动点问题总结

1、动点问题及练习题一概念：“动点型问题 ”是指题设图形中存在一个或多个动点二 关键 :动中求静 .数学思想： 分类 函数方程数形结合转化三、 类型：专题一：建立动点问题的函数解析式1、应用勾股定理建立函数解析式。2、应用比例式建立函数解析式。3、应用求图形面积的方法建立函数关系式。专题二：函数中因动点产生的相似三角形问题1. 相似三角形的证明2. 相似三角形的性质例题 2. 正方形 ABCD 边长为 4， M 、 N 分别是 BC 、 CD 上的两个动点 , 当 M 点在 BC 上运动时，保持 AM 和 MN 垂直，（ 1）证明： Rt ABM Rt MCN ；（2）设 BMx ，梯形 ABCN

2、 的面积为 y ，求 y 与 x 之间的函数关系式；当 M 点运动到什么位置时， 四边形 ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当 M 点运动到什么位置时 Rt ABM Rt AMN ，求此时 x 的值ADNBMC精品文库专题三：以圆为载体的动点问题例题 3：如图 , 已知直角梯形 ABCD中，ADBC，A=90o，C=60o，AD=3cm，BC=9cmO1的圆心 O1从点 A 开始沿 ADC折线以 1cm/s 的速度向点 C 运动，O2的圆心 O2从点 B 开始沿 BA边以 3 cm/s 的速度向点 A 运动，如果 O1半径为 2cm， O2的半径为 4cm，若 O1、O2分别从点 A、

3、点 B 同时出发，运动的时间为 ts请求出 O2与腰 CD相切时 t 的值；练习题1. 如图，在平行四边形 ABCD中，AD=4cm，A=60°， BDAD. 一动点 P 从 A 出发，以每秒 1 cm 的速度沿 ABC 的路线匀速运动，过点 P 作直线 PM，使 PMAD .(1) 当点 P 运动 2 秒时，设直线 PM与 AD相交于点 E，求 APE的面积；(2) 当点 P 运动 2 秒时，另一动点 Q也从 A 出发沿 ABC 的路线运动，且在 AB上以每秒 1 cm的速度匀速运动，在 BC上以每秒 2 cm的速度匀速运动 . 过 Q作直线 QN，使 QNPM. 设点 Q运动的时

4、间为 t欢迎下载- 2 -精品文库秒(0 t 10) ，直线 PM与 QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2 . 求 S 关于 t 的函数关系式；( 附加题 ) 求 S 的最大值。DCMEAPB2. 如图，在梯形 ABCD 中，AD BC， AD3， DC5，AB 4 2，B 45 动点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒 2个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时从 C 点出发沿线段 CD 以每秒 1个单位长度的速度向终点 D 运动设运动的时间为 t 秒（09 年济南中考）（1）求 BC 的长。（2）当 MN AB 时，求 t 的值（3）试探究： t 为何值时， MN

5、C 为等腰三角形ADNBMC欢迎下载- 3 -精品文库3. 如图，在 RtAOB中， AOB90°， OA3cm，OB4cm，以点 O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为 AB、OB边上的动点它们同时分别从点 A、O向 B 点匀速运动，速度均为1cm/秒，设 P、 Q移动时间为 t （0 t 4）（ 1）求 AB的长，过点 P 做 PMOA于 M，求出 P 点的坐标（用 t 表示）（ 2）求 OPQ面积 S（cm2），与运动时间 t （秒）之间的函数关系式，当 t 为何值时， S有最大值？最大是多少？（ 3）当 t 为何值时， OPQ为直角三角形？（ 4）若点 P 运动速度不变，改变

6、 Q 的运动速度，使 OPQ为正三角形，求 Q点运动的速度和此时 t 的值yAMPOQBx欢迎下载- 4 -精品文库4. . 已知，如图，在直角梯形COAB中， CBOA，以 O 为原点建立平面直角坐标系， A、B、C的坐标分别为 A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D为 OA的中点，动点 P 自 A 点出发沿 ABCO的路线移动，速度为每秒 1 个单位，移动时间记为 t 秒，（1）动点 P 在从 A 到 B 的移动过程中，设 APD的面积为 S，试写出S与 t 的函数关系式，指出自变量的取值范围，并求出S的最大值（2）动点 P 从出发，几秒钟后线段PD将梯形 COAB的面积分成 1：

