18【精品讲义】高中数学必修五_不等关系_知识点讲解+巩固练习(含答案)提高

1、不等关系【学习目标】1. 了解不等式（组）的实际背景，会用不等式表示不等关系；2. 了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系，学会比较两实数的大小的方法；3. 掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.【要点梳理】要点一：符号法则与两实数大小的比较1 .实数的符号：任意x R,则x 0 （x为正数）、x 0或x 0 （x为负数）三种情况有且只有一种成 立.2 .两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：a 0,b 0 a b 0 ; a 0,b 0 a b 0两个同号实数相乘，积是正数符号语言：a 0,b 0 ab 0 ; a 0,b 0 a

2、b 0两个异号实数相乘，积是负数符号语言：a 0,b 0 ab 0任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语百：x R x2 0 , x 0 x2 0.3 .实数的运算性质与大小顺序之间的关系要确定任意两个实数的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系即可：对任意两个实数a、b: a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b.要点诠释：等价符号的左边反映的是实数的运算性质，右边反映的是实数的大小顺序,它是不等式这一章的理论的基础，是不等式性质的证明，也是解不等式的重要依据.要点二：不等关系在现实世界和日常生活中,既有相等关系，又存在着大量的不等关系.在数学意义上,不等关系可

3、以体现.常量与常量之间的不等关系.例如：“神舟五号”的质量大于“东方红一号”的质量;变量与变量之间的不等关系.例如：身高不足1.2m的儿童可免费乘坐公交车;函数与函数直接的不等关系.例如：当X a时，销售收入f x大于销售成本g x一组变量之间的不等关系.例如：购置软件的费用60X与购置磁盘的费用70y之和不超 过500元.常见文字语言与符号语言之间的转换文字语 言大于，高于，超过小于，彳氐于，少 于大于等于，至少，不低于小于等于，至少， 不多于，不超过符号语言><>要点诠释：(1)不等关系反映在日常生活中的方方面面，在数学上，常常用不等式(组)表示不等关系；(2)不等式a&

4、gt;b或a<b:表示严格的不等式；(3)不等式ab读作“a大于或等于b"，其含义是a > b和a =b中至少有一个正确, 等价于“ a不小于b” .例如不等式3>2, 2>2都是正确的.同理“ a W b”表示a < b和a = b中至少有一个正确.要点三：不等式1 .定义不等式：用不等号(>,<-)表示不等关系的式子2 .同向与异向不等式同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如 a b,c d与a b,c d都是同向不异向不等式：两个不等号方向相反的不等式，例如a b,c d是同向不等式.3 .不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和

5、运算性质两部分基本性质有：(1)对称性：a b ba;(2)传递性：a b, b c a c;加法法则(同向不等式可加性)：ab acbccR;c 0ac bc,(4)乘法法则：若a b ,则c 0 ac bc, c 0ac bc.c 0(5)除法法则：若a b且c 0,则c 0运算性质有:(1)可加法则：a b,c d(2)可乘法则:a b 0,c d 0(3)可乘方性：a b 0 n N*an bn0;(4)可开方性：a b 0 n N且n 1 吗而要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据要点四：比较两代数式大小的方法作差法：1 .任意两个代数式a、b ,可以作差a b后比较a b与0

6、的关系，进一步比较a与b的 大小. a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b.作商法：任意两个值为正的代数式a、b,可以作商a b后比较旦与1的关系，进一步比较a与 bb的大小. a 1 a b ; b a 1 a b ; b a 1 a b. b要点诠释：若代数式a、b都为负数，也可以用作商法.中间量法：若两个代数式a、b不容易直接判断大小，可引入第三个量 c分别与a、b作比较，若 满足a b且b c,则a c.第三个量就是中间量.这种方法就是中间量法，其实质是不等 式的传递性.一般选择0或1为中间量.利用函数的单调性比较大小若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的

7、基本函数的单调性比较大小作差比较法的步骤：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”； 三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于 0;最后下结论.要点诠释：概括为：“三步一结论”.这里“定号”是目的，“变形”是关键过程.【典型例题】类型一：用不等式表示不等关系例1.某人有楼房一幢，室内面积共180m2,拟分割成大、小两类房间作为旅游客房， 大房间面积为18m2,可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15m2, 可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每 间需要600元，如果他只能筹款8000元用

8、于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等 式.【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系.【解析】假设装修大、小客房分别为 x问，y问，根据题意，应由下列不等关系：(1) 总费用不超过8000元(2) 总面积不超过180m2；(3) 大、小客房的房间数都为非负数且为正整数即有：5x 3y 406x 5y 60_ *x 0 (x N )*y 0 (y N )1000x 600y 800018x 15y 180一一*x 0 (x N )*y 0 (y N )此即为所求满足题意的不等式组【总结升华】求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中

