2020与名师对话抛物线

1、第九节抛物线 (二)高考概览： 1.能够把直线与抛物线位置关系问题转化为研究方程的解的问题，会根据韦达定理及判别式解决问题； 2.进一步体会数形结合分类讨论的思想 知识梳理 1直线与抛物线的位置关系y22px，联立得 k2x22(mkp)xm20.(1)相切： k20， 0；(2)相交： k20， >0；(3)相离： k20， <0.2焦点弦的重要结论抛物线 y22px(p>0)的焦点为 F，过 F 的焦点弦 AB 的倾斜角为 ，则有下列性质：2(1)y1y2 p2，x1x2p .4pp；(2)|AF|x121cospp|BF|x22；1cos2p|AB|x1x2psin2

2、.(3)抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦1p2(4)S.112(5)|AF|BF|为定值 p.(6)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切(7)以 AF(或 BF)为直径的圆与 y 轴相切(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上辨识巧记 一个关注点直线与抛物线相交有两种情况， 一是直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时有一个交点；二是直线与抛物线有两个交点 双基自测 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)直线与抛物线有且仅有1 个公共点，则它们相切()(2)所有的焦点弦中，以通径的长为最短()(3)直线 l 过 (2p,0)，与抛物线 y22px 交

3、于 A、B 两点，O 为原点，则 OAOB()(4)过准线上一点P 作抛物线的切线， A、B 为切点，则直线AB过抛物线焦点 () 答案 (1)×(2)(3)(4)2过点 (0,1)作直线，使它与抛物线y24x 仅有一个公共点，这样的直线有 ()A1 条B2 条C3 条D4 条 解析 由图形可知 y 轴是 y24x 的一条切线，与 y24x 仅有一个公共点，设 ykx1，与 y24x 联立，得 k2x2(2k4)x10，当 k0 时， y1 与 y24x 只有一个交点当 k0 时，由 (2k4)24k20 得 k1，k1 时直线和抛物线只有一个交点，故选 C答案C3(2019

4、83;甘肃张掖诊断 )过抛物线 y24x 的焦点的直线l 交抛物2线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1x26，则 |PQ|()A 9B8C7D6解析 抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x 1，根据题意可得， |PQ|PF|QF|x11x21x1x228.故选 B答案B4(2019 ·湖南郴州模拟 )如图，过抛物线 y22px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为 ()A y29xBy26xCy23xDy23x 解析 设 A，B 在准线 l 上的射影分

5、别为A1，B1，如图，由于 |BC| 2|BF|2|BB1|，则直线 AB 的斜率为 3，故 |AC|2|AA1|2|AF|6，从而 |BF|1，|AB|4，3p|CF|13故 |AA1|AC|2，即 p2，从而抛物线的方程为 y23x，故选 C答案 C23x 的焦点，过 F 且倾5(2019·长沙调研设F为抛物线：)Cy斜角为 30°的直线交 C 于 A，B 两点， O 为坐标原点，则 OAB 的面积为 _3解析 2p2×2由抛物线焦点弦的性质可得 |AB| 2212，结sinsin 30°p3合图象可得O 到直线 AB 的距离 d2sin30

6、6;8，所以OAB 的面积 S192|AB|·d4.9答案 4考点一直线与抛物线的位置关系【例 1】 (1)过点 (0,3)的直线 l 与抛物线 y24x 只有一个公共点，则直线 l 的方程为(2)已知抛物线：22py，直线 l ：y p，M 是 l 上任意一点，Cx2过 M 作 C 的两条切线 l 1，l2，其斜率为 k1，k2，则 k1k2_. 思路引导 (1) 设直线 l的方程 联立得一元二次方程 分类讨论 确定结果(2) 设出切线方程 联立得一元二次方程4由 0得k，p关系式 求出 k1k2 解析 (1)当直线 l 的斜率不存在时， x0，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设

7、方程为 ykx3，代入 y24x，得 k2x2(6k4)x990.当 k0 时，x4，满足题意，直线 l的方程为 y3；当 k011时， (6k4)236k20，得 k3，直线 l的方程为 y3x3.pp(2)设切线斜率为 k，M x0， 2 ，则切线方程为 y2k(xx0)代入 x22py 中得 x22pkx2pkx0p20.0，k2p22px0·kp20.k1、 k2 是以上方程的两个根， k1·k2 1.1 答案 (1)y3x3 或 y3 或 x0(2)1(1)直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但只有一个公共点时未必相切，这主要体现在抛物线和双曲线的情况(2)在讨论

