2020中考数学难点专题：二次函数的综合性问题(选做)

1、难点专题：二次函数的综合性问题 (选做)代几结合，突破最值及点的存在性问题类型一 二次函数中的线段(和、差)或周长最值问题1.如图，已知抛物线 y=x2+mx+3与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C,点B的坐标为(3, 0).(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；(2)点P是抛物线的对称轴直线 l上的一个动点，当 PA+PC的值最小时，求点 P的坐标.2.如图，已知抛物线 y=a(x1)23(aw0)与y轴交于点A(0, 2),顶点为B.试确定a的值，并写出B点的坐标；(2)若某一次函数的图象经过A, B两点，试求出该一次函数的表达式；试在x轴上求一点P,使得 PAB的周长取最小值.类型二二次函

2、数与三角形的综合一、特殊三角形的存在性问题3. (2017怀化中考)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2 + bx5与x轴交于A(- 1 , 0), B(5,0)两点，与y轴交于点C,连接AC, BC.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D是y轴上的一点，且以 B, C, D为顶点的三角形与 ABC相似，求点D的坐标.4 .阅读材料：如图，在平面直角坐标系中，A, B两点的坐标分别为 A(xi, yi), B(x2, y* AB的中Xi+ X2 一 .一 V1 +V2 点P的坐标为(Xp,yp).由Xp X1=X2Xp,得Xp= 2,同理得yp=2,所以 AB的中点坐标为P Xl

3、y!产.由勾股定理得AB2= |X2X1|2+ |y2yi|2,所以A, B两点间的距离公式为AB =、(X2Xi) 2+ (y2yi) 2.注：上述公式对 A, B在平面直角坐标系中其他位置也成立.解答下列问题：如图，抛物线 y=aX2+bX 3(aw0)与X轴交于A, B两点，与y轴交于点C,且BO = OC=3AO,连 接BC.(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使 PBC是等腰三角形？若存在，试求出符合条件的 P点坐标；若不存在，请说明理由.二、面积问题5 . (2017齐齐哈尔中考)如图，已知抛物线 y=X2+bX+ c与X轴交于点A(- 1 , 0)和点B

4、(3 , 0),与y 轴交于点C,连接BC交抛物线的对称轴于点E, D是抛物线的顶点.(1)求此抛物线的表达式；(2)直接写出点C和点D的坐标；(3)若点P在第一象限内的抛物线上，且8Aabp=4Sacoe,求P点坐标.类型三二次函数与特殊四边形的综合6 .二次函数y=43x2的图象如图所示，点。为坐标原点，点 A在y轴的正半轴上，点B, C在二次函数y=J3x2的图象上，四边形 OBAC为菱形，且/ OBA = 120°,则菱形OBAC的面积为7 . (2017临沂中考)如图，抛物线y=ax2+bx3经过点A(2, 3),与x轴负半轴交于点 B,与y轴 交于点C,且OC=3OB.(

5、1)求抛物线的表达式；(2)点D在y轴上，且/ BDO =/ BAC,求点D的坐标；(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A, B, M, N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案与解析1 .解：(1)把点B的坐标(3, 0)代入抛物线y=x2+mx+ 3中，得0=32+3m + 3,解得m=2.，y = x2+2x+3= (x1)2+4, 抛物线的顶点坐标为 (1, 4).(2)连接BC交抛物线的对称轴直线l于点P,再连接AP,则此时PA+PC的值最小.设直线 BC的表达0=3k+ b, 式为y=kx+b,由(1)

6、知点C的坐标为(0, 3),将点B(3, 0), C(0, 3)代入y=kx+b中，得解得3= b,k=1,b= 3.直线BC的表达式为y=- x+ 3.当x=1时，y=1+3=2, .当PA+PC的值最小时，点 P的坐标为（1 , 2）.2 .解：把A（0, 2）代入y = a（x1）2 3得一2= a（0-1）2-3,解得a= 1. 丁 B为顶点，二. B点的坐标 为（1, 3）.-2=b,k= - 1,（2）设该一次函数的表达式为y=kx+b,将A, B两点的坐标代入表达式得。 八-3= k+ b,b= 2,该一次函数的表达式为y= - x 2.n=2,m + n= 3,（3）将A点关于

7、x轴的对称点记作 A；则A' （02）,连接AB交x轴于点P,则P点即为所求.设直线AB的表达式为y=mx+n,将A', B两点的坐标代入表达式得解得'，直线AB的表达式为y= 5x+2.当y= 0时，x=,P点的坐标为0 .n = 2.553.解：(1)二点 A(1, 0), B(5, 0)在抛物线 y=ax2+bx5 上,a b 5= 0,25a+5b-5=0,a= 1,b= 4,，抛物线的表达式为y=x24x 5.(2)令 x= 0,则 y= 5,C(0, 5), OC=OB, .OBC = / OCB=45°.OA = 1, OB=5, . AB=6,