7、3两部分？求出此时P 点的坐标yCBPODAx5. 如图，平面直角坐标系中，四边形 OABC为矩形， 点 A、B 的坐标分别为 （3，0），（3，4）。动点 M、N分别从 O、B 同时出发，以每秒1 个单位的速度运动。其中，点 M沿 OA向终点 A 运动，点 N沿 BC向终点 C运动。过点 N作 NPAC，交 AC于 P，连结 MP。已知动点运动了 x 秒。欢迎下载- 5 -精品文库（1）P 点的坐标为（，）；（用含x的代数式表示）（ 2）试求 MPA面积的最大值，并求此时 x 的值。（ 3）请你探索：当 x 为何值时， MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果。yCNBPO

8、 MAx6. 在三角形ABC中,B60O , BA24cm, BC16cm . 现有动点P 从点 A出发 , 沿射线 AB向点 B 方向运动 ; 动点 Q从点 C出发 , 沿射线 CB也向点 B方向运动 . 如果点 P的速度是 4cm / 秒, 点 Q的速度是 2cm / 秒, 它们同时出发 , 求:(1) 几秒钟后 , PBQ的面积是 ABC的面积的一半 ? (2)在第 (1) 问的前提下 ,P,Q 两点之间的距离是多少?欢迎下载- 6 -精品文库7. 如图，已知直角坐标系内的梯形 AOBC（O 为原点），AC OB，OCBC，AC，OB的长是关于 x 的方程 x2(k+2)x+5=0 的两

9、个根，且 SAOC：SBOC=1：5。（ 1）填空： 0C=_，k=_；（ 2）求经过 O，C，B 三点的抛物线的另一个交点为 D，动点 P，Q分别从 O，D同时出发，都以每秒 1 个单位的速度运动，其中点 P沿 OB由 OB 运动，点 Q沿 DC由 DC 运动，过点 Q作 QMCD交 BC于点M，连结 PM，设动点运动时间为 t 秒，请你探索：当 t 为何值时， PMB是直角三角形。欢迎下载- 7 -精品文库例题 2. ，（3）BAMN90°，要使 ABM AMN ，必须有 AMAB ，由（ 1）知 AMAB， BMMNBMMC ，MNMC当点 M 运动到 BC 的中点时， ABM

10、 AMN ，此时 x2 例题 4,.解：（1）当 B，E，F 三点共线时，两点同时停止运动，如图 2 所示由题意可知： ED=t ，BC=8，FD= 2 t -4 ，FC= 2 t EDBC， FED FBC FDED FCBC 2t 4t 解得 t =4当 t =4 时，两点同时停止运动2t8（ 2） ED=t，CF=2t， S=SBCE+ S BCF= 1 ×8×4+ 1 ×2t ×t =16+ t 222即 S=16+ t 2 （0 t 4）；（ 3）若 EF=EC时，则点 F 只能在 CD的延长线上， EF2=(2 t 4)2 t 2 5t2 1

11、6t 16 ，2=t =4t= 0EC=42t 2t216 ， 5t 216t1616 或（舍去）；t 222t 2t 216，22162 t43 ；若 EC=FC时，EC=4=4t， t2=4tFC3若 EF=FC时， EF2=4)2t 25t 22=4t 2，(2t16t16 ，FC 5t 216t 16 =4t 2 t 1=1683 （舍去），t 2=1683 当 t 的值为 4， 43 ，1683 时，以 E，F，C三点为顶点的3三角形是等腰三角形；（4）在 RtBCF和 Rt CED中， BCD= CDE=90°， BCCF2 ，CDED RtBCFRtCED BFC=CE