8、时应注意全面，不要忽略二次项的系数为零的情况对点训练 在直角坐标系 xOy 中，直线 l：yt(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y22px(p>0)于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H.|OH|(1)求 |ON|；(2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由5t2 解(1)由已知得 M(0，t)，P 2p，t .2p ，又N为M关于点P的对称点，故t，t ，的方程为yN pONt x2t22t2代入 y22px，整理得 px22t2x0，解得 x10，x2 p .因此 Hp ，2t .|OH|所以 N 为 OH 的中点

9、，即 |ON| 2.(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点理由如下：p2t直线 MH 的方程为 yt2tx，即 x p (yt)代入 y22px 得 y24ty4t20，解得 y1y22t，即直线 MH与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共点考点二 焦点弦问题【例 2】 已知抛物线 y22px(p>0)的焦点为y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点，求证：2(1) y1y2 p2，x1x2p4 ；1 1(2) |AF|BF|为定值；(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切设出直线 AB的方程，思 路引 导与y22px联立F，A(x1，

10、y1)，B(x2，由根与系数关系证明 1 结合 1 及抛物线的定义证明2 3p 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为2，0 .p由题意可设直线AB 方程为 xmy2，6代入 y22px，得 y22p myp2 ，即 y22pmyp20.(*)则 y1，y2 是方程 (*) 的两个实数根，所以y1y2 p2.因为 y212px1，y222px2，所以 y21y224p2x1x2，y12y22p4p2所以 x1x2 4p2 4p2 4 .(2) 1 1 1 1|AF|BF|ppx12x22x1x2pp2.px1x22 x1x2 4p2因为 x1x2 4 ，x1x2|AB|p，代入上式，得1 1 2

11、|AF|BF| p p4 2|AB|2p2p(定值 )|AB|p 4(3)设 AB 的中点为 M(x0，y0)，分别过 A，B 作准线的垂线，垂足11为 C，D，过 M 作准线的垂线，垂足为N，则|MN|2(|AC|BD|)21(|AF|BF|)2|AB|.所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切7解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用， 解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标， 根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解对点训练 设抛物线 y22px(p>0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于A、B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BCx 轴证明：直线 A

12、C 经过原点 O.p 证明 设直线 AB 的方程为 xmy2，代入 p22px，得 y22pmyp20.由根与系数的关系，得yAyB p2，2ppBCx 轴，且 C 在准线 x 2上，pC 2，yB .则 kOCyB2p yAkOAp yA xA2直线AC 经过原点 O.考点三抛物线的综合问题【例 3】(2018 ·全国卷 )设抛物线 C：y22x，点 A(2,0)，B(82,0)，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M，N 两点(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明： ABM ABN. 思路引导 (1) 求出点 M坐标 得直线 BM的方程设出直线 l的方程，

13、得一元二次方程及(2)与抛物线方程联立根与系数的关系 证明 kBM kBN0 证ABMABN 解(1)当 l 与 x 轴垂直时， l 的方程为 x2，可得 M 的坐标为(2,2)或(2， 2)11所以直线 BM 的方程为 y2x1或 y2x1.(2)证明：当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线，所以ABMABN.当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1>0，x2>0.yk x2 ，由得 ky22y4k0，2可知 y1y2k，y1y2 4.直线 BM，BN 的斜率之和为kBMkBN y1 y2x2

14、y1x1y22 y1y2.x12x22x12 x22y1y2将 x1 k 2，x2 k 2及 y1y2，y1y2 的表达式代入式分子，9可得 x2y1x1y22(y1y2)2y1y24k y1y2880.kk所以 kBM kBN0，可知 BM，BN 的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、

15、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用 “设而不求 ”“ 整体代入 ”等解决对点训练 已知过点 A(4,0)的动直线 l 与抛物线 G：x22py(p>0)相交于 B，两点当直线的斜率是1Cl时，AC4AB2.(1)求抛物线 G 的方程；(2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b，求 b 的取值范围1 解(1)设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线 l 的斜率是 2时， l 的方101程为 y2(x4)，即 x2y4，x22py，联立消去 x，得 2y2(8p)y80，x2y4，8py1y22，y1y24，由 AC4AB，y24y1，由韦达定理及p>0

