含参数导数问题分类讨论

1、含参数导数的解题策略 导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、 最值等，其 中渗透并充分利用着构造函数、 分类讨论、转化与化归、 数形结合等重要思想方法，导数常 作为高考的压轴题， 对考生的能力要求非常高， 它不仅要求考生牢固掌握基础知识、 基本技 能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。 而含参数的导数问题是近年来高考的难点 和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳一、分离参数，转化为最值策略 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若 a f x 恒成立，只须求出 f x max ，则 a f x max ；若 a f x 恒成立，

2、只须求出 f x min ，则 a f x min ，转 化为函数求最值例 1、 已知函数 f (x) xln x. ()求 f(x) 的最小值； ()若对所有 x 1都有 f (x) ax 1,求实数 a 的取值范围 .二、导数为 0 的点是否在定义域内，分类讨论策略 求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ，但不知导函数为零的实根 是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点， 从而引起讨论例 2. 已知 a 是实数，函数 f(x) x(2 x a) .()若 f (1) 3,求a的值及曲线 y f(x)在点 (1, f (1)处的切线方程；

3、()求 f (x) 在区间 0 ， 2上的最大值三、导函数为 0 是否存在，分类讨论策略求导后， 考虑导函数为零是否有实根 (或导函数的分子能否分解因式) ，涉及到二次方程 问题时，与 0 的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关， 令 =0，求分点，从而引起讨论例 3、已知函数 f （x） x2 x aln x， （a R） ，讨论 f（x） 在定义域上的单调性四、导函数为 0 的方程的根大小不确定，分类讨论策略求导后， 导函数为零有实根 （或导函数的分子能分解因式） , 导函数为零的实根也落在 定义域内， 但这些实根的大小关系不确定，分不了区间 所以必须分类， 通过

4、令几个根相等 求分点，从而引起讨论 2例4、已知 m 0 ，讨论函数 f （x） mx 3（m x1）x 3m 6 的单调性ex练习求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式） ，从而引起讨论。一、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式） ，但不知导函数为零的 实根是否落在定义域内，从而引起讨论。二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式） , 导函数为零的实根 也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。三、1 ,x 1108广东（理） 设k R，函数 f（x） 1 x ,F（x） f （x） kx,x R，x 1,x 1试讨论函数 F（

5、x） 的单调性。2 （08 浙江理）已知 a是实数，函数 f x xxa（）求函数 f x 的单调区间；（）设 g a 为 f x 在区间 0,2 上的最小值。（ i ）写出 g a 的表达式；（ ii ）求 a的取值范围，使得 6 g a 2 。3（07 天津理）已知函数2ax a2 1x2 1R ，其中 aR。）当 a 1 时，求曲线 y f x 在点 2, f 2 处的切线方程； ）当 a 0时，求函数 f x 的单调区间与极值。4（ 07高考山东理改编）设函数 f x x2 bln x 1 ，其中 b 0 ，求函数 f x 的极值 点。含参数导数的解题策略例 1、解：（）略() 对所有

6、 x 1都有 f (x) ax 1，1 对所有 x 1都有 xln x ax 1 ，即 a ln x .x1记 g(x) ln x ,(x 0), 只需 a g( x) min .x11令 g'(x) 2 0, 解得 x 1.xxg'(x) 0 x 1,g'(x) 0 0 x 1. 当 x 1时， g(x) 取最小值 g(1) 1. a 1.即 a的取值范围是 aa 1.例 2. 解：(I )略( II )当 2a3当 2a32a令 f '(x) 0，解得 x1 0,x2 2a 30，即a 0时， f (x)在0 ，2上单调递增，从而 fmax f (2) 8

7、4a2时，即 a 3时， f (x)在0 ，2上单调递减，从而 fmax f (0) 0当023a 2，即0a 3，f(x)在 0,2a 上单调递减， 在 2a,2 上单调递增，33从而max0,4a,0 a2a2.3.综上所述，4a,2.解：由已知得 f (x)2x 1a x1)当18a 0，a1时，82)当18a 0，a1时，81118a0a时，max0,2.a11)82例 3、2x2 x a,(x 0) ，f (x) 0恒成立， f (x)在(0, )上为增函数1 8a0，f(x)在11 8a ,1 1 8a2)例 4、得 x1上为减函数，1 f (x) 在 (0,11 8a,1 1 8

8、a) 上为增函数，)当 a 0时，1 12 8a0，故 f (x)在 0,1 1 8a 上为减函数，f (x) 在 1 1 8a ，)2上为增函数综上，当 a当0当a上为增函数解： f (x)3， x2 m1时， f(x)在 (0, )上为增函数80时，时， f(x)在11 8a 1 1 8a 上为减函数，2f (x)在(0,112 8a,1 1 8a) 上为增函数，2 mxf (x) 在( 0 ， 1 1 8a 上为减函数，2(m 3)x 3x ，设 g(x) emx2 (mf(x)在1 1 8a ，23)x 3，令 g(x) 0 ，1)当0 m 3时，x1 x2 ，在区间 ( , 3)，(

9、 1, )上g(x) 0，即 f (x) 0， m3 所以 f(x)在区间 ( , )，( 1, ) 上是减函数；m 33在区间 ( 3，1) ，g(x) 0，即 f (x) 0，所以 f(x)在区间 ( 3 ， 1)上是增函数； mm2)当m 3时，x1 x2 ,在区间( , 1)，( 1, )上g(x) 0，即 f (x) 0，又 f(x)在x 1处连续，所以 f ( x)在区间 ( , )上是减函数；3)当 m 3时， x1 x2 ,在区间 ( , 1) ，( 3， )上g(x) 0，即 f (x) 0， m3所以 f (x) 在区间 ( , 1) ，( 3， ) 上是减函数；m3在区间

