2020上海高三数学二模汇编-函数含答案

1、第二部分函数一、函数的定义域、解析式、反函数，函数求值1、2、【2020年虹口区二模第2题】函数/(x) = JF 的定义域为【答案：(-3,12、2020年金山区二模第2题】函数y =的定义域是.【答案：(0,-Ko)3、2020年浦东新区二模第3题】若函数fM = / ,则/-'(1)=.【答案：1】4、【2020年青浦区二模第3题】已知函数x) = l + L ,则方程尸(工)=2的解". X3【答案：弓】乙2X 15、【2020年金山区二模第5题】已知函数f(x)=，则/T(0)=.【答案：06、【2020年崇明区二模第4题】已知函数/5) = 2'+1 ,其

2、反函数为y =尸")，则尸(3) =【答案：1】7、2020年虹口区二模第5题】已知函数g(x)的图像与函数/(x) = log2(3v-l)的图像关于直线，=x对称，则以3)=【答案：2 8、2020年嘉定区二模第8题】已知函数/。) = 2 + log, 0且“=I)的反函数为 = fx).若尸(3)=2,贝！k=二,函数的单调性与奇偶性9、【2020年徐汇区二模第6题】若'是奇函数，则实数。的值为.2 - 1 ci【答案：2】10、【2020年松江区二模第8题】若函数/5) =。2(2' + 1) +履是偶函数,则攵=.【答案：二】 211、2020年嘉定区二模

3、第14题】下列函数中，既是(0,y)上的增函数，又是偶函数的是()A . y = B . y = 2A C . y = 1-1 xI D . y = /f> Ixl x【答案：D 12、 2020年金山区二模第7题】已知函数/(x) = lg = + sinx+l ,若/(?)= 4 ,则 1 + x【答案：-2】13、【2020年闵行区二模第10题】已知/(x +2)是定义在R上的偶函数，当斗&e2,+x),且玉h 4 ,总有一二与一<0 ,则不等式/(-3川+1)</(12)的解集为/(X1)-/(再)【答案：(1,-KO)解析：由题意，/(x)关于x = 2对称

4、，且在依)递减,/(-3-1 +1) < /(12) => -3x+, +1 > 12 (舍)或一37+1<8，解得 x>l0 14、【2020年宝山区二模第16题】已知是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数$、/都f(X)有包皿二卫凶<0 ,则函数g(x)= 丁'()0, x = oA.是偶函数，且在（0,+oo）上单调递减B.是偶函数，且在（0,+8）上单调递增C.是奇函数，且单调递减D.是奇函数，且单调递增【答案：A解析：当xw。, g（x） =凡，/（-x）= -f（x）, g（x）= 22 = 22 = g（x）, X-x Xg（x）

5、为偶函数,当0K，七"乜）0 nx,$）-内/（X,）0 ,即' 内_M/（玉）%/（羽）=上上=晨内）黑工,），即以幻在（0,+8）上单调递减.】 N W15、【2020年崇明区二模第12题】对于函数/，其定义域为O，若对任意的牛毛e。，当演4时都 有/（内）4/（a），则称函数/（X）为一不严格单调增函数”，若函数/（x）定义域为。= 1,2,3,4,5,6,值域为A = 7,8,9,则函数/是一不严格单调增函数”的概率是喀案喘解析：总情况：。中有4个、1个、1个x分别对应A的3个y, C：C；x3 = 90 ；。中有3个、2个、1个x值分别对应A的3个，值，Q；CJ x

6、 = 360 :。中有2个、2个、2个x值分别对应A的3个y值，C;C;C; = 90.即总的情况共540种.再考虑分子，用隔板法，在1、2、3、4、5、6中间五个空，插入2块挡板,分作三组，分别从小到大对应7、8、9即可，即以=10. .概率0 =工=工。】 540 54三、函数的图像与零点16、2020年浦东新区二模第10题】已知函数/。）=犬+ a log2（x2 + 2） + - 2的零点有且只有一个,则 实数的取值集合为.【答案：1】17、2020年青浦区二模第10题】已知函数"幻=,若存在实数与满足/"(%) = % ,则实数a的取值氾围是.【答案:。:4解析：

