教案5-定积分及应用

1、 第五章 定积分及其应用§5.1定积分概念与性质定积分的概念是从自然科学和大量实际问题中抽象出来的，比如求变速直线运动的路程问题、平面图形的面积等等。虽然他们的实际意义各不相同，但求解的思路和方法却是类似的。我们从求曲边梯形的面积谈起。一、 引例求曲边梯形的面积：曲边梯形是指在直角坐标系下，由闭区间上的连续曲线，与三条直线，与（轴）所围成的平面图形叫曲边梯形。（如图5-1所示） 图5-1 图5-2下面讨论如何计算曲边梯形的面积：解决这个问题的困难之处在于曲边梯形的上部边界是一条曲线，而在初等数学中，我们只会求如矩形面积、三角形面积、梯形面积等。如图5-2所示。若把曲边梯形分割成许多细

2、小的曲边梯形，然后用我们易求的矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，则大曲边梯形的面积的近似值就是所有小矩形的面积之和。显然，若分割的越细，小曲边梯形的宽度越小，小矩形和小曲边梯形的近似程度就越高，误差就越小。当所有的小曲边梯形的宽度都趋于零时，则所有小矩形面积之和的极限值就是这个大曲边梯形面积的精确值了。按照上述思路，计算曲边梯形的面积一般要经过“分割取近似；求和取极限”这四个步骤来完成。第一步：分割（如下图） 在区间内任意插入个分点：即把区间分成个小区间： （），每个小区间的长度记为： （），过每个分点作平行y轴的直线，则把整个曲边梯形分成了个小曲边梯形，第个小曲边梯形面积为： （），则大曲边

3、梯形的面积为：；第二步：取近似（用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。）在每个小区间上任取一点 ，小矩形面积：以为底，以为高就可以近似的代替小曲边梯形的面积，即 （）；第三步：求和（用小矩形面积的和近似代替大曲边梯形的面积） 个小矩形面积的和：即： 第四步：取极限（求出曲边梯形面积的精确值）当分割越来越细的时候，每个小曲边梯形的宽度都趋近于0。为了便于描述，取小区间宽度的最大值趋于0时，和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值， 此为曲边梯形的面积按照上述思路，计算曲边梯形的面积一般要经过“分割取近似；求和取极限”这四个步骤来完成。归纳求曲边梯形面积求法： 曲边梯形面积是用一个和式极限表达的。计

4、算方法归纳为四步： 分割任取分点； 取近似以直代曲； 求和求近似值； 取极限由近似过渡到精确值。抛开问题的具体意义，只考虑定义在区间的函数，就可以抽象出定积分的定义。二、 定积分概念1、 定积分定义定义：设函数在上连续，任取分点，把区间分割成个小区间（），其长度记为： ，（）并记： ，在每个小区间上任取一点（），做乘积的和式，（），若时，若上和式极限存在，则称函数在区间上可积，并称此极限值为在上的定积分，记作： ，即： ，其中：为积分号，为被积函数，为被积表达式，为积分变量，为积分区间，分别称为积分下限和积分上限。由定积分的定义，上面引例可表示为定积分：由闭区间上的连续曲线，与直线，与轴所围成

5、的曲边梯形的面积为：注意：（1）定义中区间的分法和的取法是任意的，即对区间无限细分。（2）定积分是和式的极限值，是一个常量，这个常量仅与被积函数 和积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即有：。（3）如果函数f (x)在a, b上的定积分存在, 我们就说f (x)在区间a, b上可积，否则称不可积。2、 定积分存在条件 （1）若在上连续，则在上可积。（2）若在上有界，且只有有限个第一类间断点，则在上可积。3、 定积分几何意义由定积分的定义以及引例1可知，曲边梯形的面积就是在区间的定积分，这就是定积分的几何意义。（1）在闭区间上，若函数，则定积分在几何上表示由曲线，直线与x轴所围成的曲边