16、 可得 y11，y24，p2，抛物线 G 的方程为 x24y.(2)由题意知直线 l 的斜率存在，且不为零，设 l ：yk(x4)，BC 中点坐标为 (x0，y0)，x24y，2由得 x 4kx16k0，由 >0 得 k<4 或 k>0，x0xBxC2k，y0k(x04)2k24k，221BC 中垂线方程为 y2k 4k k(x2k)，b2(k1)2，b>2.故 b 的取值范围为 (2， )创新交汇系列 利用导数求解抛物线的切线问题素养解读： 焦点在 y 轴上的抛物线可以看作二次函数的图象， 可以借助二次函数的性质解决抛物线问题， 比如可以用导数求曲线上一点的切线11【

17、典例】 (2019 ·湖北襄阳联考 )动点 P 到定点 F(0,1)的距离比它到直线 y 2 的距离小 1.设动点 P 的轨迹为曲线 C，过点 F 的直线交曲线 C 于 A，B 两个不同的点，过点 A，B 分别作曲线 C 的切线，且两切线相交于点 M.(1)求曲线 C 的方程；0.(2)求证： AB·MF 切入点 定义法求 C 的方程 关键点 看到曲线的切线，想到导数的几何意义 规范解答 (1)由已知得动点 P 在直线 y 2 的上方，条件可转化为动点 P 到定点 F(0,1)的距离等于它到直线 y 1 的距离，动点 P 的轨迹是以 F(0,1)为焦点，直线 y 1 为准线

18、的抛物线，故其方程为 x24y.(2)证明：设直线 AB 的方程为 ykx1.x24y，2则得 x 4kx40.设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 xA xB4k，xAxB 4. 由 x24y 得 y14x2，y12x.121直线AM 的方程为 y4xA 2xA (xxA )，121直线 BM 的方程为 y xB xB(xxB)421221122，得 4(xB xA)2(xAxB)x2(xBxA)，xxAxB2k.将 xxAxB22代入，得121 2 1 xBxA 11 2y4xA2xA24xAxB 4xA ，1y4xAxB 1，M(2k， 1)MF( 2k,2)，AB(xBxA，k(

19、xBxA)，AB·MF 2k(xBxA)2k(xBxA)0.利用导数的几何意义解决抛物线中的切线问题优于判别式法， 避免较复杂的计算，体现导数的“工具”作用感悟体验 1 (2018 ·东城区期末 )已知抛物线C1： y12x (p>0)的焦点与双2p曲线 C2：x221 的右焦点的连线交 C1于第一象限的点 M，若 C13 y在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线，则 p()33A16B8C233D433解析由题可知，抛物线开口向上且焦点坐标为0，p，双曲2p线右焦点坐标为(2,0)，所以两个焦点连线的直线方程为y4(x13? x03122)设 M(x0，y0)

20、，则有 y x033p.因为 y0 x0，所以p2py p.又 M 点在抛物线的切线上，即有p p3? p43，故06643 p 2313选 D答案 D：24y 上的动点 (不·天津静海模拟)已知点A为抛物线2 (2018C x含原点 )，过点 A 的切线交 x 轴于点 B，设抛物线 C 的焦点为 F，则ABF 为()A 锐角B直角C钝角D不确定解析设x ，x020)又 y12，则 1，则抛物线CA 04 (x04xy2xx0211在点 A 处的切线方程为 y 4 2x0(xx0)令 y0，解得 B2x0，0 .又，所以 1，11，x02x02x02，则F(0,1)· x&

21、#183; x444BF BA2 02 00ABF为直角，故选 B答案B课后跟踪训练 (六十二 )基础巩固练一、选择题24x1(2019·广东汕头质检)已知抛物线：y的焦点为 F，直C线 y2x4 与 C 交于 A，B 两点，则 cosAFB()43A 5B534C5D 5解析 抛物线C：y24x 的焦点为 F，点F 的坐标为 (1,0)又直线y2x4与 C 交于 A，B 两点，A，B 两点坐标分别为 (1， 8FA·FB2)，(4,4)，则 FA(0， 2)，FB(3,4)，cosAFB 10 |FA|FB|1445.故选 D答案 D： 24x 的焦点为 F，过点 (2,