7、=>/1%)=广(),即y = /(x)与其反函数> =尸有交点，y = /(x)与y = x有交点，</r-n = x=>x2-x + a = O , A = 1 -4ci>0 => n < -o 418、【2020年青浦区二模第16题】已知函数/(x) = sinx + 2忖nx| ,关于x的方程/。)一«7'(幻一1=0有以下结论：当a 2 0时，方程.严一瓦/a)-1 =。在0,2兀内最多有3个不等实根；当。W 吟时，方程/2 (幻-(幻-1 = 0在0,2兀内有两个不等实根；若方程,尸")-如>。)-1 =。

8、在0,6句内根的个数为偶数,则所有根之和为157r .若方程尸一向-1 = 0在。,6句内根的个数为偶数，则所有根之和为367r .其中所有正确结论的序号是().(A)( B)®( C)(D)【答案：c解析：由求根公式，/2(x)-1 = 0/(x) =,V/(x) = sinA + 2lsinxl >0 , A f (x) =0, Vt/>0 , :即一2 1 .22/(x) > 1 ,结合图像可知，当a = 0时，即f (x) = 1时,在似2泪内有3个不等实根；若/。)6 (1,3) , 2个实根；若f(x) = 3 , 1个实根；若/。)>3 ,无实根

9、；故正确；当.=0时，即/=1时，在0,2词内有3个不等实根，故错误；由根的个数为偶数可知,/(x)工1 ,即/(x) > 1 ,在0,6扪内共6个实根，和为(- + + )x2 = 15 ,正确；由正确可知错误；.所有正确结论的序号是.2 22219、【2020年黄浦区二模第11题】已知aeR ,函数/(x)= "I('>°)若存在不相等的实数再，再声， x2+l (x<0)使得皿 = -2 ,则“的取值范围是.【答案：(。,-4)解析：由题意,/(X)= -2x有三个不同解，当时，/(%) = / + 1 = 2仅有一个解工=一1 ,2，当x&

10、gt;0时，。+ = 一2要有两个不同解, x：.lx2 +av + 2 = 0 , A = 2-16>0且两根之和大于0 ,，av-4。 20、【2020年金山区二模第16题】函数“X)是定义在R上的奇函数，且/(x-l)为偶函数，当 时，/(x) = 4.若函数g(X)= "X)_XT有三个零点，则实数机的取值范围是().(A ) (W)( B ) (1-V2,V2-1)4 4(C) (4攵一;,4k + ；) (ktZ) (D) (4k + l &,必+点- 1) ( keZ)【答案：C解析；/(X)关于原点对称， /(X-1)为偶函数，/(X)也关于X = -1

11、对称，作出图像，如图所示，最小正周期为4 , 先分析xe-2,2,此时即/(x) = x + 7有三个不同解， 结合图像可知，当直线y = x+?位于图中与/2之间时，与y = /。)有三个交点，直线/ ：y = x+叫与y = 6相切，联立后， a -a/x+z?；1 =0 , = 1-47=0，,小=：, 由对称性，当xe2,2时，相£().4 4再由周期性可知加e(4k-L,4k + L) (AeZ)J 4421、【2020年崇明区二模第16题】已知函数/。)=加2+/+心，谈合A = *"(x) =(UeR,集合8 = *1/(/(外)=0,1£1<

12、,若4 = 8,且4、8都不是空集，则? + 的取值范围是()A. 0,4)B. -1,4)C. -3,5D. 0,7)【答案：A解析：.4 = 8，二若,则/(%)=0 , /(/(xo) = /(0) = 0 , ：,m = O ,f(x) = x2+nx . /.A = 0,-m) r /(/(x) = 0=>/(x) = 0s£/(%) = -» , V A=B ,，f(x) = -n等同于/(a) = 0 ,此时n=O ；/(a) = -n无解，即M + nx + n=0无解， = 2-4<0 = 0<<4.综上酶，/?e0,4)，故选A。

