线性代数问题中的线性相关性方法研究

1、线性代数问题中的线性相关性方法研究 线性代数问题中的线性相关性方法研究 摘要文中向量组的相关性所反映的是在数域上的有限维向量空间中向量之间的关系分别给出了判断向量组线性相关和线性无关的几种方法通过对向量组线性相关性的相关定义判定方法的讨论以此为北京处理的线性方程组的解的结构理论以及两者的关系得出线性代数研究的核心问题就是线性相关性 关键字线性相关线性无关矩阵线性方程组解空间 Some Research on Linear Dependence in Linear Algebra Zhang Yulong School of Mathematics and Statistics Southwes

2、t China University Chongqing 400715 China Abstractpaper that a vector system is linear dependent or not shows the relations among these vectors in a finite dimensional vector space on a field of numbers We have discussed some methods to judge whether a vector system is linear dependent or not respec

3、tively Though these discussion and same related definitions we have studied the structure of solutions of a system of linear equations and the relation among them Thus we could say linear dependence is the heart of linear algebra Key words Linear correlation Linear independence Matrix System of line

4、ar equations Solution space 1向量组的线性相关性 11线性相关性的概念 定义1 给定向量组A如果存在不全为零的数 使 A是线性相关的 否则称它是线性无关的 定义2 若向量组A中每一个向量都可由向量组B线性表示则称A可由B线性表示若两个向量组可互相线性表示则称这两个向量组等价 性质向量组的等价具有1反射性2对称性3传递性 定义3 向量组称为线性无关若它不线性相关或由 则必即只有唯一零解 定义6一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组如果这个部分组本身是线性无关的并且从这向量组中任意添一个向量如果还有的话所得的部分向量组都线性相关 定义7一个向量组的极大线性无关组所含

5、向量个数称为这个向量组的秩数 性质1向量组线性无关秩 向量组线性相关秩 2等价向量组的秩数相同 中向量组的极大线性无关组的求法 例 求的极大线性无关组与秩 解有是极大线性无关组秩为3 注意1 对于任一向量组而言 不是线性无关的就是线性相关的 注意2 若线性无关 则只有当···0时 才有 成立 注意3 向量组只包含一个向量 时若O则说线性相关 若O 则说 线性无关 注意4 包含零向量的任何向量组是线性相关的 注意5 对于含有两个向量的向量组 它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例 几何意义是两向量共线 三个向量线性相关的几何意义是三向量共面 com关性的判定

6、向量组 当时线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余 m1个向量线性表示 证明 充分性 设中有一个向量比如能由其余向量线性表示 即有 也就是-1因-1这m个数不全为0故线性相关 必要性 设线性相关 则有不全为0的数使 不妨设k10 则有 即能由其余向量线性表示 证毕 12 向量组线性相关性的性质和应用 com 1含零向量的向量组必线性相关即线性相关 2一个向量组若有部分向量线性相关则此向量组线性相关即部分相关整体相关 3若一个向量组线性无关则它的每个非空部分向量线也线性无关即整体无关部分无关 4线性相关线性无关 5线性相关或线性无关 6中单位向量组线性无关 7向量组线性相无关齐次线性方

7、程组有无非零解 8若向量组线性相关则向量组也线性相关 com关性在线性方程组中的应用 若方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时这个方程就是多余的 这时称方程组各个方程是线性相关的 当方程组中没有多余方程 就称该方程组各个方程线性无关或线性独立的 结论 向量组A线性相关等价于齐次线性方程组 即AxO有非零解 其中A 由此可得 定理1 向量组线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A的秩小于向量个数m 向量组线性无关的充分必要条件是RAm 下面举例说明定理1的应用 例1 讨论n维单位坐标向量组的线性相关性 解 n维单位坐标向量组构成的矩阵为n阶单位矩阵 由 E 10 知 REn 即RE等于组中向量