6、梯形的面积；（2）在闭区间上，若函数，则定积分在几何上表示由曲线，直线与x轴所围成的曲边梯形面积的负值；（3）若在上的值有正也有负，如图5-3所示，则定积分表示介于轴、曲线及直线之间各部分面积的代数和。即在轴上方的图形面积减去轴下方的图形面积：yOy=f(x)xba图5-3几何意义： 定积分在几何上表示为曲边梯形面积的代数和。曲边梯形位于x轴上方取正值，位于x轴下方取负值。 （） 例1 利用定积分的几何意义求。解 画出被积函数在区间上的图形，由图5-4可看出，在区间上，由曲线，轴、轴所围成的图5-4 曲边梯形是单位圆，所以由定积分的几何意义可得。 在引例1中求曲边梯形的面积是将区间无限细分，则

7、相应地曲边梯形被分为无穷多个小竖条。现考虑以任意一点为左端点的小竖条，其底边为（），如图5-5所示。在无限细分的条件下，小竖条的面积就近似等于以为高，以为底的小矩形的面积，记作，称为面积微元（简称微元）。图5-5 将这无穷多个极其微小的面积由到“积累”起来，就成为总面积，也就是定积分， 即： 。三、 定积分实质 由定积分定义可知，曲边梯形面积为：定积分实质：定积分 就是由无穷多个面积微元“”累加求和而得的。四、 定积分性质1、 两点规定(1) 当，即 (2) 当时, （定积分上下限互换，定积分变号）2、 性质（1）代数和的积分等于积分的代数和（2）被积函数的常数因子可以提到积分号前（为常数）；

8、（3）定积分的可加性 设，则 定积分对积分可加性的几何意义： （如图）§5.2 微积分基本定理积分学要解决两个问题：第一：原函数的求法问题（上一章以经解决）；第二：定积分的计算问题。如果我们按照定积分定义计算定积分，那将是相当困难的。因此寻找一种计算定积分的有效方法便成为积分学发展的关键所在。不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念，而牛顿和莱布尼茨为我们揭示了这两个概念之间存在的深刻内在联系，即“微积分基本定理”，并由此开辟了求定积分的新途径牛顿莱布尼茨公式。一、 牛顿莱布尼兹公式1、定理： 若函数是连续函数在区间上的一个原函数，即=，则。上式称

9、为牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式，也称为微积分基本公式。这个公式表明一个连续函数在区间上的定积分等于它的一个原函数在区间上的增量，这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。使用公式注意事项： 用牛顿-莱布尼兹公式求定积分时，只写出的一个原函数，不需加常数； 牛顿-莱布尼兹公式成立条件是：被积函数在积分区间是连续的。 若在区间上是有间断点，应将原积分化为在和上的积分和。例3： 计算下列定积分：（1）；（2）； （3）； （4）。解：（1）；（2）；（3）；（4）。二、 积分上限函数1. 定义：设函数在上可积，则变动上限的积分是的函数， 所以在上定义了一个函数，记作：， 。

10、 称为积分上限函数。2. 几何意义由定积分的几何意义知：在时表示区间上的曲边梯形的面积(如图5-7)，当在上不断变化时，(即图5-7中阴影部分的面积)也相应地改变。则对的每一个取值，该定积分都有一个确定的值与之对应，因此是关于积分上限的函数。图5-73. 积分上限函数性质 定理：若函数在区间上连续，则积分上限函数在区间上可导，且导数为：。注：定理揭示了微分与定积分这两个定义不相干的概念之间的内在联系，我们也将它称为微积分基本定理。定理是在被积函数连续的条件下证得的，因而也就证明了“连续函数必存在原函数”的结论。说明： 连续函数一定有原函数，并且这一原函数就是的变上限的定积分式。例1： 已知，求

11、。解： 因为，所以。例2： 求的导数。解： 如果交换积分上下限，就得到了一个积分上限函数，并且由定积分的性质，它们有这样的关系： ，因此， =。三、 原函数存在定理积分上限函数的性质给出了一个重要的结论：连续函数取变上限x的定积分后求导，其结果仍为本身。若联想到原函数的定义，由定理可知就是的一个原函数。因此我们引入下面的原函数存在定理：定理2： 若函数在区间上连续，则函数就是在区间上的一个原函数。这个定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。 §5.3 定积分的计算一、 直接法定积分的直接积分法就是利用定积分的性质以及