13、】22、【2020年长宁区二模第12题】已知函数若关于x的方程/(x) 7 = 有三个不同的实 1x1-1解，则实数的取值范围是【答案：(si)U(3,+s)解析：当x。，f(x) = -L ,再结合/(x)为偶函数，作出图像如 X-1图，由题意，即r(A)= x + b有三个不同实数解一. /(X)与直线y = X + b 有三个不同交点，结合图像可知，当)，=x +在直线(之上或者直线之 下时符合题意，:直线4和直线/,和f(x)= -相切，一1-1= x + b t 整理得.d+s + Dx + b + JO ,-x-1由A = ( + 1)2-4(" + 1) = 0 =。=

14、 -1 或8 = 3 ,，£(7,-1)11(3,+00)时满足题意。】15v-ll x<23、【2020年虹口区二模第12题】已知函数/。) = / 8若方程/("外)=。恰有5个不同x>、X+1的实数根，则实数。的取值范围为Q 【答案：(-,4)解析:作出/(析的图像,设/(x) = f ,可知f(x) = t最多三个解,V /(/«)=。恰有五个不同解，结合左图分析得，恰有两解乙£1,4)(此时有两解),r2e(0J)(此时/。)=可有三解),再结合右图分析，要同时满足八41,4)且% £(0,1),8则/(4)<<

15、;/(1),即二 <。<424、2020年松江区二模第12题】已知函数/(x) =X + X |log2(-x)|x>0(。£尺且。为常数)和x<0g(x) = k (AeR且%为常数)，有以下命题：当k v 0时，函数F(x) = f(x)-g(x)没有零点；当xvO时，(x) = /2(x) +/(x) + c恰有3个不同的零点用,工2，与，则内，七*X3 =-1 ；对任意的攵> 0 ,总存在实数。,使得F(x) = f(x)- g(x)有4个不同的零点玉V七 < 七v七，且 同，同,周,同成等上滋列.其中的真命题是.(写出所有真命题的序号)【

16、答案：解析：命题：如左图，当"。时，/。) e R , f(x) = k必有一解，错误；命题：如左图，当xvO时，设/(x) = f，当，=0时，/(x) = 7有一解刍=-1，当，> 0时，/(幻=t必有两解，由此产生三个不同零点，设/(外=，> 0的两解为玉、公，A log2(-xt) = r f log2(-x2) = -r ,即内=一2'，再=一2一，$ .看当=T，正确；命题：如右图，N <工2 < ° <当 < 七，内I > I工2 I，I Z 1> & X演I o若攵足够大，存在1"&g

17、t;1%的情况，则I%'51、XI、51不是单调递减的，不可育域等比数列，错误25、【2020年闵行区二模第12题】已知函数/(x) = bin+|cosM-4sinxcosx-A，若函数/(刈在区间(0,万)内恰好有奇数个零点，则实数k的所有取值之和为【答案：272 + 1解析：即1加川+小0$工1=441戈85工+女在区间(0,4)恰好奇数个解.汽设g(x)= Isinxl + lcosxl ,力(工)= 4sinxcosx +攵，丁 g(x + ) = g(x)，周期为一，22当xe(0,C) , (x) =sinx + cosx = 72sin(x + )，结合周期为三，作出(

18、0,4)上的图像. 242/?(x) = 4sinxcosx + Z = 2sin2x + Z/台合图像可知 z 当攵=应一2、攵=1、4=/?+2时，g(x)与h(x)在区间(0,")内恰有一个交点，取值之和为72-2 + 1 + + 2 = 272 + 126、【2020年徐汇区二模第12题】设二次函数/(幻=(2? + 1)/+一?一2(m,£/?且加工一；) 在2,3上至少有一个零点，则加2 +/的最小值为.4【答案： 53解析：© 一个零点，需满足/40 ,即(7? + 2 + 2)(17? + 3 + 7)«0 ,在平面中表示的区域如图所示，