8、个数故由定理1知 此n维单位坐标向量组是线性无关的 例2 已知 试讨论向量组及的线性相关性 解 分析 对矩阵作初等行变换变成行阶梯形矩阵 可同时看出矩阵及的秩 利用定理1即可得出结论 可见 R2 故向量组线性相关 而R2 故向量组线性无关 例3 已知向量组线性无关 试证向量组线性无关 证一 设有使 即 亦即 因向量组线性无关 由于此方程组的系数行列式 故方程组只有零解 即只有0 因此由定义得 向量组线性 无关 证二 将表示为矩阵 等式 记为BAK 并代入3元齐次线性方程组Bx0 得AKx0 即AKx0由于线性无关 即RA3 从而Kx0又因为 K 2 0知 齐次方程组Kx0只有零解 因此 齐次方

9、程组Bx0只有零解 故RB3 因此由定理1 向量组 线性无关 证三 由证二得BAK 因为 K 2 0知K可逆 由矩阵秩的性质4得 RBRAKRA3因此由定理1 向量组 线性无关 本例给出的三种证明方法都是证明向量组线性无关性的常用方法 证一是依据定义的证明方法 即向量组的线性组合为零的组合系数只能都为零 证二是利用定理1 证明向量组构成的矩阵的秩等于向量组向量的个数 借用齐次线性方程组只有零解的结果证明其系数矩阵的秩 证三仍是利用定理1 但过程利用了矩阵秩的性质 线性相关性是向量组的重要性质 给出如下结论 定理2 1若向量组A 线性相关 则向量组B 也线性相关 反言之 若向量组B线性无关 则向

10、量组A也线性无关 2 m个n维向量组成的向量组 当n m时一定线性相关 3 设向量组A 线性无关 而向量组B 线性相关 则向量 必能由向量组A线性表示 且表示式是唯一的 4设 即添上一个分量后得向量 若向量组A 线性无关 则向量组B也线性无关 反言之 若向量组B线性相关 则向量组A也线性相关 证明 本定理的4个结论均由定理1证明 1 记A B 则有 RBRA1 若向量组A线性相关 则由定理1知RA m 从而RBRA1 m1因此 根据定理1 向量组B线性相关 可推广为 一个向量组若有线性相关的部分组 则该向量组必线性相关 特别地含有零向量的向量组必线性相关 反之 若一个向量组线性无关 则它的任何

11、部分组都线性无关 2 m个n维向量构成的矩阵Anm 有RA n 因此 当向量维数n小于向量组向量个数m时 由定理1 该向量组一定线性相关 3 记A B 则有RARB 根据定理1 由向量组A线性无关得RAm 由向量组B线性相关得 RB m1故 mRB m1 即有RBm 再由RARBm知 方程组Ax有唯一解即向量能由向量组A线性表示 且表示式唯一 4 记Arm Br1m则有RARB 根据定理1由向量组A线性无关得RAm 从而有RBm但RB m 因B只有m列故RBm 因此 根据定理1 向量组B线性无关 例3 设向量组线性相关 向量组线性无关 证明 1能由线性表示 2不能由线性表示 证明1 由于向量组

12、线性无关 则由定理2之结论1知向量组线性无关又由于向量组线性相关 则由定理2结论3知 向量能由线性表示 且表示式唯一 证明2 用反证法 若能由线性表示而能由线性表示 则能由线性表示但这与线性无关矛盾所以 不能由线性表示 2线性方程组的相关性 21 线性方程组的相关定理 com道 n未知数m个方程的线性方程组 可以写成 Axb 其中A xT bT 矩阵BA b称为线性方程组的增广矩阵 线性方程组如果有解 就称它是相容的 如果无解就称它不相容 定理1 n元线性方程组Axb 1无解的充分必要条件是RARA b 2有唯一解的充分必要条件是RARA bn 3有无限多解的充分必要条件是RARA bn 说明 Axb无解RARA b的等价叙述 Axb无解RARA b RARA bAxb无解 RARA bAxb有解 RARA bAxb无解 要证明定理 只需证明 RARA bAxb无解 RARA bnAxb有唯一解 RARA bnAxb有无限多解 定理2 线性方程组Axb有解的充分必要条件是RARA b 定理3 n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是RAn com程组的通解 当方程组Axb有无限多个解时 其解的形式为 其中是自由未知数 令可得 这是方程组的含有参数的解 称为方程组的通解 求解线性方程组Axb的步骤 1对于非齐次线性方程组 把它的增广矩阵B化成行阶梯