9、的量具体化，就 可以得到相应的数学问题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题.在解决实际问题时，要注意变量的取值范围.举一反三：【变式】某钢铁厂要把长度为4000mm勺钢管截成500mnft 600mmM种.按照生产的要 求，600mm勺数量不能超过500mnffl管的3倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式 呢？【答案】假设截得500 mm勺钢管x根，截得600mm勺钢管y根.根据题意，应有如下 的不等关系：(1)截得两种钢管的总长度不超过 4000mm ;(2)截得600mnffl管的数量不能超过500mms管数量的3倍；(3)截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等

10、关系，可以用下面的不等式组来表示：500x 600y 4000;3x y；x 0;y 0.类型二：不等式性质的应用例2.已知23,求丁，一的取值范围.【解析】因为-,所以 4 5r 747两式相力口，得 .222因为一一一，所以一一， 424424贝 U-.222又a < B ,所以0,2贝 U0.22【总结升华】求含字母的数(式)的取值范围，一是要注意题设中的条件，充分利用 条件，二是在变换过程中要注意利用不等式的基本性质以及其他与题目相关的性质等.举一反三：【变式1】已知2 a 3,1 b 4,求下列各代数式的的取值范围.(1) a b;(2) a;(3) a2 b2b【答案】(1)

11、 2ab 2; (2)二与 3 ； (3) 5 a2 b2<25.2 b【高清课堂：不等关系与不等式387156题型三 不等式性质的应用】【变式2已知函数f x=ax2+bx,且1揶f(1)2, 2揶f 1 4 .求f(2)的取值范围.【答案】f ( 1)=a b , f 1 =a+b. f ( 2)=4 a 2b .设 m(a+b)+n(a b)=4a 2b .m n 4m 1m n 2n 3. f (-2)=(a+ b)+3(a-b)=f 1 +3f(1).: 1揶 f (1) 2 , 2揶 f 14 . .5Wf (2) 10 .例3.对于实数a, b, c判断以下说法的对错.(1

12、)若 a b ,贝U ac bc ;(2)若 ac2 bc2 ,则 a b ;(3)若 a b 0,则a2 ab b2；(4)若 a b 0 ,则 a b ；(5)若 a b ,1 >1 ,贝 U a 0, b 0.a b【思路点拨】本类题一般利用不等式的性质判断或者采用作差法判断，还可以利用特 殊值法找反例否定.【解析】(1 )错误因为c的符号不定，所以无法判定ac和bc的大小.(2)正确因为ac2a ab b .(4)正确两个负实数，绝对值大的反而小.(5)正确0,从而ab 0.0又因a【总结升华】题目中要注意不等式变形的等价性，性质的应用要合理举一反三:【高清课堂：不等关系与不等式

13、387156题型二 不等式的性质】 bc2,所以cw0,从而c2>0,所以a b.(3)正确因为a b,所以a2 ab ,因为a ab【变式11若a>0> b> ac< d<0,则下列命题中能成立的个数是()a 0(1) ad> bc ; (2)0;(3) ac>b d;(4) a (d c)>b(d c)A. 1【变式2】若a b 0,则下列结论正确的是（A.B.1 1b '|a|均不成立 |b|-,均不成立 a -b a |a | |b |C. l,(a1)2(b1)2均不成立ababaD. ,(a1)2(b1)2 均不成立|a

14、| |b|ba【解析】特殊值法：；a b 0,取a 2, b1,分别代入四个选项，即得选项 B.例4.船在流水中航行，在甲地与乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是 否相等，为什么?【解析】设甲地与乙地的距离为 S,船在静水中的速度为u ,水流速度为v ,其中u v 0.则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间2uS2u v平均速度u 2tSu2vu 0u因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于 船在静水中的速度.【总结升华】 恰当的设出变量，利用了作差法比较大小，注意符号的判断方法.举一反三：【变式】甲乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半

15、时间的速度为a,另一半时 间的速度为b；乙车用速度为a行走一半路程，用速度a行走另一半路程，若a b,试判断 哪辆车先到达B地.【答案】甲车先到达B地;【解析】设从A至皿勺路程为S,甲车用的时间为3,乙车用的时间为则?S,2S , S S S31,t2 一 一 一(一 一) a b 2a 2b 2ab22r, ,2S S 1 , 12S (a+b)S 4abS(a+b)2S(a b)2Sn11 t2 - - 0,a+ b 2 a b a+ b 2ab2ab(a+b)2ab(a+b)t1 t2 .所以，甲车先到达B地.类型三：作差比较大小【高清课堂：不等关系与不等式387156题型一比较大小】例