19、此时(加 + n2 )min =o = (/-1J =；V72 +2253 两个零点,若开口向下，2/n + l<0 ,即广 > -,此时+ir >->-,不是最小值； 44 53若开口向上，2/ + 1>0，需满足A>0且/(2)。且/(3)20且2一，(3 ,2(2/7/ + 1)即至少要满足J=“：2 一 °画图可知这两部分没有交集,该情况不存在.-6(2? +1) v v -4(2/h +1)四.特殊函数(二次.幕.指.对)27、2020年宝山区二模第7题】某种微生物的日增长率r ,经过天后其数量由p。变化为p ,并且满足方程p = p&#

20、176;eJ实验检测，这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率r =(精确到1%)【答案：25%28、2020年徐汇区二模第13题】某地区的绿化面积每年平均比上一年增长20% ,经过x年，绿化面积与原绿化面积之比为y ,则的> =f(x)图像大致为()【答案：D】29、2020年长宁区二模第9题】已知a e -2,-1,1,2,3 .若函数/'(x) = Y在(0,+8)上递减 乙 J 乙为偶函数，则a =.【答案：-2】五,抽象函数与函数周期性六,函数应用题30、2020年嘉定区二模第19题】某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入

21、为2万 元.为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工.据估计，若能动员工。6川)户农民从 事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高2a% ,而从事蔬菜加工的 农民平均每户的年收入为2(>0)万元.(I)在动员.1户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不彳氐于动员前100户农民的总 年收入，求X的取值范围；(2 )在(1 )的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农 民的总年收入，求。的最大值.【答案：(1 )由题意得(100r)x2(l+ 2x%)2200 ,解得：ggo .(2 )从事

22、蔬菜加工的农民的年总收入为2 (“-非)万元，从事蔬菜种植农民的年总收入为J Vz2(100-x)(l+2x%)万元，即2x(一2x)w(100-x)x2(l + 2x%)恒成立，其中KW50 ,50即区吧+担+1恒成立，x 25又因为平+ 1| +珍2 + 1 = 9，当且仅当x = 25时等号成立，所以可皿=9.】31、【2020年松江区二模第19题】新冠肺炎疫，倩造成医用防护服紧缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供x(x e |0,10)(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公 司在收到政府x (万元)补贴后，防护服产量将增加到f = k(6-

23、三 套)，其中为工厂工人的复工率(k e 0.5,1 ). A公司生产1万件防护服还需投入成本(20 +8x +507)(万元).(1 )将A公司生产防护服的利润y (万元)表示为补贴工(万元)的函数；(2 )对任意的x £ 0,10(万元)，当复工率k达到多少时,A公司才能不产生亏损？(精确到0.01 ).【答案：(1 )将A公司生产防护服的利润)，(万元)表示为补贴x (万元)的函数；(2 )对任意的工£0,10(万元)，当复工率攵达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确到0.01).(1 ) y = 80/-(20+8A +50r) = 30r-20-8x4分= 30

24、k(6-_)_20-8工=180攵一一8X一20 , xe0,106分x+4x+4(2 )若对任意的xe 0/0,公司都不产生亏损，贝心804一一8X一2020在工£0,103立8分x + 4即心-!(14)(20)，记/=x+2，贝野£2,12, 45 x + 2(x + 4)(2x + 5) (t + 2)(21 + 1) °,上 2此时= 2t + + jx + 2tt2由于函数f(t) = 2/ + 7 + 5在f e 2,12单调递增10分所以当fe2,时，/max(0 = /(12) = 29 + 129.16712分o>_LX 29.1670.

