2006年高考第一轮复习数学113相互独立事件同时发生的概率

1、11.3相互独立事件同时发生的概率知识梳理1.相互独立事件：事件A是否发生对事件 B发生的概率没有影响， 这样的两个事件叫相互独立事件2.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生 k次的概率为Pn (k) =cn pk (1-p) nk3关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：第一，相互独立也是研究两个事件的关系；第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的4互斥事件与相互独立事件是有区别的：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指

2、不同试验下，二 者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生5事件A与B的积记作A B, A B表示这样一个事件，即 A与B同时发生当A和B是相互独立事件时，事件 A B满足乘法公式 P (A B) =P (A) P (B)，还 要弄清A B , AB的区别 A B表示事件A与B同时发生，因此它们的对立事件 A与B同时不发生，也等价于A与B至少有一个发生的对立事件即A B ,因此有A B丰A B ,但 A B = A B点击双基1. ( 2004年辽宁，5)甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是pi,乙解决这个问题的概率是P2,那么恰好有1人解决

3、这个问题的概率是A. P1P2B.P1 ( 1 - P2)+P2 ( 1 - P1)C.1 P1P2D.1 ( 1 P1)( 1 P2)解析：恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决，故所求概率是P1 ( 1P2)+P2 ( 1 P1)答案：B2. 将一枚硬币连掷 5次，如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率，那么 k丄，视力合格的概率为3的值为A.0B.1C.2D.3解析：由c5 (丄k 15k k 1)()=C5(1 )k+1/ 1 5 k12222即ck=ck1 , k+(k+1) =5, k=2.答案：C3. 从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为1

4、,其他几项标准合格的概率为 1,从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为(假设65三项标准互不影响)A.-9B.丄90C.-5解析:p=! x 1 x364590答案:4一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为1 11，乙生解出它的概率为-，丙生解出它的2 311245出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯这一事概率为1，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为 4解析：P=1 x 2 x 3 + 1 x 1 x 3+ 1x 2 x1 =-1123423423424答案:件是相互独立的，并且概率都是 1 那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概3率是解析

5、：因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以13 27P= (13答案：27典例剖析【例1】(2004年广州模拟题)某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票 4张，排球票6张甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.(1) 两人都抽到足球票的概率是多少 ？(2) 两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少 ？解：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件 A, “乙从第二小组 的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件 B;记“甲从第一小组的 10张票中任抽1张,抽到排球票”为事件 A , “乙

6、从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件 B ,632于是 P (A) = = - , P ( A )=-;1055P (B) = = - , P ( B ) =3.1055由于甲(或乙)是否抽到足球票，对乙(或甲)是否抽到足球票没有影响，因此A与B是相互独立事件(1)甲、乙两人都抽到足球票就是事件A B发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到 P (A B) =P (A) P ( B) =3 - = 5525答：两人都抽到足球票的概率是625(2)甲、乙两人均未抽到足球票(事件A B发生)的概率为236P ( A B ) =P ( A ) P ( B ) =土 亠.5525两人中

7、至少有1人抽到足球票的概率为619P=1 - P ( A B ) =1 = .2525答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是 兰.25【例2】有外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球其中第一个盒子中有7个球标有字母 A, 3个球标有字母B;第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球 8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球， 若取得标有字母 A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率解：设事件A:从第一个盒子中取得一个标有字母A的球；事件B:从第

8、一个盒子中取得一个标有字母 B的球，则A、B互斥，且P (A) =Z , P ( B) =2 ；事件C:从第二号10 10盒子中取一个红球，事件D :从第三号盒子中取一个红球，则C、D互斥，且P (C)=-,210 5显然，事件 AC与事件B D互斥，且事件 A与C是相互独立的，B与D也是相互独立的所以试验成功的概率为P=P (A C+B D) =P (A C) +P (B D) =P (A) P (C)=59100本次试验成功的概率为竺.100【例3】(2004年福州模拟题)冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等(1) 求甲种饮料

9、饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；(2) 求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率解：(1)由题意知，甲种已饮用 5瓶，乙种已饮用2瓶记“饮用一次，饮用的是甲种饮料”为事件A,则 p=P (A)题(1)即求7次独立重复试验中事件 A发生5次的概率为P7 ( 5) =C 7 p5 (1 p) 2=c2(1 ) 7=空2 128(2)有且仅有3种情形满足要求：甲被饮用5瓶，乙被饮用1瓶；甲被饮用5瓶，乙没有被饮用；甲被饮用 4瓶，乙没有 被饮用所求概率为卩6 (5) +P5 (5) +P4 (4) =C；p5 (1 p) +C 5 p5+C4 p4=.16答：甲饮料饮用完毕而乙饮

10、料还剩3瓶的概率为 竺,甲饮料被饮用瓶数比乙饮料被饮128用瓶数至少多4瓶的概率为2.16闯关训练夯实基础1若A与B相互独立，则下面不相互独立事件有A.A 与 AB.A 与 BC. A 与 BD. A 与 B解析：由定义知，易选 A.答案：A2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3,乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是A.0.12B.0.88C.0.28解析：P=( 1 0.3)( 1 0.4)=0.42.答案：DD.0.4233.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为 -，若405分为最低分数线，则该生