22、0)·全国卷设抛物线2 (2018)Cy2 ()且斜率为 的直线与 C 交于 M，N 两点，则 FM·3FNA 5B6C7D82解析 由题知直线 MN 的方程为 y3(x2)2联立抛物线与直线方程y3 x2 ，解 得x11，2y12，4x，yx24，y24.设 M(1,2)，N(4,4)，由题可得 F(1,0)， FM(0,2)，FN(3,4)，FM ·FN8.故选 D答案 D2x 上两点，且3(2019·广东广州联考)已知 ，B为抛物线2AyA 与 B 的纵坐标之和为4，则直线 AB 的斜率为 ()11A 2B 2C 2D2解析 设 A(x1，y1)，

23、B(x2，y2)，则 y1y24.由y122x1，得y222x2，y1y2 y1y21x1x22，即 4kAB2，kAB2.故选 A答案 A15·山东青岛模拟)已知点A是抛物线C： 22py(p>0)的对4 (2019x称轴与准线的交点，过点A 作抛物线 C 的两条切线，切点分别为P，Q，若 APQ 的面积为 4，则 p 的值为 ()1A 2B13C2D2p解析 设过点 A 与抛物线相切的直线方程为ykx2.p由 ykx2， 得 x22pkxp20. x22py， 4k2p24p20，可得 k±1.不妨设 Q p，p2 ，P p，p2 ，所以的面积1×2p&

24、#215;p4，解得 p2.故选 DAPQS 2答案 D24x 的焦点 F 的直线交抛物·山西孝义模拟)过抛物线5 (2019y线于 A，B 两点，点 O 是坐标原点若|AF|5，则 AOB 的面积为 ()5A 5B2317C2D 8解析 抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)设直线 AB 的斜率为 k，y24x，可得直线 AB 的方程为 yk(x1)，由消去 x，得 y2yk x14ky40.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可得y1y2p4.根据抛物线的定义，得 |AF|x12x115，解得 x14，代入抛物线方程得 y214×416，解得 y1

25、 ±4.16当 y14 时，由 y1y2 4 得 y2 1；当 y1 4 时，由 y1y2 4 得 y21，所以 |y1y2|5，即 A，B 两点纵坐标差的绝对值等于5.11因此AOB 的面积为 SAOBSAOFSBOF2|OF| ·|y1|2|OF|y2|1 1×1×55 故选B2|OF|y1y2|22.答案 B二、填空题6(2019 ·武汉模拟 )抛物线 y24x的焦点为 F，倾斜角等于 45°的直线过 F 交该抛物线于 A，B 两点，则 |AB|_.解析 由抛物线焦点弦的性质，得|AB|2p2×28.22sin sin

26、 45°答案 824x 的焦点为 F，直7(2019·西安八校联考)已知抛物线：C y线 y 3(x1)与 C 交于 A，B(A 在 x 轴上方 )两点若 AFmFB，则m 的值为 _解析 由题意知 F(1,0)，由y3 x1 ，y24x，1x13，x23，解得2323y22 3 2 3舍去 .舍去，y1 33123由 A 在 x 轴上方，知A(3,23)，B3，3，则 AF(2，2232 3)，F B 3， 3，因为 AFmFB，所以 m3.答案 3： 22px(p>0)的焦点 F 的直8·广东广州联考)过抛物线(2018Cy17线交抛物线 C 于 A，B

27、 两点若|AF|6，|BF|3，则 p 的值为 _1121解析 由题意，得 |AF|BF|p2，所以 p4.答案 4三、解答题9(2019 ·河北沧州百校联盟 )已知抛物线 C：y22px(p>0)的焦点为 F，抛物线上一点 P 的横坐标为 2，|PF|3.(1)求抛物线 C 的方程；(2)过点 F 且倾斜角为 30°的直线交抛物线 C 于 A，B 两点， O 为坐标原点，求 OAB 的面积p 解(1)由抛物线定义可知， |PF|223，p2，抛物线C的方程为 y24x.(2)由 y24x，得 F(1,0)，过点F 且倾斜角为 30°的直线方程为 y 33(

