极坐标与参数方程15道典型题(共11页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 极坐标与参数方程极坐标与参数方程 15 道道典型题典型题 1 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系圆1C，直线2C的极坐标方程分别为sin4，22)4cos( （1） 求1C与2C的直角坐标方程，并求出1C与2C的交点坐标； （2）设P为1C的圆心，Q为1C与2C交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为1233tbyatx（t为参数，Rt ） ，求ba,的值 （1）由极直互化公式得： 4)2(:221 yxC 04:2 yxC 4 分 联立方程解得交点坐标为)2 , 2(),4 , 0( 5 分 （2）由（1）知：

2、)2 , 0(P，)3 , 1 (Q 所以直线PQ：02 yx， 化参数方程为普通方程：122abxby， 对比系数得：22112abb ，2, 1ba10 分 2.极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线1C的极坐标方程为32cos2，曲线2C的参数方程为12tymtx， （t是参数，m是常数） （1）求1C的直角坐标方程和2C的普通方程； （2）若2C与1C有两个不同的公共点，求m的取值范围. 解： （1）由极直互化公式得3)sin(cos:2221C，所以322 yx；-2 分 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 消去参数t得2C的方

3、程：122mxy -4 分 （2）由（1）知1C是双曲线，2C是直线，把直线方程代入双曲线方程消去y得： 0444) 12(4322mmxmx，-7 分 若直线和双曲线有两个不同的公共点， 则0)444(12) 12(1622mmm， 解得：21mm或-10 分 3.已知椭圆C:22143xy，直线: l332 3xtyt （t为参数） （I）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程； （II）设1,0，若椭圆C上的点满足到点的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标 解： （）C： x2cos，y 3sin（ 为为参数） ，l：x 3y90 4 分 （）设 P(2cos， 3sin),则|AP

4、|(2cos1)2( 3sin)22cos， P 到直线 l 的距离 d|2cos3sin9|22cos3sin92 由|AP|d 得 3sin4cos5，又 sin2cos21，得 sin 3 5， cos 4 5 故 P( 8 5， 3 3 5) 10 分 4.在极坐标系 Ox 中，直线 C1的极坐标方程为 sin2，M 是 C1上任意一点，点 P 在射线 OM上，且满足|OP| |OM|4，记点 P 的轨迹为 C2 （）求曲线 C2的极坐标方程； （）求曲线 C2上的点到直线 cos( 4) 2的距离的最大值 解： （）设 P(，)，M(1，)，依题意有 1sin2，14 消去 1，得曲

5、线 C2的极坐标方程为 2sin 5分 （）将 C2，C3的极坐标方程化为直角坐标方程，得 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 C2：x2(y1)21，C3：xy2 C2是以点(0，1)为圆心，以 1 为半径的圆，圆心到直线 C3的距离 d3 22， 故曲线 C2上的点到直线 C3距离的最大值为 13 22 10 5.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为)4sin(24。现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为tytx233212（t为参数） 。 （1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）设直线l和曲线C交于BA,两点，定点)3, 2

6、(P，求|PBPA 的值。 【解】 （1）cos4sin4)4sin(24，所以cos4sin42。 所以04422yxyx，即8)2()2(22yx。3 直线l的普通方程为03323 yx。5 （2）把l的参数方程代入04422yxyx得：033)354(2tt。 设BA,对应参数分别为21,tt，则3321t t，点) 3, 2(P显然在l上， 由直线l参数t的几何意义知33|21t tPBPA。01 6在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为 =2sin （）写出C 的直角坐标方程； （）P 为直线

7、 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标 .解： （I）由C 的极坐标方程为 =2sin 2=2，化为 x2+y2=， 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 配方为=3 5 分 （II）设 P，又 C |PC|=2， 因此当 t=0 时，|PC|取得最小值 2此时 P（3，0） 10 分 7.7.在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中，以中，以 O 为极点，为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方的极坐标方程为程为cos(3)1，M、N 分别为分别为 C 与与 x 轴、轴、y 轴的交轴的交点点 （）写出写出C

8、 C的直角坐标方程，并求出的直角坐标方程，并求出M M、N N的极坐标；的极坐标； （）（）设设MNMN的中点为的中点为P P，求直线，求直线OPOP的极坐标方程的极坐标方程 解：解：(1)(1)将极坐标方程将极坐标方程coscos 3 31 1 化为：化为： 1 12 2coscos3 32 2sinsin1.1. 则其直角坐标方程为：则其直角坐标方程为：1 12 2x x3 32 2y y1 1，M M(2,0)(2,0)，N N(0(0，2 23 33 3) )， 其极坐标为， 其极坐标为M M(2,0)(2,0)，N N 2 23 33 3，2 2. . (2)(2)由由(1)(1)知