11、被选中的概率是 .解析：该生被选中，他解对 5题或4题. P= ( 3 ) 5+c5 x( 3 ) 4x( 1 3 ) = I0535553125答案：型331254. 某单位订阅大众日报的概率为报纸的概率为.解析：P=1 ( 1 0.6) (1 0.3) =0.72.答案：0.72培养能力5. 在未来3天中，某气象台预报每天天气的准确率为0.8,则在未来3天中，(1) 至少有2天预报准确的概率是多少？(2) 至少有一个连续 2天预报都准确的概率是多少？解：(1)至少有2天预报准确的概率即为恰有2天和恰有3天预报准确的概率，即0.6，订阅齐鲁晚报的概率为0.3，则至少订阅其中一种C3 0.82

12、 0.2+C 3 0.83=0.896.至少有2天预报准确的概率为0.896.(2)至少有一个连续 2天预报准确，即为恰有一个连续2天预报准确或3天预报准确的概率为232 0.8 0.2+0.8 =0.768.至少有一个连续 2天预报准确的概率为0.768.6. ( 2004年南京模拟题)一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作， 就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正P,计算在这一时间段内,A, “第二套通讯设备能正常工作”常工作如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为(1) 恰有一套设备能正常工作的概率；(2) 能进行通讯的概率解：记

13、“第一套通讯设备能正常工作”为事件 为事件B.由题意知 P(A)=p3，P( B)=p3，P( A) =1 p3, P ( B ) =1 p3.(1) 恰有一套设备能正常工作的概率为P (A B+ A B) =P (A B ) +P ( A B)333、336=p (1 P ) + (1 P ) P =2p 2p .(2) 方法一：两套设备都能正常工作的概率为6P (A B) =P (A) P (B) =p .至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为36636P (A B+ A B) +P (A B) =2p 2p +p =2p p .方法二：两套设备都不能正常工作的概率为_ _3

14、、 2P ( A B ) =P ( A ) P ( B ) = ( 1 p ).至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为 1 P ( A B ) =1 P ( A) P ( B ) =1 (1 p3) 2=2p3 p6.答：恰有一套设备能正常工作的概率为2p3 2p6，能进行通讯的概率为 2p3 p6.7. 已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球.现从两袋中各取两 个球，试求取得的 4个球中有3个白球和1个黑球的概率.C2c1 C15解:从甲袋中取2个白球，从乙袋中取1个黑球和1个白球的概率为 C2 x=2 ；C C263从甲袋中取1个黑球和1个白球，从乙袋中取

15、 2个白球的概率为 C军 X -Ct =10 .C2C2 63所以，取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为 +1° =1 =.63636321探究创新8. ( 2004年湖南)甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为-，乙机床加工的零件是一4等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品12的概率为-.9(1) 分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2) 从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率. 解：(1)设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床

16、各自加工的零件是一等品的事件，- 1 P(A，B)=,41由题设条件有丿P(B C)=,12P(A C)=9,1P(A)1P(B) r41即P(B) 1 P(C)= ，12P(A)P(C)=2.I9由得 P (B) =1 9 P ( C),8代入得 27 : P ( C) 2 51P ( C) +22=0. 解得P (C)=-或H (舍去).3 9将P ( C)= 2分别代入可得 P (A)=丄，P ( B)=丄，334即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是(2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则2 315P ( D) =1 P ( D ) =

17、1 1 P (A) : 1 P (B) : 1 P ( C) =1 =.3 43 6故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为思悟小结1应用公式时，要注意前提条件，只有对于相互独立事件A与B来说，才能运用公式P (A B) =P (A) P ( B).2在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对 立事件3善于将具体问题化为某事件在n次独立重复试验中发生 k次的概率教师下载中心教学点睛1首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立)，当且仅当事件A和事件B互相独立时，才有 P (A B) =P (A) P ( B) 2.A、B

18、中至少有一个发生： A+B.(1) 若 A、B 互斥：P (A+B) =P (A) +P (B),否则不成立(2) 若A、B相互独立(不互斥)法一：P (A+B) =P (A B) +P (A B ) +P ( A B);法二：P (A+B) =1 P ( A B );法三：P (A+B) =P ( A) +P ( B) P (AB)3某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提 高正确率要注意“至多” “至少”等题型的转化，如例1.4.n次独立重复试验中某事件发生k次的概率Pn( k) =C n pk( 1 P)n _k正好是二项式(1 p) +p: n的展开式的第k+1项拓展题例【例1】 把n个不同的球随机地放入编号为1, 2,，m的m个盒子内，求1号盒恰有r个球的概率解法一：用独立重复试验的概率公式把1个球放入m个不同的盒子内看成一次独立试验，其中放入1号盒的概率为 P= 这样n个球放入m个不同的盒子内相当于做 n次独立 m重复试验由独立重复试验中事件 A恰好发生k次的概率公式知，1号盒恰有r个球的概率r rn-r r1 r1 n-r