第2章 被控对象

1、第第2章章 控制对象控制对象 在在自动控制系统中，一般指被控制的设备或过程为对象自动控制系统中，一般指被控制的设备或过程为对象，加热器、直流电动机等加热器、直流电动机等。从。从定量分析定量分析和设计角度，和设计角度，控制对象控制对象只是只是被控设备或过程中影响被控设备或过程中影响对象输入对象输入、输出参数的部分因素、输出参数的部分因素，并不是并不是设备的全部设备的全部。在。在简单简单控制系统控制系统中中,工程上也有称被控工程上也有称被控参参数数为对象的为对象的,如流量控制、如流量控制、压力控制压力控制和温度控制等和温度控制等。 控制系统控制系统中，作为广义的控制对象中，作为广义的控制对象，除控

2、制器以外，除控制器以外的的执执行器及行器及测量变送测量变送装置装置都包括在内。作为都包括在内。作为狭义狭义的控制对象，的控制对象，其其端端部参数部参数(输入、输入、输出输出)有被控参数、有被控参数、控制参数控制参数和扰动参数和扰动参数，它们它们通过控制对象通过控制对象的内部的内部状态而相互联系。状态而相互联系。2.1 被控对象的特性被控对象的特性 系统特性指输入与输出之间的关系，一般用单位阶系统特性指输入与输出之间的关系，一般用单位阶跃信号作为输入求系统输出，也即是单位阶跃响应。跃信号作为输入求系统输出，也即是单位阶跃响应。1.2.1 被控对象的类型被控对象的类型（1）有自衡非振荡过程的响应曲

3、线）有自衡非振荡过程的响应曲线 有自衡的液位被控对象有自衡非振荡液位过程响应曲线又如又如RC电路充电过程电路充电过程根据基尔霍夫电压定律：对于集中参数电路中的任何一个回根据基尔霍夫电压定律：对于集中参数电路中的任何一个回路，在任一瞬间，沿回路绕行方向，各支路电压代数和为路，在任一瞬间，沿回路绕行方向，各支路电压代数和为0。即：即：)()()(tutiRtuoi再根据广义欧姆定律，再根据广义欧姆定律，一般将输出量写在方程左边，输入量写在方程右边，则一般将输出量写在方程左边，输入量写在方程右边，则该该RC电路的微分方程为：电路的微分方程为： 带入上式则,)()(,)(1)(dttduCtidtti

4、Ctuoo)()()(tudttduRCtuooi)()()(tutudttduRCioo 求解上述一阶线性微分方程有求解上述一阶线性微分方程有2种方法：直接求解法和变种方法：直接求解法和变换求解法。换求解法。 解法解法1：非齐次线性微分方程的通解等于对应的齐次线：非齐次线性微分方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和。性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和。 解法解法2：利用拉氏变换求解。：利用拉氏变换求解。 对方程左右两端取拉氏变换，得对方程左右两端取拉氏变换，得 在零初始条件下在零初始条件下 )1)()(/RCtioetutu)()()0()(sUsUUssU

5、RCiooostuLtuRCssUsUiiio1)()(11)()(为单位阶跃信号，则)1(1) 1(1)(RCssRCRCsssUo 利用部分分式展开利用部分分式展开 )1()(21RCsCsCsUo1)1(101ssRCssRCC1)1()1(112RCsRCsRCssRCC)1(11)(RCsssUo 对上式左右两边进行拉氏反变换对上式左右两边进行拉氏反变换 令时间常数令时间常数 ，则响应曲线为，则响应曲线为 )1)(1)(/RCtoettu)1)()(/RCtioetutuRCT （2）无自衡非振荡过程的响应曲线）无自衡非振荡过程的响应曲线 当加入输入信号后，经过一定长时间，系统不能进

6、当加入输入信号后，经过一定长时间，系统不能进入新的平衡状态。入新的平衡状态。 无自衡的非振荡液位过程及响应曲线（3）有自衡振荡过程的响应曲线）有自衡振荡过程的响应曲线 一阶一阶RC电路由一种储能元件和一种耗能元件组成，由电路由一种储能元件和一种耗能元件组成，由于储能元件能量的存储和释放需要一个过程，所以当输入信于储能元件能量的存储和释放需要一个过程，所以当输入信号变化时输出信号不能即时随之变化。若电路由两种形式的号变化时输出信号不能即时随之变化。若电路由两种形式的储能元件和一种耗能元件组成，由于储能元件两种能量会相储能元件和一种耗能元件组成，由于储能元件两种能量会相互转换，就会产生振荡。如互转

