华东师大版九年级数学上全册教案

1、精品文档221.二次根式（ 1）教学内容：二次根式的概念及其运用教学目标： 1、理解二次根式的概念，并利用a （a 0）的意义解答具体题目2 、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题教学重难点关键： 1重点：形如a （ a 0）的式子叫做二次根式的概念；2难点与关键：利用“a （ a 0）”解决具体问题教学过程：一、回顾当 a 是正数时，a 表示 a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根当 a 是零时，a 等于 0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根当 a 是负数时，a 没有意义二、概括：a （ a0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （ a0）是一个非负数，它的平方等于

2、 a即有：（ 1）a 0（ a 0）；（ 2） (a) 2 =a（ a0）形如a （ a 0）的式子叫做二次根式注意： 在二次根式a 中，字母 a 必须满足 a 0，即被开方数必须是非负数三、例题讲解例题：x 是怎样的实数时，二次根式x1 有意义？分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数解：被开方数x-1 0，即 x 1所以，当x 1 时，二次根式x1 有意义思考：a 2 等于什么？我们不妨取a 的一些值，如2， -2 ， 3，-3 ，分别计算对应的a2 的值，看看有什么规律：概括 :当 a0 时，a 2a ；当 a 0 时，a 2a 这是二次根式的又一重要性质如果二次根式的被开方

3、数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的例如：4x 2(2 x)2=2x（ x 0）；x4(x 2 ) 2x 2 四、练习 :x取什么实数时，下列各式有意义.（1） 34x ； （ 2） 3x2 ； （ 3） (x 3) 2； （4）3x 44 3x五、 拓展例：当 x 是多少时，2x3 + 1在实数范围内有意义？x1。1 欢迎下载精品文档分析：要使2x3 +1在实数范围内有意义，必须同时满足2x3 中的 0 和1中的 x+1 0x1x1解：依题意，得2x30x10由得： x - 32由得： x -1当 x -3 且 x -1 时，2x3 + 1在实数范围内有意

4、义2x1例： (1)已知 y=2x +x2 +5，求 x 的值 ( 答案 :2)y(2)若 a1 +b1 =0，求 a2004+b2004 的值 ( 答案 : 2 )5六、 归纳小结 （学生活动，老师点评）本节课要掌握：1形如a （ a 0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号2 要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数七、布置作业：教材P4： 1、 2八、 反思及感想：22.1二次根式（ 2）教学内容 ： 1a （ a 0）是一个非负数；2 （a ） 2=a（ a 0）教学目标： 1、理解a （ a 0）是非负数和（a ） 2=a（ a0），并利用它们进行计算和化简。2 欢迎

5、下载精品文档2、 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a （ a 0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a ） 2=a（ a0）；最后运用结论严谨解题教学重难点关键：1重点：a （ a 0）是一个非负数； （a ） 2=a（a 0）及其运用2难点、关键：用分类思想的方法导出a （a 0）是一个非负数；?用探究的方法导出（a ）2=a（ a 0）教学过程：一、复习引入 （学生活动）口答1 什么叫二次根式？2 当 a0 时， a 叫什么？当 a<0 时， a 有意义吗？二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）a （ a 0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论

6、和上面的练习，我们可以得出a （a 0）是一个非负数做一做：根据算术平方根的意义填空：（4 ） 2=_；（ 2 ） 2=_；（9 ） 2=_；（3 ） 2=_；（1 ） 2=_；（7 ） 2=_；（0 ） 2=_32老师点评：、4 是 4 的算术平方根，根据算术平方根的意义，、4 是一个平方等于4 的非负数，因此有（4 ）2=4同理可得：（2 ）2 =2，（9 ） 2=9，（3 ） 2=3，（1 ）2=1 ，（7 ）2=7 ，（0 ）2=0， 所以 ：（a ）2 = a3322（a 0 ）三、例题讲解例 1计算： 1（3 ）2， 2（ 35 ） 2， 3（5 ） 2，4 （7 ） 2262分析

