高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第6课时对数与对数函数教案

1、对数与对数函数1.对数的概念如果a(a>0，a1)的b次幂等于N，即abN，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaNb，其中_a_叫作对数的底数，_N_叫作真数.2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a1，M>0，N>0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)；logamMnlogaM(m，nR，且m0).(2)对数的性质alogaN_N_；logaaN_N_(a>0且a1).(3)对数的重要公式换底公式：logbN (a，b均大于零且不等于1)；logab，推广logab&

2、#183;logbc·logcdlogad.3.对数函数的图像与性质a>10<a<1图像性质(1)定义域：(0，)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x1时，y0(4)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0当0<x<1时，y>04.反函数指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图像关于直线_yx_对称.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)若MN>0，则loga(MN)logaMlogaN.(×)(2)loga

3、x·logayloga(xy).(×)(3)函数ylog2x及ylog3x都是对数函数.(×)(4)对数函数ylogax(a>0，且a1)在(0，)上是增函数.(×)(5)函数yln与yln(1x)ln(1x)的定义域相同.()(6)对数函数ylogax(a>0且a1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图像只在第一、四象限.()1.(2015·湖南)设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是()A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数

4、，且在(0,1)上是减函数答案A解析易知函数定义域为(1，1)，f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)lnln，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数，故选A.2.设alog，blog，clog3，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.b<c<a答案B解析aloglog32，bloglog3，clog3.log3x是定义域上的增函数，2>>，c<b<a，故选B.3.函数f(x)lg(|x|1)的大致图像是()答案B解析由函数f

5、(x)lg(|x|1)的定义域为(，1)(1，)，值域为R.又当x>1时，函数单调递增，所以只有选项B正确.4.已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm24，logym40，logxyzm12，则logzm的值为()A. B.60C. D.答案B解析由已知得logm(xyz)logmxlogmylogmz，而logmx，logmy，故logmzlogmxlogmy，即logzm60.5.(教材改编)若loga<1(a>0，且a1)，则实数a的取值范围是_.答案(1，)解析当0<a<1时，loga<logaa1，0<a<；当a&g

6、t;1时，loga<logaa1，a>1.实数a的取值范围是(1，).题型一对数式的运算例1(1)设2a5bm，且2，则m等于()A. B.10C.20 D.100(2)lglg的值是_.答案(1)A(2)1解析(1)2a5bm，alog2m，blog5m，logm2logm5logm102.m.(2)原式lglg 101.思维升华在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算.(1)计算：_.(2)已知loga2m，loga3n，则a2mn_.答案(1)1(2)12解析(1)原式1.(

7、2)loga2m，loga3n，am2，an3，a2mn(am)2·an22×312.题型二对数函数的图像及应用例2(1)函数y2log4(1x)的图像大致是()(2)当0<x时，4x<logax，则a的取值范围是()A. B.C.(1，) D.(，2)答案(1)C(2)B解析(1)函数y2log4(1x)的定义域为(，1)，排除A、B；又函数y2log4(1x)在定义域内单调递减，排除D.选C.(2)方法一构造函数f(x)4x和g(x)logax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在上的图像，可知f<g，即2<lo

8、ga，则a>，所以a的取值范围为.方法二0<x，1<4x2，logax>4x>1，0<a<1，排除选项C，D；取a，x，则有42，log1，显然4x<logax不成立，排除选项A.思维升华应用对数型函数的图像可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解.(1)已知lg alg b0，则函数f(x)ax与函数g(x)logbx的图像可能是()(2)已知函数f(x)若a，b，c互不

9、相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是()A.(1,10) B.(5,6)C.(10,12) D.(20,24)答案(1)B(2)C解析(1)lg alg b0，ab1，g(x)logbx的定义域是(0，)，故排除A.若a>1，则0<b<1，此时f(x)ax是增函数，g(x)logbx是增函数.故选B.(2)方法一不妨设a<b<c，取特例，如取f(a)f(b)f(c)，则易得a，b，c11，从而abc11，故选C.方法二作出f(x)的大致图像(图略).由图像知，要使f(a)f(b)f(c)，不妨设a<b<c，则lg alg bc6，lg

10、 alg b0，ab1，abcc.由图知10<c<12，abc(10,12).题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数值的大小例3设alog36，blog510，clog714，则()A.c>b>a B.b>c>aC.a>c>b D.a>b>c答案D解析由对数运算法则得alog361log32，b1log52，c1log72，由对数函数图像得log32>log52>log72，所以a>b>c，故选D.命题点2解对数不等式例4若loga(a21)<loga2a<0，则a的取值范围是()A.(0,1)

11、 B.(0，)C.(，1) D.(0,1)(1，)答案C解析由题意得a>0，故必有a21>2a，又loga(a21)<loga2a<0，所以0<a<1，同时2a>1，所以a>.综上，a(，1).命题点3和对数函数有关的复合函数例5已知函数f(x)loga(3ax).(1)当x0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.解(1)a>0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，x0,2时，t(x)