7、换，就会产生振荡。如RLC电路。电路。 RLC电路)()()()(tututiRtuoLi根据基尔霍夫电压定律，根据基尔霍夫电压定律，又又 ，则，则dttduCtidttdiLtuL)()(,)()(0)()()()()()()(20200tudttudLCdttduRCtudttdiLdttduCRtuooi)()()()(00202tutudttduRCdttudLCi对对RLC电路微分方程两边取拉氏变换得其传递函数为：电路微分方程两边取拉氏变换得其传递函数为：令令 ，则，则将传递函数转换为将传递函数转换为 11)()()(20RCsLCssUsUsGiRCTRLTCL,11)(2sTsT

8、TsGCCL22222111)(nnnCLLCLssTTsTsTTsGLCR21LCn1上式中：上式中： 为振荡环节的自然振荡角频率；为振荡环节的自然振荡角频率； 为振荡环节的阻尼比。为振荡环节的阻尼比。令系统传递函数分母多项式为令系统传递函数分母多项式为0的方程，称为特征方程，其的方程，称为特征方程，其解为特征根。解为特征根。当阻尼比当阻尼比 不同时，特征根有不同的形式，使得其系统响不同时，特征根有不同的形式，使得其系统响应的形式也不同。应的形式也不同。0222nnss122, 1nns1当当 时，特征根为一对不相等负实根时，特征根为一对不相等负实根 ，系统为过阻，系统为过阻尼系统，单位阶跃

9、响应为单调上升曲线。尼系统，单位阶跃响应为单调上升曲线。当当 时，特征根为一对相等负实根时，特征根为一对相等负实根 ，系统为临界阻，系统为临界阻尼系统，尼系统，单位单位阶跃响应为单调上升曲线，但快速性好于阶跃响应为单调上升曲线，但快速性好于过阻尼系统。过阻尼系统。 当当 时，特征根为一对带负实部的共轭复数根时，特征根为一对带负实部的共轭复数根 ，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为衰减振荡曲线。系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为衰减振荡曲线。当当 时，特征根为一对共轭虚根时，特征根为一对共轭虚根 ，系统为无阻尼系，系统为无阻尼系统，单位阶跃响应为等幅振荡曲线。统，单位阶跃响应为等幅振荡曲线。当当 时

10、，特征根在时，特征根在s复平面的右半平面，系统单位阶复平面的右半平面，系统单位阶跃响应是发散曲线。跃响应是发散曲线。 10100对欠阻尼系统（对欠阻尼系统（ ），系统传递函数为），系统传递函数为其特征根为其特征根为则系统在单位阶跃信号输入作用下的输出为则系统在单位阶跃信号输入作用下的输出为 22, 11nnjs2222)(nnnTsssG)(sC22222222)()(1-1,12)()()(dnndnnndnnnssssssssRsGsC令102221arctan)sin(111sin1cos1)(其中阻尼角tetetetcdtdtdtnnn有自衡振荡过程的响应曲线2.2.2 被控对象时域特

11、性被控对象时域特性（1）放大系数放大系数 （稳态特性参数）（稳态特性参数） 0K直接蒸汽加热器及其阶跃响应曲线控制通道放大系数控制通道放大系数 被控对象控制通道的放大系数被控对象控制通道的放大系数 反映了被控对象以初始反映了被控对象以初始工作点为基准的、被控变量与操纵变量在过渡过程结束时的、工作点为基准的、被控变量与操纵变量在过渡过程结束时的、变化量之间的关系。在不同负荷或工作点，变化量之间的关系。在不同负荷或工作点， 不相同。不相同。 放大系数放大系数 的值大，表示它的控制作用显著，但过大，的值大，表示它的控制作用显著，但过大，会使被控量振荡加剧。过小，会使被控量变化迟缓。会使被控量振荡加剧

12、。过小，会使被控量变化迟缓。0KqccqcK)0()()()(00K0K0K0K扰动通道放大系数扰动通道放大系数 在相同的在相同的 作用下，作用下， 越大，被控变量偏离设定值的程越大，被控变量偏离设定值的程度也越大。度也越大。fKfcKf)(fKf（2）时间常数时间常数 （动态特性参数）（动态特性参数） 对于一阶对于一阶RC电路阶跃响应，电路阶跃响应， 。 当当 ；当；当 ； 当当 ；当；当 可见可见 越小，越小， 到达到达 的时间越短。因此时间常的时间越短。因此时间常 数反应了调节过程快慢程度。当数反应了调节过程快慢程度。当 ，可认为过，可认为过 渡过程结束。渡过程结束。 0TiouuRCT