7、：我们可以直接利用（2a ） =a（ a 0）的结论解题解：1. （3） 2 =3 ，2.（ 35 ）2 =3 2·（5 ） 2=32· 5=45，223. （5）25，4.（72 (7) 276=2） =6224。3 欢迎下载精品文档四、巩固练习计算下列各式的值：（ 18）2（2 ） 2（9 ） 2（ 0）2（ 47 ）2(3 5) 2(5 3)2348五、应用拓展例2计算1（ x 1 ）2（ x 0），2（ a2 ） 2 ， 3（ a22a 1 ） 2 ，4（ 4x2 12 x9） 2分析：（ 1）因为 x0，所以 x+1>0；（ 2） a2 0；（ 3） a2+

8、2a+1=（a+1） 0；22x）222（ 4） 4x -12x+9= （-2· 2x· 3+3 =（2x-3 ） 0所以上面的4 题都可以运用（a ） 2=a（ a0）的重要结论解题解：（ 1）因为 x 0，所以 x+1>0, （x 1 ） 2=x+1（2） a20，（a2）2=a2222（ 3） a +2a+1=（ a+1）,又（ a+1） 0，2，a22a2 a +2a+1 01 =a +2a+12222又（ 2x-32（4） 4x -12x+9= （2x ） -2 · 2x· 3+3 =（2x-3 ） ,） 0 4x2-12x+9 0，（4

9、x212x9 ）2=4x2 -12x+9例 3 在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3（ 2） x4-4(3) 2x2-3六、归纳小结 ：本节课应掌握：1 a （a 0）是一个非负数；2（a ） 2=a（ a0） ; 反之 :a= （a ） 2（ a0）七、布置作业 ：教材 P4： 3、 4八、 反思及感想：22.1二次根式（ 3）教学内容a2 a（ a 0）教学目标： 1、理解a2 =a（ a 0）并利用它进行计算和化简2、 通过具体数据的解答，探究a2 =a（ a0），并利用这个结论解决具体问题教学重难点关键：1重点：a2 a（a 0）2 难点：探究结论3关键：讲清a 0 时，a2 a

10、才成立教学过程：一、复习引入： （老师口述并板收上两节课的重要内容）。4 欢迎下载精品文档1 形如 a （ a 0）的式子叫做二次根式；2 a （a 0）是一个非负数；3 ( a ) 2a（ a 0）那么，我们猜想当a 0 时， a2=a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题二、探究新知： （学生活动）填空：22；2；12=_；0.01=_()=_10(2)2=_； 02=_ ；(3)2=_37（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：22=0.011)2= 1；(22=2；02=03)2= 3 2=20.01；()(；101033；77因此，一般地：a2 =a（a0）三、例题讲解：

11、例 1 化简：（1） 9 （2） ( 4)2 （3） 25 （4） ( 3)2 分析：因为（ 1） 9=-3 2，（ 2）（-4 ） 2=42，（ 3） 25=52，（ 4）（ -3 ） 2=32，所以都可运用a2 =a（ a 0） ?去化简解：（ 1）9= 32 =3 （2） ( 4)2 = 42=4（ 3）25= 52=5 （4） ( 3)2 = 32 =3四、巩固练习： （见小黑板）五、应用拓展例 2填空：当a 0 时， a2 =_ ；当 a<0 时， a2=_， ?并根据这一性质回答下列问题（ 1）若a2 =a，则 a 可以是什么数？（2）若a2 =-a ，则 a 可以是什么数？

12、（3） a2>a，则 a 可以是什么数？分析：a2=a（ a 0），要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a 0 时， a2 =( a)2，那么 -a 0（1）根据结论求条件； （ 2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（ 3）根据（ 1）、（ 2）可知a2 = a，而 a要大于 a，只有什么时候才能保证呢？a<0。5 欢迎下载精品文档解：（ 1）因为a2 =a，所以 a 0；（ 2）因为a2 =-a ，所以 a 0；（ 3）因为当 a 0 时a2 =a，要使a2 >a，即使 a>a 所以 a 不存在； 当 a<