12、牛顿莱布尼兹公式求定积分的方法，它只适用于比较简单的定积分的计算。例2： 计算下列定积分：（1）；（2）；（3）；（4）。解： （1）；（2）；（3）；（4）。例3： 计算下列定积分：（1）设，求；（2）。解：（1）被积函数是分段函数，利用定积分对积分区间具有可加性，得；（2）被积函数带有绝对值，绝对值函数是分段函数，因此不能直接用公式，利用定积分对积分区间的可加性，得。二、 凑微分法 定理：设函数在区间上连续，且 在区间上具有连续导数； 当从到时，从单调地变到，则有： 此式称为定积分的换元公式。注意：利用此公式计算定积分，只须在做变量替换的同时，相应地替换积分的上、下限，结果不必变量再还原。

13、 换元必换限！ 定积分的换元法包括有两种：第一类换元法（凑微分法），第二类换元法。我们只介绍其中的凑微分法。通过牛顿莱布尼兹公式，我们知道求定积分可以转换为求原函数的增量，而在3.1节我们又知道通过凑微分可以求出一些函数的原函数，因此可以用凑微分法来求解一些定积分。我们先来看一个例子。例4： 求。解： 首先求被积函数的原函数，即用凑微分法求：。，因此，。很显然，这种方法比较麻烦，如果能在计算定积分的时候直接换元则更简单一些，即令，则时，；时，所以，。由本例可以看出，定积分的凑微分与不定积分的凑微分相比，主要区别在于当变换积分变量时，积分变量的上、下限也要随之改变；而求不定积分时最后还要把积分变

14、量换回去，但求定积分时则不需要。因此有定积分凑微分公式：。通常将这一过程分为：“凑微分换元换限 积分”三个步骤。例5： 计算下列定积分：（1）；（2）；（3）； （4）。解：（1）因为，令，则时，；时，。；（2）因为，令，则时，；时，。；当运算熟练之后，可以不设出中间变量，直接计算。（3）；（4）。§5.4 定积分的应用一、 平面图形的面积下面我们用微元法来讨论定积分在求平面图形面积上的应用。由上一节知道，若，则曲线与直线及轴所围成的平面图形的面积的微元（如图3-10所示）为：，由此可得到平面图形的面积为： 。 图5-10 图5-11若平面图形是由连续曲线，和直线围成。在区间上有，如

15、图5-11所示，并称这样的图形是-型的。如何求由该平面图形的面积。我们仍可采用微元法求解该问题，取为积分变量，在区间内任取一小区间（如图3-11），类似前面的问题，我们可以找到的面积微元：，所以所求面积为： 。同理，若平面图形是由连续曲线，和直线围成。如图3-12所示，且在区间上有，并称这样的图形是-型的。图5-12则平面图形面积为： 。根据曲边梯形的不同形式，现将计算平面图形面积的方法归纳如下：1、 若选为积分变量1 先由左右观察平面图形范围，确定积分下、上限；2 然后用“上面的”曲线方程减去“下面的”曲线方程做为被积函数，就可以得到该平面图形的面积。3 若曲线与出现“上下交替”，方法如下先

16、求出两条曲线交点坐标，把积分区间分为若干部分，从而平面图形也相应分成若干部分，仍利用上述方法：2、 若选为积分变量1 先由下上观察平面图形范围，确定积分下、上限；2 然后用“右面的”曲线方程减去“左面的”曲线方程做为被积函数，就可以得到该平面图形的面积。3 若曲线与出现“左右交替”，方法如下先求出两条曲线交点坐标，把积分区间分为若干部分，从而平面图形也相应分成若干部分，仍利用上述方法：例1： 求由抛物线和所围成图形的面积。解： 如图5-13所示。 先求交点解得交点为和，图5-13所求面积可看作是曲线，和所围图形的面积， 选为积分变量，则积分下限为、上限为，在上任取一小区间，则可得到的面积微元：因此所求面积： =。（上题中我们选取了为积分变量，也可选取为积分变量。） 例2： 求由抛物线与直线所围成的平面图形的面积。解 如图3-14所示。 先求交点解得交点为和，因此，所求面积可看作是曲线，图5-14和所围图形的面积， 选为积分变量，则积分下限为、上限为在上任取一小区间，则可得到的面积微元：，因此