13、t632. 0时，iouut时，)1 (/0Ttieuuouiu632. 0RC电路阶跃响应曲线00out时，TiouuTt)993. 0950. 0()53(时，时Tt)53( 0.632 c(t) 1(t) 0.865 0 T 2T 3T 4T t 斜率 1/T 0.95 0.982 （3）时滞时滞 被控对象在输入信号变化后，输出信号需要隔一段时被控对象在输入信号变化后，输出信号需要隔一段时 间才发生变化，称为间才发生变化，称为 滞后现象。滞后现象。 时滞可能使偏差或超调量增大，振荡加剧。一般时滞可能使偏差或超调量增大，振荡加剧。一般 的被控对象易于控制，而的被控对象易于控制，而 的被的被

14、 控对象需要特殊控制规律。控对象需要特殊控制规律。 3 . 0/00T纯滞后实例及其阶跃响应曲线)6 . 05 . 0(/00T二阶欠阻尼系统的阶跃响应二阶欠阻尼系统的阶跃响应有可能兼顾快速性有可能兼顾快速性与平稳性与平稳性。（1）上升时间）上升时间 tr c(t) 1(t) Mp tr 0 tp ts t c tettt trntdd( )(cossin)1112en rt0cossind rd rtt102tandrt 12)1arctan(2rdttrd（2）峰值时间）峰值时间 tp ddtc tt tp ( ) 0ddtetntdt tpsin()111021102ntpdpetnsi

15、nsindpt 0dptktpdpdt取第一周期取第一周期 k = 1（3）超调量）超调量 Mp c tetptdptpnpd()sin() 1112 111212esin()sin()sin 12c tep() 112%10011)(%100)()()(ppptccctcM%10021eMpMp %1001.00.60.40.200.820406080因为因为（4）调节时间）调节时间 ts 由由指数函数包络线求得。指数函数包络线求得。 由由 由于由于 包络包络线线 c tetntd( )sin()1112maxsin()dt 1c tebtn( ) 1112 t c(t) 1(t) 1112

16、 0 ts 1112 %2,4%5,3nsnstt2.2 被控对象实例被控对象实例 电枢电压控制的他励直流电动机，是控制系统中常用电枢电压控制的他励直流电动机，是控制系统中常用的执行机构或被控对象。当电枢电压的执行机构或被控对象。当电枢电压 ud 发生变化时，其转发生变化时，其转速速 n 及转角及转角 产生相应的变化。产生相应的变化。（1）确定输入量和输出量。）确定输入量和输出量。 取输入量为电动机的电枢电压取输入量为电动机的电枢电压 取输出量为电动机的转速取输出量为电动机的转速直流电动机电枢电路druxnxc（2）列写微分方程式）列写微分方程式 电动机的微分方程式由该装置的电枢回路的微分方程

17、式电动机的微分方程式由该装置的电枢回路的微分方程式和转动部分的微分方程式所决定。和转动部分的微分方程式所决定。ddddddudtdiLiRe电动机电枢回路电流。-电动机电枢回路电感；-电动机电枢回路电阻；-R电动机电枢反电势；ddddiLe求电枢回路的微分方程求电枢回路的微分方程因为反电势与电动机的转速成正比，故因为反电势与电动机的转速成正比，故为电动机电势常数 ， eedCnCedddddeudtdiLiRnC求电动机的机械运动微分方程求电动机的机械运动微分方程dtdnGDM3752电动机的转动惯量。-GD电动机的转矩；2M由于电动机的转矩是电枢电流的函数，当电动机的励磁不变由于电动机的转矩

18、是电枢电流的函数，当电动机的励磁不变时，电动机的转矩为时，电动机的转矩为为电动机转矩常数 ， mdmCiCMedemdemdddCundtdnCCRGDdtndCCRGDRL3573572222（3）联立方程消去中间变量）联立方程消去中间变量数。为电动机的机电时间常357；为电动机电磁时间常数 222emdmdddedmmdCCRGDTRLTCundtdnTdtndTT2.3 被控对象频域分析被控对象频域分析 常用正弦波输入时系统的响应来分析被控对象特性，常用正弦波输入时系统的响应来分析被控对象特性，这种响应不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，这种响应不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态