25、64845即当工厂工人的复工率达到0.65时，对任意的xe0,10,公司都不产生亏损1432、2020年奉贤区二模第19题】甲、乙两地相距300千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过100 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v (千 米/小时)的平方成正比，比例系数为b ( b>0 ),固定部分为1000元.(1 )把全程运输成本y (元)表示为速度I，(千米/小时)的函数,丙指出这个函数的定义域；(2 )为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【答案：解：(1 )依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为巴， V人3、一

26、必一+二300 ,、300 300000全程运输成本为y = 1 ooof帅f 3oo/?vvv v故所求函数 V = /(v)= 300°0° + 300/?v r 定义域 V e(0J00 5+1 分v(2 )依题意知 J都为正数，故有y =+ bv > 20>/10/7.v当且仅当 =M即v =.时上式中等号成立2分vV b若?小00小总则当U =等时，全程运输成本最小11130()000若> 100,0 <b<一当ye (0,100时，有了=2+ 300u,ye(0,100.V h10p300000300/(v)-/(100) = -+

27、 3OO/?v-(3OOO + 3OOOO/?) = ：一(100-v)(10-Z7v)vv因为lOO uNO,故有10-Z?u>0, y = /(» = + 300/"在ue(0,100上单调递减，所以当且v = 100时等号成立，全程运输成本y最小5分第一类3分应用基本不等式并指出什么时候取到得3分(1+2 )第二类5分：只有结论不证单调性扣4分第1问6分(5+1 ),第2问8分(3+5)33、2020年金山区二模第19题】随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园区重新开放，据统计研究，近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型(

28、e N. )：'200/1 + 15001 < /? < 6；1-6以f(n) = 300-3 + 2400 l<n< 28表示第个时刻进入园区的人数， 23400 65029</?<3601<»<15以g()J 400 -5000 16</?<28表示第个时刻离开园区的人数.820029<»< 36设定每15分钟为一个计算单位，上午8点15分作为第1个计算人数单位，即 =1 , 8点30分作为第2个计算单位，即 =2 ,依次类推，把一天内从上午8点到下午5点分成36个计算单位(最后结果四 舍五

29、入，精确到整数).(1 )试分别计算当天12 ： 30至13 ： 30这一小时内，进入园区的游客人数/(19) + /(20) +/(21) + /(22)和离开园区的游客人数g(l9) + g(20) + g(21) + g(22);(2 )请问，从12点(即 =16 )开始，园区内游客总人数何时达到最多？并说明理由.【答案：进入园区人数为/。9) + /(20) + /(21) + /(22)1314516= 300x3tt+3tt+3tt+3tt + 2400x4、14738 (人)，3 分离开园区的人数 g(19) + g(20) + g(21) + g(22)=12800 (人)；6

30、 分(2)当/-g(后。时，园内游客人数递增；当/5)-g5)<0时，园内游客人数递减，.8分一6一6当 16<428时 /()一g5) = 3003 " +2400-(400/2-5000) = 300-3 11 -400/2+ 7400 rt由计算器计算可得：当16<<22时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；当234428时，/()-g()<0 ，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少；.IO分"22)g(22) = 82.913>0J(23)g(23) =161.3<011 分当29 W W 36

31、时，由f(n) - g()= -650 +15200递减，且其值恒为负数.进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少.13分综上，当天下午13 ： 30时( =22 )园区内的游客人数最多人.14分】34、2020年闵行区二模第19题】如图，A、8两地相距100公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决 定在A、8之间选址尸点建造储备仓库，共享民生物资，当点尸在线段的中点C时，建造费用为2000 万元，若点尸在线段AC上(不含点A )，则建造费用与尸、A之间的距离成反比，若点尸在线段C8上(不 含点8 ),则建造费用与尸、8之间的距离成反比，现假设尸、A之间的距离为大千米(OvxvlOO ),

