数列解题技巧归纳总结

1、知识框架数列的概念、两个基 本数列*数列求和''数列的分类数列的通项公式函数角度理解数列的递推关系'等差数列的定义色- =dg2） 等差数列的通项公式色=q + （/? - v）d 等差数列的求和公式s” =-（«, +%） = na +巴匸匕2 2等差数列的性质c + am = ap + aq （加+兀=p + g）等差数列等比数列等比数列的定义丄*（让2）an-等比数列的通项公式an=aqn-等比数列的求和公式s”二彳-q-qna(q = ) 等比数列的性质= apag(m + n= p + q)公式法分组求和错位相减求和裂项求和倒序相加求和累加累积归纳猜

2、想证明分期付款其他数列的应用掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握 了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于rh递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 递推式为an+1=an+d及a“+i二qa. （d, q为常数） 例、已ml an满足an+i二an+2,而且81=1。求為。例1、解 歸厂弘二2为常数aj是首项为1,公差为2的等差数列a an=l+2 (n-1) 即 an=2n-l例 2、已知an满

3、足 an+i =anf 而 & = 2,求 an 二？a m是攻2为首叽 公比为扌的每比砌(2) 递推式为 an+i=an+f (n)解:由已知可知a卄-an例3、已知a”中a=-求a”.(2n + l)(2n 1)2 + 1)令 n=l, 2,，(n-1),代入得(nt)个等式累加，即(a?-ai) + (a：ra2) + (an"an-i)=2( cl-3)*<3-5> 十珂戸-丹1a a( = (- i )i z1 、4/1 32 2lll a" =6z, +2 2n-l =4m-2 说明 只要和f (1) +f (2) +f (n-1)是可求的，

4、就可以由an+i=an+f (n)以n=l, 2, (nt)代入，可得n-l个等式累加而求a“。(3) 递推式为an+i=pan+q (p, q为常数)例 4、an中，q=l,对于 n>l (nen)有 d”=3a”_+2,求解法一：由己知递推式得 an»i=3an+2, an=3an i+2o 两式相减：a-a“二3 (an-an-i)因此数列anh-an是公比为3的等比数列，其首项为a2-a,= (3x1+2) -1=4 .au-an=4 3宀*/ anu=3an+23a+2-an=4 3小 即 a$2 3n l-l解法二：上法得an-i-an是公比为3的等比数列，于是有：

5、a2ai=4, a3-a2=43, a-a：1=43食，an-ar.-i=4 *3n'",把叶1个等式累加得:见 f=4 (1+3 + j?+ +尸)4 0-尹)/ an=2 3ntt（4）递推式为an+i=p an+q n （p, q为常数）【例5】已勉aj中.叫斗 7=吕亠（£）叫 求* 花治=扎4啊岡迦輙2"22田* 亍24-1,鉄厂”2冷于是可需仇+r =彳（仇一心 由上题的解法，得：仇=3_2（討=等=3（$ _2（$对于遏推知也=他十右 即戦!»臥叫得毋=qq q q%q q递推式为an+2 = pan+x + qan思路：设an+2

6、 = pan+ + qan,可以变形为：afl+2-aan+x= p(an+-aaj ,就是j= (a + b) j-apu则可从防存p筋j baua p = q于是antl- a aj是公比为b的等比数列，就转化为前面的类型。ems己划&列7中.叫=匚 a> =2>455 求色。解在j = g j屯归两辻咸去j©«2是公比为缶首頊为眄餌二ifi舞比删a.-al=c4)*+c4)(一9 =l+jl- ap "1(6)递推式为sn与务的关系式(n=l)1 ca>2)mw hhajihmft気=4-见.士此类型可利月塩co求®brt

7、与®b的关系;(2)试用n表示dno+1上式两边同乘以2旳得2%廿2匕+2则2匕是公差为2的等差数列。-2nan= 2+ (n-1) - 2=2n2.数列求和问题的方法(1) 、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和來说是有益的。1-2+3+=1+3 + 5 + (2n -l)=n十+，+罗+1=呦十】严0f+r+35+2=号埠【例 8】求数列 1, (3+5), (7+9+10), (13+15+17+19),前 n 项的和。解 本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有l+2+-+n=|/i(/i + l)个奇数, 最后一个

8、奇数为：l+-n(n+l)-l x2二+n-l2因此所求数列的前n项的和为st -寸n (n+l)= (ll + l)(2) 、分解转化法对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和 s=1 (n2-l) + 2 (n2-22) +3 (n2-32) +n (n2-n2) 解 s=n2 (1+2+3+n) 一 (l'+2+3'+r?)7 :心 d ：z 心.= cttm) g-l)=g cn1 - 0(3入倒序相加法适用于给定式子中与首末两项z和具有典型的规律的数列，采取把止着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。例 10、求和：s”=3c；+6c；+ +

9、3nc；例 10、解 s=()c： + 3c；+6c；+ 3nc；xsb=3uc：+3(q-0 c + -+ocu 可得2s.=3n (c：=3ii* 2*sn=3n2n l(4)、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数 列的公比，然后错位相减求和.例 11、求数列 1, 3x, 5x2, , (2n-l)xn 1 前 n 项的和.解 设 sn=l+3+5x2+-+(2n-l)xn l.(。当k =s. = 11=11*.(2) x=0 时，sn=l.(3) 当 xho 且 xhl 时,在式两边同乘以 x 得 xsri=x+3x2

10、+5x3+ + (2n-1) x11,-，得 (l-x) sn=l+2x+2x'+2x'+2x""-(211-1) x”.由公式挪s.卄缪-x-ixi"-(2m 1)宀 0 -1)4 = (txt(5)裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：1卩丄1n(ii+k)k a n + kn(n + 2 n n + t a+2例12、求和丄+丄+丄+!15375>9(2/7-1)(2/?+ 3)4+ 459(2n-lx2h+3) 4(2n-l"ai72a -3 2n + l' 2tt-l 2n&q

11、uot;2n + 3n(4n 4 勺 x2n*lx2"引注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。 在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1.函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13】 等差数列aj的首项a】>0,前n项的和为若si=sk (lk)问n为何值时s“最大?解依题童.设f g) =sfc=na1-fncn1)d-"f (n) =-<faa +n此函数以n为自变量的二年单普。f>0 s】二sk (lhk),d<0故此二次函数

12、的图像开口向下 f (1)二f (k) :当x = -bjf (x) f cn)中.ne n*.当口=芳时斗祕旳十dwhs昧n = 垮匕2.方程思想'【例14】设等比数列為前n项和为s”若s3+s6=2s9,求数列的公比q。分析 本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解依题意可知qhl。.如果q=l,则s3=3ai, se=6ai, s9=9ai<>由此应推出a】=0与等比数列不符。qhl右人(1-() s (1-f)2珂(1-q)')t-ql-q-q整理得 q3 (2q6-q-l) =0vq702q-q，7 = 0=此题还可以作如下思考：s6=ss+qs3= (l+q)s3. s9二ss+q'se二s3 (l+q'+q'), 由 s:j+s6=2s9可得 2+q：，=2 (l+q：1+q6)， 2