19、响应，而是考察频率由低到高无数个正弦输入下所对应的每个而是考察频率由低到高无数个正弦输入下所对应的每个输出的稳态响应，因此该响应称为频率响应，是分析和输出的稳态响应，因此该响应称为频率响应，是分析和设计系统的有效工具。设计系统的有效工具。 对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，其稳态响应为一个与输入同频率的正弦信号。其稳态响应为一个与输入同频率的正弦信号。线性系统稳态正弦响应 G(s) sint A()sint+() 2.3.1 频域特性的定义频域特性的定义 对于一般线性定常系统，系统地输入和输出分为为对于一般线性定常系统，系统地输入和输出分为为R

20、(t)和和C(t)，系统地传递函数为，系统地传递函数为G(s)。)()()()()()()()(2101110111nnnnnmmmmpspspssBsAsBasasasabsbsbsbsRsCSG式中 为极点。 nipsii,2 ,1， jskjskpskpskpskjsjsApspspssBsRsGsCjsjsAsASRccnnmnmm2122112122)()()()()()()()()(若 ，则)sin()(tAtrmtjctjctpntptpekekekekeksCLtcn2121121)()(稳态时tjctjcekektc21)(jjGAjssCkmjsc2)()(1jjGAjss

21、Ckmjsc2)()-)(2而)(j)()()()()(eAejGsGjGjGjjs)(j-)(-)()()()-(eAejGsGjGjGjjs)(sin()(2)()()()(tAAjeeAAtcmtjtjm所以 系统传递函数令：s=j，得到另一个复变函数，即频率特性频率特性实部、虚部实部、虚部P()、Q()分别为频率的函数幅值、幅角幅值、幅角表示A()、()分别为频率的函数G sb sbsb sbsasa sammmmnnn( ) 11101110G jG ssj()( )G jPjQ()( )( )(arg)()(GGjG)()( A 已知线性定常系统，输入信号为r(t)，其付氏变换存在

22、为R(j)。系统的输出信号为c(t)，其付氏变换为C(j) ，则定义线性定常系统的频率特性为输出信号的付氏变换C(j)与输入信号的付氏变换R(j)之比，表示为 G jC jR j()()()关于频率特性的讨论关于频率特性的讨论 （1 1）付氏变换的存在条件）付氏变换的存在条件 满足狄里赫莱条件 即绝对值积分存在，这限制了付氏变换在许多场合下的应用。因此，许多常用的时域函数没有付氏变换，如阶跃函数，正弦函数等。 f t dt( )（2 2）频率特性与微分方程的关系）频率特性与微分方程的关系 微分方程为 类似拉氏变换，方程两边作付氏变换 输出与输入的付氏变换的比值 所以频率特性G(j)是在频率域中

23、来表示线性定常系统的数学模型。a ytb xtiiinijjm( )( )( )( )00() ()() ()ajY jb jX jiiinijjm00G jY jX jb jajijjmiiin()()()()()00（3 3）付氏变换与拉氏变换的关系）付氏变换与拉氏变换的关系阶跃函数，增加衰减因子e-t，0，满足狄里赫莱条件，其付氏变换存在 付氏变换是拉氏变换在s= j 时的特例。 t01(t)t01(t)1(t)e-tF jf teedttj tt() ( )0 f tedtjtsj( )()0)()(0sFdtetfst2.3.2 频率特性的数学表示及作图频率特性的数学表示及作图 1

24、1、极坐标图、极坐标图 极坐标极坐标图又称幅相图、奈奎斯特（图又称幅相图、奈奎斯特（Nyquist）图。复变函图。复变函数数G(j )表为表为实部、虚部实部、虚部 或表为或表为模、相位角模、相位角 复平面曲线如图所复平面曲线如图所示：示：)()()(Im)(Re)(jQPjGjGjG)()()(arg)()(AGGjG0()ImReG(j)平面A()=0+2 2、对数坐标图、对数坐标图 又称为波德（Bode）图。由于 分别作两张图A()幅频特性，是频率的函数 ()相频特性，是频率的函数 如一阶RC网络。 分别将 A()、() 作对数变换即成为 波德（Bode）图。)()()(arg)()(AG

25、GjG -90 -45 1 0.707 A() 0 0 () T1 对数幅频特性对数幅频特性 L( ) 将两坐标轴分别取对数作为新的坐标轴如图所示。 纵轴：纵轴： -1 0 1 2 0.1 1 10 100 lg 0 20 40 -20 -40 0 1 2 -1 -2 20lgA() lgA() dB Bell 2 3 5 20 50 0.5 LA( )lg( ) 20lg对数相频特性对数相频特性 () 纵轴： () 不取对数纵轴： 0 () 0.1 1 10 100 2 3 5 20 50 0.5 +90 +180 -90 -180 lg一阶一阶RCRC网络的频率特性与对数频率特性的比较网络

