《新编高等数学》教学教案08常微分方程

1、教案首页课 程高等数学任课教师授课序数授课班级授课时间授课时数授课地点教室累计课时课题8.1常微分方程的基本概念和8.2一阶微分方程授课方式讲 授多媒体操作演示学生操作分组讨论实作演练教 学 目 标能力 目标会对一阶微分方程进行求解知识 目标理解常微分方程的概念,了解可分离变量的微分方程，掌握 一阶线性微分方程的概念。素质 目标培养学生分析问题、解决问题的能力重点难点 与解决方法一阶线性微分方程笏巧教材新编高等数学教学准备教具、设备课件课后作业 或拓展练习习题8.1和习题8.2巩固 新课 要点单元小结 与改进措施教研室主任审阅任课教师黄涛年月日年月日教 学 设 计教学环节、教学内容与教学过程设

2、计教学 方法时间 分配§ 8.1常微分方程的基本概念例8-1(见教材P160)定义8.1 焊有未知函数导数或微分的方程称为微分方程.未知函数是翼缘函数的微分方程称为常微分方程，简称为微分方程或方程；未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.定义8.2 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数或微 分的阶数称为微分方程的阶.定义8.3 满足微分方程的函数称为微分方程的解；求微分 方程解的过程叫作解微分方程；如果微分方程的解中所含独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称该解为微分方程的通解(或一般解)；不含任意常数的解称为微分方程的特解定义8.4 确定通解中任意常数的条件称为初始条件

3、.求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.定义8.5 微分方程的解对应的图形称为积分曲线，通解通 常表示一族积分曲线，特解只是其中某一条曲线8.2 一阶微分方程1 .可分离变量的微分方程在一阶方程中，如果可以将含有未知函数y的式子及dy与含有自变量x的式子及dx分开至方程两边，然后就可以分别对 y 和x积分求解.形如/f(x)g(y), g(y)0(8-1)的方程称为可分离变量的微分方程.对于式(8-1),可以将关于 y和x的式子分开，得-dy-f(x)dxg(y)两边积分得dy 若f(x)dxCg(y)例8-5(见教材 P163)例8-6(见教材 P163)2 .齐次方程形如dyf(y

4、)dxx的微分方程称为齐次方程.例8-7(见教材P164)3 .一阶线性微分方程形如yP(x)yQx)的方程称升-阶线性微分方程，其中p( x)和Q x )是已知连续函数.当Qx)。时，有yp(x)y 0(8-2)此时，该方程称为(一阶)齐次线性微分方程.若Q(x)不恒等于零，则成为(一阶)非齐次线性微分方程.对于式(8-2),可分离艾量为1 ,，、,dyp(x)dxy解得ln yp( x)dxG因此Gp(x)dxye - e于是式(8-2)的通解为p( x)dx yce其中，CeC1为任意常数.例8-9(见教材P166)教案首页课 程高等数学任课教师授课序数授课班级授课时间授课时数授课地点教

5、室累计课时课题8.3可降阶的高阶微分方程授课方式讲 授多媒体操作演示学生操作分组讨论实作演练教 学 目 标能力 目标能对高阶微分方程降阶知识 目标理解可降阶的微分方程的概念素质 目标培养学生分析问题、解决问题的能力重点难点 与解决方法yf(x)型微分方程yf(x, y)型微分方程yf(y, y)型微分方程笏巧教材新编高等数学教学准备教具、设备课件课后作业或拓展练习习题8.3巩固 新课 要点单元小结 与改进措施教研室主任审阅任课教师黄涛年月日年月日教 学 设 计教学环节、教学内容与教学过程设计教学 方法时间 分配8.3可降阶的高阶微分方程1 .y(n)f(x)型微分方程这类方程的右端仅含有自变量

6、X,因此，只要连续积分n次便可得到通解，即y(n 1) f(x)dxG,y(n 2) f (x )dxC1 dxC2,其通解中含有n个任意常数.2 .y f (x, y )型微分方程这类方程的特点使不显含未知函数y.求解时只需令 y p( x),则y p (x).代入原方程使其降为一阶方程 p f(x, p).求出该一阶方程的通解，两端再积分，即可得 到原方程的通解.3 .y f(y, y )型微分方程方程y f (y, y )的特点是不显含自变量x.解这类方程可令yp( x),则dPdxdP dy将y和y代入原方程，则原方程化为p dp f(y, p) dy这是一阶微分方程.利用前面的方法可

7、求出它的通解p (y, C),即y (y, G),分离变量后积分，得原方程的通解为(y, Ci)xC2.课件教案首页课 程高等数学任课教师授课序数授课班级授课时间授课时数授课地点教室累计课时课题8.4二阶常系数线性微分方程授课方式讲 授多媒体操作演示学生操作分组讨论实作演练教 学 目 标能力 目标会对二阶常系数线性微分方程进行求解知识 目标理解二阶常系数非齐次线性方程的概念；了解二阶常系数齐次线性微分方程的通解了解二阶常系数非齐次线性微分方程的通解素质 目标培养学生分析问题、解决问题的能力重点难点 与解决方法二阶常系数非齐次线性微分方程的通解笏巧教材新编高等数学教学准备教具、设备课后作业 或拓

8、展练习习题8.4巩固 新课 要点单元小结 与改进措施教研室主任审阅任课教师黄涛年月日年月日教 学 设 计教学环节、教学内容匕教学过程设计教学 方法时间 分配8.4二阶常系数线性微分方程形如ypy qy f （x）（ p, q为常数）的微分方程称为二阶常系数线性微分方程，当f（x）0时，称方程y py qy 0为二阶常系数齐次线性方程，若f （x ）0 ,则称上式为二阶常系数非齐次线性方程.1 .二阶常系数齐次线性微分方程的通解定理8.1 若丫1和丫2是方程y py qy 0的两个解，则其线性组合yC1y 1C2y2仍是方程ypy qy 0的解，其中G, G为任意常数.定理8.2 若y1，y2是方程y py qy 0的两个线，性无关的解，则yC1y 1C2y2就是方程y py qy0的通解，其中 C1, G为任意常数.2我们称一兀二次方程式rpr q0为二阶常系数齐次线性方程ypyqy0的特征方程，特征方程的根称为微分方程ypyqy0的特征根.例8-15 （见教材P171）例8-16 （见教材P171）例8-17 （见教材 P172）2 .二阶常系数非齐次线性微分方程的通解*，、定理8.3 设y（X）是方程y py q