9、知MNMN的中点的中点P P 1 1，3 33 3. . 直线直线OPOP的直角坐标方程为的直角坐标方程为y y3 33 3x x，化为极方程为：，化为极方程为：sinsin3 33 3coscos. . 化简得化简得 tantan3 33 3，即极坐标方程为，即极坐标方程为6 6. . 8在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C1的极坐标方程为 2=，直线 l 的极坐标方程为 = （）写出曲线 C1与直线 l 的直角坐标方程； （）设 Q 为曲线 C1上一动点，求 Q 点到直线 l 距离的最小值 【解答】 （）以极点为原点，极轴为 x 轴的正

10、半轴建立平面直角坐标系， 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 曲线 C1的极坐标方程为 2=，直线 l 的极坐标方程为 =， 根据 2=x2+y2，x=cos，y=sin， 则 C1的直角坐标方程为 x2+2y2=2，直线 l 的直角坐标方程为 （）设 Q，则点 Q 到直线 l 的距离为 =， 当且仅当，即（kZ）时取等号 Q 点到直线 l 距离的最小值为 9在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数）M 是 C1上的动点，P 点满足=2，P 点的轨迹为曲线 C2 （）求 C2的方程； （）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 =与 C1的异于极点

11、的交点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求|AB| （II）根据（I）将求出曲线 C1的极坐标方程，分别求出射线 =与 C1的交点 A 的极径为 1，以及射线 =与 C2的交点 B 的极径为 2，最后根据|AB|=|21|求出所求 【解答】解： （I）设 P（x，y） ，则由条件知 M（ ， ） 由于 M 点在 C1上， 所以即 从而 C2的参数方程为 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 （ 为参数） （）曲线 C1的极坐标方程为 =4sin，曲线 C2的极坐标方程为 =8sin 射线 =与 C1的交点 A 的极径为 1=4sin， 射线 =与 C2的交点 B 的极径为 2=8

12、sin 所以|AB|=|21|= 10设圆 C 的极坐标方程为 =2，以极点为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴正半轴，两坐标系长度单位一致， 建立平面直角坐标系 过圆 C 上的一点 M （m， s） 作垂直于 x 轴的直线 l： x=m，设 l 与 x 轴交于点 N，向量 （）求动点 Q 的轨迹方程； （）设点 R（1，0） ，求的最小值 【解答】解： （）由已知得 N 是坐标（m，0） ， 设 Q（x，y） ，由，得 ，则， 点 M 在圆 =2 上，即在 m2+s2=4 上， ， Q 是轨迹方程为 ； （）Q 点的参数方程为， 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 则的最小值为 11

13、已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是（t 是参数） ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线 C 的极坐标方程 （）判断直线 l 与曲线 C 的位置关系； （）设 M 为曲线 C 上任意一点，求 x+y 的取值范围 【解答】解： （）由，消去 t 得：y=x+ 由，得，即， ，即 化为标准方程得： 圆心坐标为，半径为 1，圆心到直线 xy+=0 的距离d=1 直线 l 与曲线 C 相离； 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 （）由 M 为曲线 C 上任意一点，可设， 则 x+y=sin+cos=， x+y 的取值范围是 12.已知曲线C的参数方程为s

14、in51cos52yx (为参数)， 以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系. （）求曲线C的极坐标方程； （）若直线的极坐标方程为(sin+cos)=1，求直线被曲线C截得的弦长. 23.(1)曲线C的参数方程为sin51cos52yx ( 为参数) 曲线C的普通方程为22215xy 将sincosyx 代入并化简得：4cos2sin 即曲线 c 的极坐标方程为4cos2sin.5 分 (2)的直角坐标方程为10 xy 圆心C到直线的距离为d=22=2弦长为 225=23 .10 分 13. （15 年福建理科） 在平面直角坐标系xoy中， 圆 C 的参数方程为1 3cos(t

15、)2 3sinxtyt= +=-+为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以x轴非负半轴精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 为极轴）中，直线 l 的方程为 2sin()m,(mR).4prq -=? ()求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程； ()设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值 试题分析：()将圆的参数方程通过移项平方消去参数得()()22129xy-+= ，利用cosx，siny将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；()利用点到直线距离公式求解 试题解析：()消去参数 t，得到圆的普通方程为()()22129x

16、y-+=, 由2sin()m4prq -=，得sincosm0rqrq-=, 所以直线 l 的直角坐标方程为0 xym-=. ()依题意，圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，即 ()|12m|22，- -+=解得2m=-32 14.（15 年新课标 2 理科）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：cossinxtyt（t 为参数，t 0） ，其中 0 ，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：2sin，C3：2 3cos。 （1）求 C2与 C3交点的直角坐标； （2）若 C1与 C2相交于点 A，C1与 C3相交于点 B，求|AB的最大值。 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 15 （15 年陕西理科） 在直角坐标系x y中， 直线l的参数方程为13232xtyt（t为参数） 以原点为极点，x轴正半轴为极轴 建立极坐标系，C的极坐标方程为2 3sin （I）写出C的直角坐标方程； （II）为直线l上一动点，当到圆心C的距离最小时，求的直角坐标 【答案】 （I）2233xy； （II）3,0 【解析】 试题分析