13、0 时，a2 =-a ，要使a2 >a，即使 -a>a ，a<0 综上， a<0例 3 当 x>2，化简(x2)2 -(12x) 2 六、归纳小结：本课掌握：a2 =a（ a0）及运用，同时理解当a<0 时，a2 a 的应用拓展七、布置作业 :1 先化简再求值：当a=9 时，求 a+12aa2 的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+(1a)2 =a+（ 1-a ） =1； 乙的解答为：原式=a+(1a)2 =a+（a-1 ） =2a-1=17 两种解答中， _的解答是错误的，错误的原因是_ 2若 1995-a +a2000 =a，求 a-1995

14、2 的值（提示：注意根式有意义的隐含条件）3.若 -3 x 2 时，试化简x-2 +( x3)2 +x210x25 。八、 反思及感想：22 2二次根式的乘除（1）教学内容：a ·b ab （ a 0， b 0），反之ab =a ·b （ a 0， b 0）及其运用教学目标： 1、理解a ·b ab （ a 0， b 0），ab =a ·b （ a 0， b 0），并利用它们进行计算和化简2、由具体数据，发现规律，导出a ·b ab （ a 0，b 0）并运用它进行计算；?利用逆向思维，得出 ab = a · b （ a 0， b 0

15、）并运用它进行解题和化简教学重难点关键1、重点：a ·b ab （ a 0， b 0），ab =a ·b （ a 0，b 0）及它们的运用2、难点：发现规律，导出a ·b ab （a 0， b 0）3、关键：要讲清ab （ a<0,b<0 ） =ab ，如( 2)( 3) =( 2)( 3)或(2)(3)=23=2×3。6 欢迎下载精品文档教学过程：一、设疑自探解疑合探自探 . （学生活动）请同学们完成下列各题1填空：（ 1） 4 ×9 =_，4 9 =_；（ 2） 16 ×25 =_ ， 1625 =_（3） 100 &

16、#215;36 =_， 10036 =_参考上面的结果，用“>、 <或”填空4 ×9 _ 4 9 ， 16×25 _16 25 ， 100 × 36 _100 362利用计算器计算填空（1）2 ×3 _6 ，（2）2 ×5 _10 ，（3）5 ×6 _30 ，（ 4）4 ×5 _20 ，（5）7 × 10 _ 70 （学生活动）让3、 4 个同学上台总结规律老师点评：（ 1）被开方数都是正数； （ 2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式， ?并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开

17、方数一般地，对二次根式的乘法规定为a · b ab （ a 0，b 0）反过来 :ab =a ·b （ a 0， b 0）合探 1.计算：（ 1） 5 ×7，（2） 1× 9， （3）9× 27，（4） 1× 632分析：直接利用a ·b ab （ a 0， b0）计算即可合探 2化简（ 1）916，（ 2） 16 81 ，（ 3）81 100，（ 4）9x2 y2 ，（ 5）54分析：利用ab =a ·b （ a 0， b 0）直接化简即可二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应

18、用拓展：判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）(4)(9)49（2）412 × 25 =4×12 ×25=4 12 × 25=4 12=8 3252525四、巩固练习（1）计算（生练，师评）16(2)化简:20 ;18;24五、归纳小结（师生共同归纳）× 8 3 6 × 2 10 5a ·1 ay5;54;12a2b2本节课掌握：（ 1）a ·b ab =（ a 0， b0），ab =a ·b （ a 0， b 0）及运用。7 欢迎下载精品文档六、作业设计（写在小黑板上）（一）、选择题1直角三角