32、 A地所需该物资每年的运输费用为2.5x万元，8地所需该物资每年的运输费用为0.5(100-x)万元，/ 表示建造仓库费用，g(x)表示两地物资每年的运输总费用(单位：万元).(1 )求函数的解析式;(2)若规划仓库使用的年限为() , H(x) = f(x) + ngM ,求H(x)的最小值，并解释其实际 P50千米C 5()千米意义【答案：（1）由题意，当0cx<50时，设/（x） = A，其中攵>。. x由 /(50) = 2000，得上=100000 ,此时/(X)= ")°°°° x当504XV100时，设/（幻=，其中机

33、>0.100-x由 /(50) = 2000 ,得? = 100000 ,此时/(幻=100-x100000八 一综上可得,fM = <,0 VX 450, x,50<a<100. 1100-x(2 )因为 g(x) = 2.5x + 0.5(100 ) = 2x4-50 ,所以 H (x) = /(X)+ g(x)2理”+ 5。,。0"8分X1 n(y)0O 2nx + 50/2,50 <x<100;100-x由上述解析式可知，当x£（50,100）时，“（X）单调递增，因此只需考虑（0,50时，H（x）的最小值即可.100000 LI

34、由于 2大 H+ 50/7 > 400v5n + 50/?,x100 庖一当且仅当X =-一时，"="成立10分n所以当X = 时，H（x）最小，最小值为400反+50/z 12分n底, 、-M-、100-75/7 s右 1<<20 , x =>50 ,右 >20 , x =< 50 .nn因此，仓库的选址位置与规划仓库使用的年数有关.当仓库使用年数不超过20年时，仓库建在C处；当仓库使用年数超过20年时，仓库建在4、C之间.且选址与A地相距1°"乒千米时,所需总费用最少，为400屈+50万 n元. 14分】35、20

35、20年浦东新区二模第19题】疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案,方案要求同时具备下列两个条件：3卜助款/*）（万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；!卜助款不彳舒原名帔xX b（万元）的50%.经测算政府决定采用函数模型/*）=7-+ 4 （其中为参数）作为补助款发放方案.4 x（1 ）判断使用参数 =12是否满足条件，并说明理由；（2 ）求同时满足条件、的参数人的取值范围.【答案：r 17|（1 ）由刘牛可知/（x） = ）-&+ 42巳工=工£412.x2因为3回4

36、,12，所以当 =12时不满足条件（6分）（2 ）由条件可知，"X）在3,6上单调递增，则对任意3<玉 <乙<6时，有/（再）-/（）=y+ 4 - - + 4 =（再一巧）+46 v0侬立,（4内J k 4 %2；你（10 分）在3,6上恒成立,1a即工2 +4/?>0<=> /?>-w恒成立，所以人之一I由条件可知，/（x）N）乙1QO所以 W -x2+4x= （13分）4/max 49 39'综上，参数的取值范围是一1二 （14分）】4 436、2020年青浦区二模第19题】上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行

37、带来便利.已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔/ （单位：分钟）满足2， 20 / w N” .经测算，在某一时 段）也铁载客量与发车时间间隔/相关告10 ， 20时地铁可达到满载状态载客量为1200人，当2 . 10 时，载客量会减少，减少的人数与。°一/）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记 地铁载客量为P«）.（1 ）求P的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；（2 ）若该时段这条线路每分钟的净收益为。= 6，"）""）360 （元），问当发车时间间隔为多少时， 该时段这条线路每分钟的净收益最大

38、？【答案:（1）由题意知（，）=1200-Z：(10-r)2,2<r<101200J0<Z<20，/£N,（女为常数）,V = 1200-/1(10-2) = 1200 64% =560 ,I2oo-io(io-r)2<r<io =1200J0</<20-10r+ 200r + 200,2<r<101200J0<r<20，= 1200 10x(10 6). = 1040 ,故当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量1040人.（2）由。=竺1上士吧360 ,可得。=6(-10r+200r+ 200)-3360 -3