8、 BC=542.要使以B, C, D为顶点的三角形与ABC相似，则有-=CD区或空=BC如图当BCBC CD'2 U'。与ABCDBC时，CD = AB=6,D(0, 1);当 AB=9a+ 3b3=0,a b 3=0,解得a= 1, b=- 2.CC时；尉等 CD=25，D °，130 .综上所述，点D10的坐标为（0, 1）或0,.4 .解：（1）二抛物线 y=ax2+bx3交 y 轴于点 C, 点 C 的坐标为（0, 3）, . OC= 3.BO= OC = 3AO, .BO = 3, AO=1, .点B的坐标为（3, 0）,点A的坐标为（一1, 0）.二该抛物

9、线与 x轴交于A, B两点，抛物线的表达式为 y=x22x3.（2）存在.由（1）知抛物线为y=x2-2x-3,对称轴为直线 x= 1.设P点的坐标为（1, m）. B点的坐标为 （3, 0）, C 点的坐标为（0, - 3）,BC = 32, PB = Rm2+4, PC=' （m + 3） 2+1 PBC 是等腰三角形,分以下三种情况：当PB=PC时，. 布+4 = （m+3） 2+1,，m=1,P点的坐标为（1, 1）;当BC=PB时，3m=寸m2+4,m= 班4,. P点的坐标为（1, 扬）或（1,-/）;当BC=PC时， .3姆=、（m+ 3） 2+1,m = 3巾7,P点的

10、坐标为（1, 3+历）或（1, 3屈）.综上所述，符合条彳的P点坐标为（1, 1）或（1,巾4）或（1,寸前或（1, 3+ 匹）或（1, 3中7）.1 b + c= 0, b= 2,5 .解：将点A(-1, 0)和点B(3, 0)代入y= x2+bx+c得解得 抛物线9+3b+c=0,c= 3.的表达式为y= x2+2x+3.(2)令 x=0,则 y = 3, . C(0, 3).y=- x2+ 2x+3= (x1)2+4, . D(1, 4).(3)设P(x, y)(x>0, y>0),由(2)知y= (x1)2+4,即抛物线的对称轴为直线x=1,易知AB=4, CO一 一 1.

11、 一 3_13=3, . Sa coe = 2 X 1 X 3= 2Sa abp =万 X 4y= 2y.又.Sa abp= 4Sacoe , - 2y = 4 X 2,y=3,即一x2+2x+3=3,解得x1 = 0(不合题意，舍去)，x2=2,，P(2, 3).6 . 2 小 解析：连接 BC. .四边形 OBAC 为菱形，AC=AB = CO=BO, BCXOA.Z OBA =120 °, ./ CAB=/ COB=60°, . OBC, ABC 均是正三角形.设 OA = 2a, BC=2b, 点 B 的坐标为(b, a),12?BC b ,3 a = 4b2.易知

12、 / CAO = 30. tan/CAO = = £= - a = /3b,，b=1, a=g.，菱形 OBAC 的面11积为 £X OAX BC=2>< 2ax 2b = 2ab = 2 涓.7.解：(1)令 x=0,则 y= 3,C(0, 3), . OC=3.OC = 3OB,，OB=1,，B(1, 0),把 A(2,4a + 2b 3 = 3,a=1,3), B(1, 0)代入 y=ax2+bx3,得.抛物线的表达式为y=x2-2x-3.a b 3=0,b = 2,(2)连接 AC,作 BH,AC 交 AC 的延长线于 H,如图.A(2, 3), C(0

13、, 3),AH /x 轴，H( 1 , 3), BH = 3, AH=3,/ BAC = 45 .设 D(0, m),则 OD = |m|. /Z BDO = Z BAC, . / BDO = 45°,.-.OD=OB=1, . |m|=1, . m=±1, .点 D 的坐标为(0, 1)或(0, 1).(3)由(1)知抛物线的对称轴为直线 x=1.设M(c, c22c 3), N(1, n),要使以点A, B, M, N为顶点的 四边形是平行四边形， 需分以下两种情况讨论： 以AB为边，则AB/ MN, AB=MN.如图，过M作ME， 对称轴直线 x=1于E,过点A作AFx轴于F,记直线 AB与对称轴的交点为 K,. AF/ EK ,/ BKE = / BAF./AB / MN ,/ MNE = / BKE , . / MNE = / BAF.又 / NEM = ZAFB