19、形两条直角边的长分别为15 cm和 12 cm， ?那么此直角三角形斜边长是（）A 3 2 cmB 33 cmC 9cmD27cm2化简 a1的结果是（） AaBaC -aD -aa3 等式 x1x1x21 成立的条件是（）A x 1 B x -1 C -1 x1 D x 1 或 x -14 下列各等式成立的是（）A4 5 ×25 =85 ；B53×4 2 =205；C4 3×3 2=75；D53× 42=20 6（二）、填空题：1 1014 =_2 自由落体的公式为S= 1 gt 2（g 为重力加速度，它的值为10m/s 2），若物体下落的高度为720

20、m，则下落的时间是2_（三）、综合提高题探究过程：观察下列各式及其验证过程（1） 22=2233验证： 22=22×2=222 =23(232)233333= 2 32212(2 21)2=222 212 22 212 213（2） 33 =3388验证： 33=32 ×3=3 3=3 3338883 21= 3(321 )33(3 21)3=333 213 213 218同理可得： 44445555，15152424通过上述探究你能猜测出：aa 2a=_（ a>0） , 并验证你的结论1七、 反思及感想：。8 欢迎下载精品文档222 二次根式的乘除（2）教学内容：

21、a=a（ a 0， b>0），反过来a=a（ a0， b>0）及利用它们进行计算和化简bbbb教学目标 ;1 、理解a =a（ a0， b>0）和a =a（ a0， b>0）及利用它们进行运算bbbb2 、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简教学重难点关键1 重点：理解a =a（ a 0， b>0），a =a（ a0， b>0）及用它们进行计算和化简bbbb2难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定教学过程 ;一、设疑自探解疑合探自探 . （学生活动）请同学们完成下列各题：1填空（ 1

22、）9=_，9 =_ ；（ 2）16=_，16=_；16163636（ 3）4=_，4=_；（ 4）36=_，36=_ 16168181规律：9_9 ；16_16 ；4 _4 ；36_36 16163636161681812 利用计算器计算填空:（ 1）3 =_， （ 2）2 =_， （3）2 =_， （ 4）7 =_ 4358规律：3_ 3；2 _2 ；2 _2 ；7 _7。44335588每组推荐一名学生上台阐述运算结果 （老师点评），根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定：。9 欢迎下载精品文档一般地，对二次根式的除法规定：a =a （ a0， b>0）， 反过来a

23、=a （ a 0， b>0）bbbb下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目合探 1计算：（ 1） 1231（ 3）11（ 4）64（2）8416328分析：上面4 小题利用a =a （ a 0，b>0）便可直接得出答案bb合探 2化简：（ 1）3（ 2）64b2（ 3）9x（4）5x649a264y2169y 2分析：直接利用a =a （ a 0， b>0）就可以达到化简之目的bb二、应用拓展已知 9x9x，且 x 为偶数，求（ 1+x） x 2x 25 x 4的值x6x61分析：式子a =a ，只有 a 0， b>0 时才能成立bb因此得到9-x 0 且 x-6&g

24、t;0 ，即 6<x 9，又因为x 为偶数，所以x=8三、归纳小结（师生共同归纳）本节课要掌握a =a（ a0， b>0）和a=a（ a0， b>0）及其运用bbbb四、作业：（写在小黑板上）( 一) 、选择题 :1计算1 12 11 2的结果是（）335A 25；B2；C2； D 27772阅读下列运算过程：133， 2252 5数学上将这种把分母的根号去掉的过程33335555称作“分母有理化” ，那么，化简2 的结果是（）6A 2B 6C 16D63( 二 ) 、填空题 1 分母有理化 :(1)1=_;(2)1=_;(3)10 =_.3212252已知 x=3， y=4

25、， z=5，那么yzxy 的最后结果是 _( 三 ) 、综合提高题计算。10 欢迎下载精品文档（1）nn·（ -1n3）÷n（ m>0， n>0）m2m3mm32m3（2） -33m2 3n2÷（ 3mn ）×a2（ a>0）2a22a2mn五、 反思及感想：22.2二次根式的乘除(3)教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算教学目标： 1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式2 、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次