39、60,2<r <10840-60p + yj,2</<10-360J0<r<20-360J0<r<2036 当2</<10时，<2 = 840-60 t + <840-60x12 = 120 ,当且仅当/ = 6等号成立;7700 3360当 10</<20时，Q =-360<384-360 = 24，当/ = 100号成立,由可知，当发车时间间隔为1=6分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大,最大为120元.】37、2020年长宁区二模第19题】培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N,已知

40、向水中每投放1个单位的物质N ,工(单位：天)时刻后水中含有物质N的量增加y moLL , y与x的函数关系可近8-,0<x<6似地表示为y = < x + 2.根据经验，当水中含有物质N的量不低于4 moLL时，物质N才能12-x,6< x< 12有效发挥作用.(1 )若在水中首次投放1个单位的物质N ,计算物质N能持续有效发挥作用几天？(2 )若在水中首次投放1个单位的物质N ,第8天再投放1个单位的物质N ,试判断第8天至第12天，水中所含物质N的量是否始终不超过6 moLL ,并说明理由.【答案：(1)由题意X ,(单位：天)时刻后水中含有物质N的量为2分

41、8 - * ,0 < x < 6y = Jx + 212 - a6 < x < 12解卜24 ,得2Kx«8.4分所以若在水中首次投放1个单位的物质N ,物质N能持续有效发挥作用6天6分(2)设第x ( 8<x<12 )天水中所含物质N的量为y mol/L r则 y = (12-x)+ 8-16(x-8) + 2=2。*y = 14- (x-6) +16x-6<14-2 J(x-6)x- =6V x-6当且仅当x 6 = £,即工=10亡8,12时，等号成立.即当工=10时，)，1海=6. x-6所以第8天至第12天，水中所含物质N

42、的量始终不超过6 mol/L8分】七.函数综合大题438、【2。20年虹口区二模第18题】已知函数/-门(。为实常数).(1)讨论函数/。)的奇偶性，并说明理由； (2 )当/(x)为奇函数时，对任意的X£l,5,不等式23恒成立，求实数的最大值.【答案：(1)因当。工2时，J(l) = a 1,/(1) =。-3 ,故/(l)w/(l)，于是此时函数/(A)既不是偶函数，也不是奇函数.3分44当 =2时，/(x) + /(-x) = 2«- = 2«-4 = 0 ,；3+1 3 +1故此时函数/(x)是奇函数.6分4(2)因/(x)是奇函数，故由(1)知。=2，

43、从而/(不)=2- . 3+11/4 y由不等式/(x)之至，得心23:不”.8分令3' +l=/e4,244(因xel,5)，故42。-1)一 = 2，+ 彳)一6 .由于函数夕=2，+ 9>6在4,244单调递增，所以也濡=。(4) = 3 ;12分因此，当不等式二在xel,5上恒成立时，z=3 .14分】 39、【2020年徐汇区二模第18题】已知函数/(x) = |3x l|,g(x) = l 凶(1 )解不等式/")<2 ；(2 )求/() = /*)-g(X)的最小值.【答案：(1)不等式/(刈42 ,即|3j-1|<2,2分-2 K 3x 1&

44、#171; 2,. < x « 1 , 3所以，不等式/(1)<2的解集为1 6分(2) F(x) = /(x)-g(x) = |3x-l| + |x|-l = <4x-2 x>- 3-2%0< x< -9分3-4x x v 0当心:时了卜21；当0"一时，33"呜卜2,、一一；当丁0时,尸(x)> 尸(0) = 0 ；,2综上可得，当x = L时，/取得最小值为-土-14分】 340、【2020年崇明区二模第18题】已知函数/=2*( a>0).乙(1 )判断/(X)在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证

45、明；(2 )讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由.【答案：解：(1 )函数/(*-)的定义域是R，任取彳%e R ,设玉v %，有/5) 一 "超)=2" -/一 (2» - 9)=(2'一 2与)(1 + /)3 分2 ,L -L 1 -因为玉马，所以2一2» <0 ,又>0 ,所以/(内)/(占)<0 ,所以函数/(幻在其定义域上是增函数6分(2 )当 a = 1 时，/(-a) = 2-' - J = (2、!)=-/(%)所以函数/(幻是奇函数2分当“W1 时，/(l) = 2_§,/(-1)=J2”若

