高等数学课件：5-2 微积分基本公式

1、返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三1第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式 第五章第五章 （Fundamental Formula of the Calculus）二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、变速直线运动中一、变速直线运动中 位置函数与速度函数的联系位置函数与速度函数的联系返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三2一、变速直线运动中位置函数与速度函数的联系一、变速直线运动中位置函数与速度函数的联系在变速直线运动中在变速直线运动中, 已知位置函数已知位置函数)(ts与速度函

2、数与速度函数)(tv之间有关系之间有关系:)()(tvts物体在时间间隔物体在时间间隔,21TT内经过的路程为内经过的路程为)()(d)(1221TsTsttvTT这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .)()(的原函数是这里tvts返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三3)(xfy xbaoy)(xxhx二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数, ,)(baCxf则变上限函数xattfxd)()(证证:, ,bahxx则有hxhx)()(1h( )d( )dx hxaaf ttf tt)1(xhxf t d

3、th)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x定理定理1 若.,)(上的一个原函数在是baxf,)(baCxf返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三41) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的连续函数的原函数是存在的.2) 变限积分求导变限积分求导:bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf)()(d)(ddxxttfx)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx说明说明:返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三50limxtextd1cos22x例例1 求00)sin(2cosxex解解

4、:原式0limxx2e21返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三6提示：提示：( )d( )ddaxf ttx ( )(xfx提示：提示：)()(d)(ddxxttfx)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三7 ttf txfxd)()(0,0)(,),0)(xfxf且内连续在设证明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在),0(内为单调递增函数 . 证证:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfx0()(xftf txd)(tx0.)0)(内为单调增函数，（在xF只要证0

5、)( xF 20d)(ttfx()()0(xfx )(xf)0(x例例4返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三8三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba( 牛顿牛顿 - 莱布尼兹公式莱布尼兹公式) 证证: 根据定理 1,)(d)(的一个原函数是xfxxfxa故CxxfxFxad)()(,ax 令, )(aFC 得因此)()(d)(aFxFxxfxa,bx 再令得)()(d)(aFbFxxfba记作记作)(xFab)(xFab定理定理2 函数 , 则返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12

6、月15日星期三9.1d312 xx解解:xxxarctan1d31213) 1arctan(3arctan3127)4(例例5 计算返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三10例例6 计算正弦曲线轴所围成上与在xxy, 0sin的面积 . 解解:0dsinxxAxcos0112yoxxysin返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三11速停车,2sm5a解解: 设开始刹车时刻为,0t则此时刻汽车速度0v)(10sm)(sm3600100036刹车后汽车减速行驶 , 其速度为tavtv0)(t510当汽车停住时,0)(tv即,0510 t得(s)2t故在这

7、段时间内汽车所走的距离为20d)(ttvs20d)510(tt22510tt (m)1002)(36hmk刹车, 问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度车到停车走了多少距离? 例例8 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三123234)(2xxxf解解：例例9 设,d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求).(xf因为定积分为常数 ,d)(10axxf不妨设bxxf20d)(abxxxf2)(2, 则10d)(xxfa33x22bxax20120d)(xxfb33x22bxax202ab2231ab4238,31a34b返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三13内容小结内容小结1. 变限积分求导公式变限积分求导公式