12、D ADBC， BCE=CED若 BEC=BFC，则BEC=BCE即BE=BC欢迎下载- 8 -精品文库216t 80 ， t 2 16t 80 =64 BE=t2 t 1=16 8 3 （舍去），t 2 =16 8 3 当 t =168 3 时， BEC=BFC1. 第（1）问比较简单，就是一个静态问题当点 P运动 2 秒时，AP=2cm，由 A=60°，知 AE=1，PE= 3 .3 S APE=2第（ 2）问就是一个动态问题了，题目要求面积与运动时间的函数关系式，这就需要我们根据题目，综合分析，分类讨论 . P点从 ABC一共用了 12 秒，走了 12 cm，Q 点从 AB 用

13、了 8 秒， BC用了 2 秒，所以 t 的取值范围是 0 t 10不变量： P、Q 点走过的总路程都是12cm，P 点的速度不变，所以AP始终为： t+2如当 8t 10 时，点 Q所走的路程 AQ=1×8+2（t 8）=2t-8 当 0t 6 时，点 P 与点 Q都在 AB上运动，设 PM与 AD交于点 G，QN与 AD交于点 F，t3 tt3 t3则 AQ=t，AF=2 ，QF= 2 ，AP=t+2，AG=1+2 ，PG=2 . 此时两平行线截平行四边形ABCD是一个直角梯形，33其面积为（ PG + QF）× AG÷2S= 2t2 .当 6t 8 时，点

14、P 在 BC上运动，点 Q仍在 AB上运动 .设 PM与 DC交于点 G，QN与 AD交于点 F，欢迎下载- 9 -精品文库tt则 AQ=t，AF=2 ，DF=4-2 （总量减部分量），3QF= 2 t ，AP=t+2，BP=t-6 （总量减部分量），CP=AC- AP=12（-t+2 ）=10-t （总量减部分量），(10t ) 3，而 BD=4 3 ，PG=故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为53t 210 3t 34 3平行四边形的面积减去两个三角形面积 S=8.当 8t 10 时，点 P 和点 Q都在 BC上运动 .设 PM与 DC交于点 G，QN与 DC交于点 F，则 AQ=2

15、t-8，CQ= AC- AQ= 12-（2t-8 ）=20-2t ，（难点）(10 t)3.QF=(20-2t) 3 ，CP=10-t，PG=33t230 3t 150 3 . 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为 S= 273( 附加题 ) 当 0t 6 时， S 的最大值为2 ；当 6t 8 时， S的最大值为 63 ；当 8t 10 时， S 的最大值为 6 3 ；所以当 t=8 时， S有最大值为 6 3 .2. 解：（1）如图，过 A 、D 分别作 AKBC于K，DHBC于H ，则四边形 ADHK 是矩形 KHAD3在 Rt ABK 中， AK AB sin 4542242BK

16、AB cos45244 22欢迎下载-10-精品文库在 RtCDH中，由勾股定理得， HC52423BC BKKH HC43310ADADNBHCBCKGM（图）（图）（2）如图，过 D 作 DG AB 交 BC 于 G 点，则四边形 ADGB 是平行四边形MNABMNDGBGAD3GC1037由题意知，当 M 、 N 运动到 t 秒时， CNt，CM102t DG MN NMC DGC又C C MNC GDC CNCMCDCG即 t10 2t解得， t505717（3）分三种情况讨论：当当NCMC 时，如图，即 t 10 2t10 t3MNNC 时，如图，过 N 作 NEMC于EC C， D

17、HCNEC90 NEC DHC NCECDCHC即 t5 t t25538欢迎下载-11-精品文库ADADNNBMCBM H EC（图）（图）1 NC1 t当 MN MC 时，如图，过 M 作 MFCN于F点. FC22 C C， MFCDHC 90AD MFC DHC FCMCNHCDC1 tF102t60BC即 2 tH M5173综上所述，当 t10、 t25或 t60（图）3817时， MNC 为等腰三角形3. （1）由题意知： BD=5，BQ=t，QC=4-t，DP=t，BP=5-tPQBC BPQ BDC BPBQ 即 5 tt t20BDBC549当 t20 时， PQBC（2）过点 P 作 PMBC，垂足为 M95tPM3B