46、/(-1)= 一/(I)，则 =1 ,与制矛盾，所以函数/不是奇函数5分若/(-1)= /(D，则。=-1 ,与>。矛盾，所以函数/")不是偶函数综上所述，当。=1时，函数/(x)是奇函数，当a工1时，函数于(x)既不是奇函数也不是偶函数8分】IV41、2020年黄浦区二模第18题】设是函数y=： + log）一的图像上任意两点，点 2 1一工"30，九）满足。"=，。4+。丹.（1）若与=3，求证：%为定值；（2 ）若=2玉，且丁。>1，求玉的取值范围，并比较”与力的大小.【答案：（1）由。9=；（。4+。m，可知y =，即+占=1乙乙乙I z 、

47、1 /1 121 .4）、 1 八 1>'0 =不（+>'2）=不（彳+1。氏+7+1082 7）=彳（1+1082 71-by-, 22 21 -X）21-%22（1-%|）（1-%2）1八，MX八 1由K = 2应，）'o>l ,可得1。历故 = 5（1+log2二弓为定值.(2)解得的取值范围是（3.此时由丁十一卢=71)； > ：<0, Rin0<-py<；六， 1 - Aj 1 - ZX| U - Xj JU - ZAj )LA 1 -1 . X1 1 .2 内故5 + log?尸丁 <5 + 10g2 丁U-，

48、即川内.Z1 - A| Z1 - ZXj42、2020年松江区二模第21题】已知函数/（x）的定义域为。，若存在实常数4及工0）,对任意xeD ,当x+wD且x时，都有/Q + a）+ /（X ）= %/3）成立，则称函数/（均具有性质V，a）.（1 ）判断函数/*） = /是否具有性质，并说明理由；(2 )若函数&(工)=5m121+ 5也工具有性质加(九4),求4及4应满足的条件；(3 )已知函数>'=/?*)不存在零点，当x e R时具有性质M (f + ； 1)(其中/ > 0, / W 1 ),记6 = h(n)( e N“)、求证：数列qj为等比数列的充

49、要条件是"=t或& =【答案:(1)若函数/(X)= /具有M性质，则存在实常数/及("+0),使得(x + a)2 +(x-a)2 = Ax2对任意的X都成立2分即：2x2 + 2a2 = Ax22 = 2,n = 0 ,不合题意，舍.函数/(X)= x2不具有M性质 4分(2 )由题意：存在实常数4及*0),使得g(x +。)+ g(X -。)= %g(x)对任意的x都成立即：sin 2(x + a) + sin(x + a) + sin 2(x - a) + sin(x - a) = 2(sin 2x + sin x)化简，得：(2 cos 2a - A) s

50、in 2x + (2 cos a - Z) sin x = 0 (1 及寸彳壬意的 x 者B成立6 分在(1)中令工=三，得：2cosa 九=0，代入(1)，得：2cos2”一/1 = 0 2所以2cos«-2 = 02cos2r/-2 = 0-2=22=7解得 ，或1cosa = 1 cos a = 一一28分4 = -110分2a = 2k九土一九，k sZ3(3 )证明：由函数y = (x)不存在零点，且具有性质M" + !)知， t对彳壬意的nN2,nwN，.者B有h(n + 1) + /?(;?-1) = (/ + -)/?(n)即 an+l +=。+ ；）为12 分.=，+1 * '记，=3 ,则勾+=/ + ；心2,eN* .14分册%1充分性：当幺=f时，4=r ,反复代入式得A = t,b、= t,bn= t, q-即对任意的 eN，都有“ = 5 = /，;数列/是以为首项，为公比的等比数列 册同理，当父=1时，数列4是以外为首项,为公