28、x1)联立 y24x，消去 x 得 y24 3y40.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24 3，y1y2 4. 1 1× 48164.SOAB SOAFS OFB2|y1 y2|2·广西柳州模拟)已知抛物线24x 的焦点为 F，过点 F10 (2018y的直线交抛物线于 A，B 两不同点(1)若AF3FB，求直线 AB 的斜率；(2)设点 M 在线段 AB 上运动，原点 O 关于点 M 的对称点为点 C，求四边形 OACB 面积的最小值 解 (1)依题意可得，抛物线的焦点为F(1,0)，设直线 AB：x ，将直线xmy1，AB与抛物线联立? y2 设my

29、14my 4 0.y24xA(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24m，y1y2 4.18 ? y 3y2? m21，斜率为1或AF3FB13m33.1(2)S四边形 OACB 2SAOB 2× 2|OF|y1 y2| |y1 y2| y1y224y1y216m2164.当 m0 时，四边形 OACB 的面积最小，最小值为 4.能力提升练： 24x 的焦点，过 F 作·全国卷已知F为抛物线11 (2017)S y两条互相垂直的直线l 1，l2，直线 l1 与 S交于 A，B 两点，直线 l2 与 S交于 C，D 两点，则 |AB|CD|的最小值为 ()A 16B14

30、C12D10 解析 抛物线的焦点 F 坐标为 (1,0)，由题意知直线 AB、CD 的斜率均存在，设直线AB 方程为 yk(x1)(k0)，则 CD 方程为 y1k(x1)，分别代入 y24x 得， k2x2(2k24)xk201221及 k2x k24xk20，42|AB|xAxBp2k22，|CD|xCxD p24k2，|AB|CD |8k42 4k216，当且仅当 k21 时取等号，所以，|AB|CD|的最小值为 16.故选 A 答案 A过抛物线 22px(p>0)的焦点 F 且倾斜·吉林长春模拟)12 (2019y|AF|角为 120°的直线 l 与抛物线在第

31、一、四象限分别交于A，B 两点，则|BF|的值等于 ()12A 3B31934C4D3解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|x1x2p2p8p5p23，所以 x1x23.sin 120°p23p又 x1x2 4 ，可得 x22p，x16.pp|AF|621则 |BF|3 p3.故选 A2p2答案A13(2018 ·江苏南京月考 )已知点 F 为抛物线 y24x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点 A 到其准线的距离为 5，则直线 AF 的斜率为 _ 解析 由抛物线定义及题意，得xA15，解得 xA4.又因为404点 A 位于第一象限，所以 yA4，所以 kA

32、F . 41 34答案 314(2018 ·广州市高三第二次综合测试 )已知 O 为坐标原点，点R(0,2)，F是抛物线： 22py(p>0)的焦点， |RF|3|OF|.C x(1)求抛物线 C 的方程；(2)过点 R 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，与直线 y 2 交于点 M，抛物线 C 在点 A，B 处的切线分别记为 l1，l 2，l1 与 l2 交于点 N，若 MON 是等腰三角形，求直线 l 的方程 解(1)因为 F 是抛物线 C：x22py(p>0)的焦点，p所以点 F 的坐标为 0，2.pp因为点 R(0,2)，|RF|3|OF|，所以 |2

33、2|3×2，20解得 p1 或 p 2(舍去 )，所以抛物线 C 的方程为 x22y.(2)解法一：依题意，设直线l 的方程为 ykx2(k0)，4y 2，x k，由解得ykx2，y 2，4所以点 M k， 2 .x22y，由消去 y 得 x22kx40，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，ykx2则 x1x22k，x1x2 4.x2由 y 2 ，得 yx，则抛物线 C 在点 A 处的切线 l1 的方程为 yy1x1(xx1)，x21由于点 A 在抛物线 C 上，则 y1 2 ，x21所以 l1 的方程为 yx1x 2 .x22同理可得 l2 的方程为 y x2x 2 .xk，由及根与系数的关系得即点 N 的坐标为 (k，y 2，2)k2所以 kOM ·kON 2×(k) 1，则 OMON.又MON 是等腰三角形