12、的最小值为32a，当x0,2时，f(x)恒有意义，即x0,2时，3ax>0恒成立.32a>0.a<.又a>0且a1，a(0,1).(2)t(x)3ax，a>0，函数t(x)为减函数.f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat为增函数，a>1，x1,2时，t(x)最小值为32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，即故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1.思维升华在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须

13、为正的限制条件.(1)设alog32，blog52，clog23，则()A.a>c>b B.b>c>aC.c>b>a D.c>a>b(2)若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，则a的取值范围为()A.1,2) B.1,2C.1，) D.2，)(3)设函数f(x)若f(a)>f(a)，则实数a的取值范围是()A.(1,0)(0,1) B.(，1)(1，)C.(1,0)(1，) D.(，1)(0,1)答案(1)D(2)A(3)C解析(1)<2<3,1<2<，3>2，log3<log32<l

14、og33，log51<log52<log5，log23>log22，<a<1,0<b<，c>1，c>a>b.(2)令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在(，1上递减，则有即解得1a<2，即a1,2)，故选A.(3)由题意可得或解得a>1或1<a<0.2.比较指数式、对数式的大小典例(1)设a0.50.5，b0.30.5，clog0.30.2，则a，b，c的大小关系是()A.c<b<a B.a<b<cC.b<a<c D.a<c<b(

15、2)设alog2，blog，c2，则()A.a>b>c B.b>a>cC.a>c>b D.c>b>a(3)已知a，b，c，则()A.a>b>c B.b>a>cC.a>c>b D.c>a>b思维点拨(1)可根据幂函数yx0.5的单调性或比商法确定a，b的大小关系，然后利用中间值比较a，c大小.(2)a，b均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c比较.(3)化为同底的指数式.解析(1)根据幂函数yx0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.51，即b<a<1；根据对

16、数函数ylog0.3x的单调性，可得log0.30.2>log0.30.31，即c>1.所以b<a<c.(2)alog2>log221，bloglog2<log210,0<c<1，b<c<a.(3)方法一在同一坐标系中分别作出函数ylog2x，ylog3x，ylog4x的图像，如图所示.由图像知：log23.4>log3>log43.6.方法二log3>log331，且<3.4，log3<log33.4<log23.4.log43.6<log441，log3>1，log43.6<l

17、og3.log23.4>log3>log43.6.由于y5x为增函数，.即，故a>c>b.答案(1)C(2)C(3)C温馨提醒(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.方法与技巧1.对数值取正、负值的规律当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时，logab>0；当a>1且0<b<1或0<

18、a<1且b>1时，logab<0.2.对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为(0，).对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过比较图像与直线y1交点的横坐标进行判定.失误与防范1.在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N，且为偶数).2.解决与对数函数有关的问题时需

19、注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.A组专项基础训练(时间：40分钟)1.若函数ylogax(a>0，且a1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是()答案B解析由题图可知ylogax的图像过点(3,1)，loga31，即a3.A项，y3x()x在R上为减函数，错误；B项，yx3符合；C项，y(x)3x3在R上为减函数，错误；D项，ylog3(x)在(，0)上为减函数，错误.2.函数yln 的图像为()答案A解析易知2x30，即x，排除C、D.当x>时，函数为减函数，当x<时，函数为增函数，所以选A.3.已知b>0，log5ba，lg

20、bc,5d10，则下列等式一定成立的是()A.dac B.acdC.cad D.dac答案B解析log5ba，lg bc，两式相除得，log510.5d10，log510d，d，cda.故选B.4.设f(x)lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是()A.(1,0) B.(0,1)C.(，0) D.(，0)(1，)答案A解析由f(x)是奇函数可得a1，f(x)lg，定义域为(1,1).由f(x)<0，可得0<<1，1<x<0.5.定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，f(x2)f(x2)，且x(1,0)时，f(x)2x，则f(log220)等于

21、()A.1 B.C.1 D.答案C解析由f(x2)f(x2)，得f(x)f(x4)，因为4log2205，所以f(log220)f(log2204)f(4log220)f(log2)1.6.(2015·安徽)lg2lg 21_.答案1解析lg 2lg 21lg lg 222lg2121.7.已知函数f(x)则f(log23)的值为_.答案解析由题意知f(log23)f(1log23)f(log26).8.(2015·福建)若函数f(x)(a0，且a1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是_.答案(1,2解析由题意f(x)的图像如下图，则1a2.9.已知函数ylog(x2ax

22、a)在区间(，)上是增函数，求a的取值范围.解函数ylog(x2axa)是由函数ylogt和tx2axa复合而成.因为函数ylogt在区间(0，)上单调递减，而函数tx2axa在区间(，)上单调递减，又因为函数ylog(x2axa)在区间(，)上是增函数，所以解得即2a2(1).10.设f(x)loga(1x)loga(3x)(a>0，a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间0，上的最大值.解(1)f(1)2，loga42(a>0，a1)，a2.由得x(1,3)，函数f(x)的定义域为(1,3).(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24，当x(1,1时，f(x)是增函数；当x(1,3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在0，上的最大值是f(1)log242.B组专项能力提升(时间：20分钟)11.(2015·陕西)设f(x)ln x,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()A.qrp B.pr<qC.qr>p D.prq答案B解析0ab，又f(x)ln x在(0，