABBCCDP x yxQ x yy1LL因为与因为与(0,1)D的折线段的折线段. 后到

30、点后到点 可被包含在某可被包含在某 一不含奇点一不含奇点 E 的单连通区域内的单连通区域内, 所以有所以有1102220110.50.51.5ddd(0.5)10.25(0.5)1xyxxyxxyx2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系474arctan0.52arctan2. 注注1 定理定理 中对中对“单连通区域单连通区域”的要求是重要的要求是重要 的的. .如本例若取沿如本例若取沿 y 轴由点轴由点 A 到点到点 D 的路径的路径 , 虽虽 2L然算起来很简单然算起来很简单, ,但却不可用但却不可用. .因为任何包含因为任何包含 2LL与与的单连通区域必定含有奇点的单连通区域必定

31、含有奇点 E . 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系48 若区域若区域 如图为如图为复连通域，试描述格复连通域，试描述格林公式中曲线积分中林公式中曲线积分中L的方向。的方向。 LDQdyPdxdxdyyPxQoxyABCDEFGDD思考题思考题2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系49思考题解答思考题解答oxyABCDEFGD由两部分组成由两部分组成L外外边界：边界：内内边界：边界：BCDABEGFE2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系50与路径无关的几个等价命题与路径无关的几个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连

32、续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . LQdyPdxD与与路路径径无无关关内内在在)1( CDCQdyPdx闭闭曲曲线线, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使内内存存在在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题（保守场）（保守场）(5),( ,)( ,)( ,)DA x yP x yQ x y 在在 内内（，）为为有有势势场场2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系51练练 习习 题题2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系52二、二、 计算计算 Ldyyxdxxxy)()2(22其中其中L是由抛物线是由抛物线2xy 和和xy 2所围成的区域的正向边界曲线所围成的区域的正向边界曲线, ,并并验证格林公式的正确性验证格林公式的正确性 . .三、三、 利用曲线积分利用曲线积分, ,求星形线求星形线taytax33sin,cos 所所围成的图形的面积围成的图形的面积 . .四、证明曲线积分四、证明曲线积分 )4,3()2, 1(2232)36()6(dyxyyxdxyxy在整个在整个xoy面面内与路径无关内与路径无关,