10、 ( 1， ) 上， g(x) 0，即 f (x)0，所以 f(x)在区间 ( 1， 3 )上是增函mm数练习1解： F(x) f (x) kx1kx,x 1,1 x ,F '(x)21 k 1 x2 ,x 11xx 1 kx,x 11 2k x 12 x 1 ,x考虑导函数 F '(x)0 是否有实根，从而需要对参数k 的取值进行讨论。一)若 x 1，则 F '(x)21 k 1 x21 x 2由于当 k0时，F '(x) 0无实根，而当 k 0时， F '(x) 0 有实根，因此，对参数 k 分k 0和 k 0两种情况讨论。1)当 k 0时，F &#

11、39;(x) 0在 (,1)上恒成立， 所以函数 F(x) 在( ,1)上为增函数；2) 当k 0时， F '(x)112 k x 1 x 11 k 1 x k k。1x21x增函数。当k1)数；2)为增函数。由 F'(x) 0，得 x1由 F'(x) 0，得 1因此，当 k0时，若x1，则F '(x)0时，F '(x)当k当k0时，0时，1k1,x2 1 ，因为 kk1；由 F '(x) 0 ，得 x 1函数 F(x) 在(1 2k x 12x10有实根，因此，对参数F '(x)F '(x)由 F '(x) 0 ，得 x

12、0，所以1k。x1 1 x2 。,1 1 ) 上为减函数， k在 (11k ,1) 上为由于当 k 0时， F '(x) 0无实根，而k分k 0和 k 0两种情况讨论。0在 1,上恒成立，所以函数 F(x) 在 1,k x 1 11 2k x 1 2k2 x 1 x 1因此，当 k 0 时，函数综上所述：1)当k在 1,上为减函2)当k1 2 ；由 F '(x) 0 ，得 1 x 1 4kF(x)在0时，函数 F(x)在(上为减函数。0时，函数 F(x)在 (,114k211,1 12 上为减函数，在 14k21,4k2,1 ) 上为减函数， 在 (1 1 ,1) 上为增函数，

13、 kk,1) 上为增函数，在 1, 上为减函数。3)当 k 0时，函数 F(x)在 (1,1)上为增函数，在 1,1 1 2 上为减函数，在4k211 12 ,上为增函数。4k2xa2x)3x a2x3x函数的定义2x域为x 0 ，由 f '(x) 0 得 x0,内，需对参数 a的取值分 a 0及 a 01)当a0 时，则 f '(x)0 在 0,上恒成立，所以f x 的单调递增区间为0,。2)当a0 时，由 f '(x)0 ，得 xa'；由 f '(x) 0 ，得 0 x 。33因此，当 a 0 时， fx 的单调递减区间为 0,a ，f x 的单调递

14、增区间为3考虑 是否落在导函数 f ' (x) 的定义域 0, 两种情况进行讨论。a ,。3)(i )由第()问的结论可知：1) 当 a 0 时， f x 在 0,上单调递增，从而f x 在 0,2 上单调递增，所以 g a f 0 0。( 2) 当a 0 时， fx 在 0,a上单调递减，在a, 上单调递增，所以：33 当 a0,2 ，即 0a 6 时，f x 在 0, a上单调递减，在 a,2 上单调递333增，a2a a2a 3a所以g a f。3339当a3 ga2,f2，即 a 6 时， fx 在 0,2 上单 调 递减 ， 所 以22a。0,a02aa综上所述，ga3a3,

15、0a622a ,a6( ii )令 6 g a2。若 a 0，无解；若 0 a 6，由 62a a2 解得 3 a6；33 若 a 6 ，由 62 2 a2 解得 6 a2 3 2 。综上所述， a 的取值范围为 3 a2 3 2 。3、解：（）当a 1时，曲线 yx 在 点 2,f 2 处 的 切 线 方 程 为）由于 a 0 ，所以222a x2 1 2x 2ax a2 12a x ax2x26x 25y 32 0 。由 f ' x 0 ，得 x11 ,x2 a 。这两个实根都在定义域 R内，但不知它们之间的大 a小。因此，需对参数 a的取值分 a 0和 a 0两种情况进行讨论。（

16、1）当 a 0时，则 x1 x2 。易得 f x1在区间 , ， a,a内为减函数，在区间11,a 为增函数。 故函数 f x 在 x1 a11 处取得极小值 faaa2 ；函数 f x在 x2a 处取得极大值 f a 1 。（2）当 a 0 时，则 x1 x2 。易得 f x1在区间 ( ,a)， ( ,a） 内为增函数，在区1间(a, )为减函数。 故函数 f x 在 x1 a1 处取得极小值aa2 ；函数 f x 在4、解：由题意可得 fx 的定义域为1, ，x 2x bx12x2 2x b ， x1的分母 x1在定义域1,上恒为正，方程 2x22x b0 是否有实根，需要对参数b 的取

17、值进行讨论。1)当4 8b0 ，即 b1 时，方程 2x2 2x b20 无实根或只有唯一根1，2所以 g x2x2 2x b在 1,上恒成立， 则 f0 在 1, 上恒成立，所以函数 f x 在 1,上单调递增，从而函数 f x 在1,上无极值点。2)当4 8b 0，即 b2时，方程 2x2 2x0 ，即 f x 0 有两个不相等的实根： x11 1 2b2,x21 1 2b。内呢又需要对参数b 的取值分情况作如下讨论：1 1 2b1 1 2b()当b0 时 ， x11,x21，所以122x11,x21, 。此时，f'x与fx 随 x 的变化情况如下表：这两个根是否都在定义域 1,x1,x2x2x2,f ' x0fx递减极小值递增由此表可知：当 b 0 时， f x 有唯一极小值点 x21 1 2b2x2 a 处取得极大值 f a 1。()1