26、的频率特性与对数频率特性的比较波德图优点：（1）波德图展宽频带：可视频带(粗), 表示频带(精) ；（2）基本环节都可以由渐近线画出。 -90 -45 1 0.707 A() 0 0 () T1 L() dB 0.01 0.1 1 100 10 () 0 45 -45 -90 -135 0 20 -20 -40 -60 0dB/dec -20dB/dec -3dB T1 3 3、叠加、叠加作图作图作图方便。 例如对数幅频特性 对数相频特性 )()()(21jGjGjG)(lg20)(jGL)(lg20)(lg2021jGjG)21)(1 (1)(0jjjG)21)(1 (1)(0sssGLG

27、j( )lg() 20211lg2011lg20jj ( )()() 112jj2.3.3 2.3.3 典型环节的频率特性典型环节的频率特性 1. 比例环节频率特性（1）传递函数KsXsXsWrc)()()(（2）幅相频率特性0)()()(jKjQPjW)()()(jejWjW或写成 KjW)(0)(比例环节的幅相频率特性（奈氏图）（3）对数频率特性0)(lg20)(lg20)(KAL比例环节的对数频率特性（Bode图）2. 惯性环节频率特性（1）传递函数( )1( )( )1crXsW sXsTs（2）幅相频率特性)()(11)(jQPjTjW2211)(TP221)(TTQ式中 一阶惯性环

28、节的幅相频率特性（奈氏图）222211()111TW jjj TTTarctan2211jTeT22221( )20lg ( )20lg20lg 11( )arctanLATTT （3）对数频率特性惯性环节的对数频率特性（Bode图）3. 积分环节频率特性（1）传递函数( )1( )( )crXsW sXss（2）幅相频率特性211()0jW jje1()0W jj0)(P1)(Q或写成 积分环节幅相频率特性（奈氏图）1( )20lg( )20lg20lg( )90LA （3）对数频率特性积分环节对数频率特性（Bode图）4. 微分环节频率特性 传递函数( )( )( )crXsWssXs（1

29、）理想微分环节频率特性 幅相频率特性21()jW jje理想微分环节幅相频率特性（奈氏图） 对数频率特性90)(lg20)(lg20)(AL理想微分环节对数频率特性(Bode图) 传递函数( )( )1( )crXsW ssXs （2）一阶微分环节频率特性 幅相频率特性)(2)(1) 1()(jejjW2)(1)(A)arctan()(一阶微分环节幅相频率特性(奈氏图)2( )20lg( )20lg 1 ()( )arctan()LA 对数频率特性一阶微分环节对数频率特性（Bode图）5. 振荡环节频率特性（1）传递函数121)(22TssTsW式中 时间常数； 阻尼比，T10221()12W

30、 jTjT222arctan()122221(1)(2)TTeTT （2）幅相频率特性)(A2222)2()1 (1TT)12arctan()(22TT振荡环节幅相频率特性（奈氏图）222222( )20lg( )20lg1 20lg(1)(2)2( )arctan1LATTTT （3）对数频率特性振荡环节的对数频率特性（Bode图）2.3.4 2.3.4 控制系统开环频率特性作图控制系统开环频率特性作图一、开环对数频率特性作图开环对数频率特性作图结构图 开环传递函数 开环频率特性 分解基本环节则开环对数幅频特性 开环对数相频特性 G(s)H(s)R(s)C(s)+-E(s)G sG s H

31、so( )( )( )()()(jHjGjGo212211212211) 12() 1() 12() 1()(njjjniimllllmkkooTssTsTsssskjG)()()()(21jGjGjGjGk)()()()(21kLLLL)()()()()()(2211kkAAA)()()()(21k（1）典型环节叠加作图例例 系统开环传递函数为系统开环传递函数为 作开环系统作开环系统 波德波德图。图。 解：解： 写出基本环节1、2、3、4、5、G sss ss( )()()()1002120G jjjjjjjjj()()()()()(.)()()(.)100212010 105110050)(,2010lg20)(,10)(111LjG5 . 0arctan)(,5 . 01)(,5 . 01)(22222LjjG90)(,lg20)(,1)(333LjjGarctan)(,11lg20)(,11)(4244LjjG05. 0arctan)(,05. 011lg20)(,05. 011)