logistic模型和最小二乘

1、背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长 如何预报人口的增长如何预报人口的增长指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出 ( (1798) )常用的计算公式常用的计算公式kkrxx)1 (0

2、x(t) 时刻时刻t的人口的人口基本假设基本假设 : 人口人口(相对相对)增长率增长率 r 是常数是常数trtxtxttx)()()(今年人口今年人口 x0, 年增长率年增长率 rk年后人口年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1 (0随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人

3、口增长预测 不符合不符合19世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r r不是常数不是常数( (逐渐下降逐渐下降) )阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设) 0,()(srsxrxrr固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口

4、容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)1 ()(mxxrxrr是是x的减函数的减函数mxrs 0)(mxrrxdtdx)1 ()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt( )()110tx0 x(t)S形曲线形曲线, x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数预报，必须先估计模型参数 r 或或 r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二

5、乘法作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4专家估计专家估计阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )r=0.2557, xm=392.1模型检验模型检验用模型计算用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较/ )1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx实际为实际为281.4 (百万百万)5 .274)2000(x模型应用模型应用预报美国预报美国

6、2010年的人口年的人口加入加入2000年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重新估计模型参数Logistic 模型在经济领域中的应用模型在经济领域中的应用( (如耐用消费品的售量如耐用消费品的售量) )阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0(实际308.7）最小二乘拟合问题：给定 拟合一个函数 y=f(x,t)，其中x为待定的参数向量 niytii,.2 , 1,记误差Tniiirrrrtxfyr),(),(21确定x的方法： 求x使得误差平方和 2),(iiTtxfyrr最小MATLAB最小二乘拟合 命

7、令命令 lsqcurvefit 基本用法基本用法x,resnorm，res=lsqcurvefit(f,x0,t,y,lb,ub)输入：f =f(x,t) x0=参数初值 t=自变量向量 y=函数值向量lb ub =参数的上下界输出 x=参数估计值 resnom=(误差平方和）误差平方和） res= r(误差向量) 例子已知美国人口数据如下（单位（单位百万）百万） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4用指数增长模型作人口预报用指数增长模型作人口预报估计模型参数估计模型参数 r的的MAT

8、LAB方法方法1.建立建立M文件文件 myexp.m function f=myexp(x,t) f=x(1)*exp(x(2)*t); 2.建立M文件myexpexec.mt=0:21y=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4x0=4,0.3; x,norm,res=lsqcurvefit(myexp,x0,t,y) 3. 利用MATLAB作图,比较结果 plot(t,y,+); hold on; y1=

9、myexp(x,t); % 理论数据 plot(t,y1,*); 指数模型结果 如果用LOGISTIC 模型作拟合，步骤相同 1.建立m文件 mylogistic.mfunction f=mylogistic(x,t) f=x(1)/(1+(x(1)/3.9-1)*exp(-x(2)*t);2. 和前面相同，只要将 myexp 换为mylogisticLOGSTIC模型结果两个模型结果比较线性化后再参数估计对指数模型归的估计可以采用线性回对取对数后rxrtxyexyrt,lnlnln,000MATLAB线性回归命令 b = regress(y,X) 返回回归系数向量b, 线性模型 y = Xb

10、, X 是 np 矩阵, y 是观察值向量使用线性回归的M文件 t=0:21 y=3.9,5.3,7.2,9.6, ,251.4,281.4; logy=log(y); logy=logy; X=ones(22,1) t; b=regress(logy,X); x(1)=exp(b(1);x(2)=b(2); y1=myexp(x,t); plot(t,y,+,t,y1,*);结果 对logistic 模型 计算注意左边可用数值微分的估计是线性的，这样对其中改写为将srxrssxrxdtdxxxrxdtdxmm,)1 (MATLAB M文件 y=3.9,5.3,7.2,251.4,281.4; dy=diff(y);