微专题47等差数列的前n项和Sn的最值问题

1、微专题 47等差数列的前n 项和 Sn 的最值问题数列是一种特殊的函数， 因此高考题中常常会出现研究数列的单调性、最值等问题 其中，等差数列是一种最基本、最简单的数列模型在研究等差数列的前n 项和 S 的最值问n2dd题时，既可以利用公式 bn( 其中 a ， b a ， d 为公差 )的函数特征来研究，S ann122即当 d>0时，Sn 有最小值， 当 d<0时，Sn 有最大值 另外， 也可以从通项an kn l 的 (其中kd ， l a1 d ， d 为公差 )的函数特征来研究，即由错误 ! 求得 Sn 取得最大值时n 的条件，由 错误 ! 求得 Sn 取得最小值时n 的条

2、件，此种方法称为“邻项变号法”.例题：设等差数列a n 的前 n 项和为 Sn ，已知 a3 24 ， S11 0.(1) 求 an ；(2) 求数列 a n 的前 n 项和 Sn ；(3) 当 n 为何值时， Sn 最大，并求 Sn 的最大值变式 1 等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn，且公差d<0 ，若 S9 S23 ，则数列 a n 的前多少项的和最大？变式 2 等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn ，且公差 d<0 ，若 S10 S23 ，则数列 a n 的前多少项的和最大？40 5n串讲 1 已知数列 a n 的通项公式an ，记 Tn an an 1 an 6

3、 ，当|T n|取最7小值时， n 的值为多少？40 5n串讲 2 已知数列 a n 的通项公式an ，记 Tn an an 1 an 5 ，当|T n|取最7小值时， n 的值为多少？(2018 ·全国卷改编)记 Sn 为等差数列 a n 的前 n 项和，已知a 1 7， S3 15. 求Sn，并求 Sn 的最小值(2018·苏州第一学期期初调研)已知等差数列a n的前n 项和为Sn，且an Sn n 2 16n 15(n2， n N * )若对任意的n N *，总有SnSk，求正整数k 的值答案： k 7.a22 13 ，2*Snn解法1因为 n 16n 15(n2 ，

4、 n N ) ，所以也即a Sa33，S 24a1 13 ，a1 a2 24 ，解得 a1 13 ，a2 11 ，所以 d a2 a1 2，故 an 2 n 15 ， 5分an0 ， 2 n 15 0 ，1315令得所以< n ， 9分an1 <0 ， 2 n 13<0 ，22又 n N *，所以 n 7，即数列 an的前 7项和为 S7最大，所以 k 7.14 分2*a2 S2 13 ，解法2因为a 16n 15(n) ，所以也即 S n2 ， n NnnaS 24，33a1 13 ，a1 a2 24 ，解得 a1 13 ，a2 11 ， 7 分所以 d a2 a1 2 ，故 an 2 n 15 ， 9 分n （ n 1 ）Sn 13 n ×( 2) n 2 14 n (n 7) 2 49 ， 12分2所以数列an 的前7 项和为S7 最大，故k 7.14分说明：通过以上两种解法的比较，可以发现“解法1 ”