26、根式的要求重难点关键： 1重点：最简二次根式的运用2 难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式教学过程一、设疑自探解疑合探自探 1. （学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）计算（ 1）3 ，（2） 32，（ 3）85272 a老师点评：3=15， 32=6，8= 2 a552732 aa自探 2.观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1被开方数不含分母；2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式合探 1.把下面的二次根式化为最简二次根式：(1)35 ;(2)x2 y4x4 y2

27、; (3)8x2 y312合探 2如图，在 Rt ABC中， C=90°， AC=2.5cm， BC=6cm，A求 AB的长AB=2.5262= (5)23616916913=6.5 （ cm）B2442C因此 AB 的长为 6.5cm 二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：1=1( 21)21=2 -1，2 121)(21)21(。11 欢迎下载精品文档1=(1 ( 32)32= 3- 2，3232)(32)32同理可得：1=4 -3 ，43从计算结果中找出规律，并利用这一

28、规律计算（ 1+1+1+1）（2002 +1）的值21324320022001分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用五、作业设计（写在小黑板上）（一）、选择题1如果x（ y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）yAx （y>0） B xy （ y>0） C xyyy（ y>0） D 以上都不对2把（ a-1 ）1中根号外的（ a-1 ）移入根号内得（）a1A a 1 B 1 aC - a 1D - 1 a3在下列各式中，化简正确的是（）A5=

29、315B12C 4b2b D 32x 11 =±a=ax x =x3224化简3 2的结果是（）A -2 ；B-2； C-6； D-227333（二）、填空题1化简x4x2 y2 =_（ x0）2 aa1 化简二次根式号后的结果是_a 2（三）、综合提高题1已知 a 为实数，化简：a3-a答过程：解：a3 -a 1 =aa -a · 1aa2若 x、 y 为实数，且 y=24xx六、 反思及感想：1 ，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，?请写出正确的解aa =（ a-1 ）a2x y x y 的值4 x1 ，求2。12 欢迎下载精品文档22.3二次根式的加减(1

30、)教学内容：二次根式的加减教学目标：理解和掌握二次根式加减的方法重难点关键： 1重点：二次根式化简为最简根式2难点关键：会判定是否是最简二次根式教学过程：一、设疑自探解疑合探自探（学生活动） ：计算下列各式（1）22+32；（2）28-38+58；（3）7+27+397；（4）33-23+2因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如22 与8 表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的（板书） 3 2 + 8=3 2+2 2=52 和3 3+ 27=3 3+3 3=6 3所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式进行合并合探 1计算：（ 1） 8

31、+ 18（ 2） 16x + 64x分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并合探 2计算（1） 3 48 -91 +312（2）（ 48 +20 ）+（12 -5 ）3二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展已知 4x 2+y2-4x-6y+10=0，求（ 2x9 x +y2x ） - （x21 -5xy ）的值3y 3xx分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1 ） 2+（ y-3 ） 2=0，即 x= 1 ， y=3其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再

32、合并同类二次根式，最2后代入求值四、归纳小结（师生共同归纳） ：本节课应掌握：（ 1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（ 2）相同的最简二次根式进行合并五、作业设计（写在小黑板上）（一）、选择题1以下二次根式：12；22； 2； 27中，与3 是同类二次根式的是（）3A和 B和C和D和2下列各式： 33 +3=63；17 =1；2+ 6 =8 =22； 24 =22 ，其中错误的有 （）A37313。欢迎下载精品文档个B2个C1个D0个（二）、填空题1在8 、 175 a、 29 a 、125、 23 a 3、 30.2、-2 1中，与 3a是同类二次根式的有 _33a82计算二次根式 5 a -3b -7a +9b 的最后结果是 _（三）、综合提高题1已知5 2.236 ，求（80 -14） - （3 1+ 445）的值（结果精确到0.01 ）5552 先化简，再求值（6x