16、5.已知a, b, c是实数，试比较a2+ b2+ c2与ab+ bc+ ca的大小.【思路点拨】此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差, 然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少， 在这里无关紧要).根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.比较两个代数式大小的问题转化为实数运算符号问题.【解析】: a2 b2 c2 (ab bc ca) =1(a b)2 (b c)2(c a)2 0,当且仅当a=b = c时取等号.222、， a + b + c > ab+ bc+ ca.【总结升华】用作差法比较两个实数(代数式)的大

17、小，其具体解题步骤可归纳为： 第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时需进行讨论； 第三步：得出结论.举一反三：【变式11在以下各题的横线处适当的不等号：(1)(石历2 6 2卤；(2) (<3 匹2 (提 1)2 ；(3) 11一 (4) 2 余品'(5) 当 a b 0 时，log 1 a log 1 b.22【答案】(1) <(2) < ;(3)<(4) <【变式2】比较下列两代数式的大小：(1) (x 5)(x 9)与(x 7)2; (2)2a22b22ab与 2a2b 3.【答案

18、】(1) (x 5)(x 9) (x 7)2(2) (2a2 2b2 2ab) (2 a 2b 3)2222(a2 2a 1) (b2 2b 1) (a2 2ab b2) 1(a 1)2 (b 1)2 (a b)2 1 1 0,22 2a 2b 2ab 2a 2b 3.例6.已知a b ( ab 0),试比较1和1的大小. a b【解析】2 1 b_/， a b ab.a b 即 b a 0 ,.当 ab 0 时 b-a 0 , - 1 ；ab a b当 ab 0 时 b- 0 , 1 1.ab a b【总结升华】变形一步最为关键,直至变形到能判断符号为止；另需注意字母的符号,必要时需要分类讨

19、论举一反三:【变式】已知2“与a b的大小. a2【答案】(-b3a babb2一)(a b) a(a b)2_a 2ab b(a b)(ab2-)2(a b)(a b)2ab2b .a b.a类型四：作商比较大小例7.已知：a、b rb,比较aabb与abba的大小.【思路点拨】本题是两指数式比较大小，如果设想作差法，很明显很难判断符号，由指数式是正项可以联想到作商比较【解析】, a > b R ，: aabb 0 , abba 0.作商：ax（a）a（b）b （-）a（-）b（a）ab a b b a b b b若 a b0,则：1, ab0,（a）ab1,此时 aabbabba 成

20、立;若b a0,则0 a 1 ,ab 0, （a）ab 1,止匕时 aabb abba 成二综上，aabb abba总成立.【总结升华】1、作商比较法的基本步骤是：判定式子的符号并作商 变形判定商式大于1或等于1或小于1结论.2、正数的幕的乘积形式的大小比较一般用作商比较法举一反三:【变式】已知a、b、c为互不相等的正数，求证:2 a. 2b 2c b c. c a a ba b c a b c【答案】a、b、c为不等正数，不失一般性，设a b c 0,2a. 2b 2c这时a b cb c. c a a b0 , a b c0,则有:2a, 2b 2c a b cb c. c a a ba

21、b c(a b) (a c) (b c) (b a) (c a) a b c（c b）中*bc(-)ca aa 1,ab 0;b c1,b c0;01,c- a 0由指数函数的性质可知:(a)a bb1M cc1,(-)ca2a, 2b 2c a b cb c. c a a ba b c2a, 2b 2c1 ,即 a b c【巩固练习】|-、&M1 .设a, b R,若a-b >0,则下列不等式中正确的是()A. b a>0B. a3+b3<0C. a b <0D . b+a >02.下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是（）C2 I 2

22、 .a >bB.a >b 1D. a3>b33 .已知a, b, c R ,则下面推理中正确的是（）B.33C. a b , ab 04 .若 x y0, a 0, ay 0 ,贝U x y 的值为(A.大于0C.等于0B.小于0D.符号不确定5 .已知0 x y a 1,则有(A. loga(xy) 0C. 1 loga(xy) 2)B. 0 loga(xy) 1D. loga(xy) 26.若a、b任意实数，且a b,则（）A. a2 b2B. b 1aC. lg(a b) 0D. g)a g)b、填空题7 .下列命题中的真命题为(1 )若 a b ,则 ac?>b

23、c2;(2)若 a b 0,贝U1<1; a b(3)若 a b 0,则 b>a; a b(4)若a b 0,贝Ub 1； a(5)若 c a b 0,则一a->-b- c a c b8 .若实数a , b , c ,满足b22c 3a 4a 6 , b c a4a 4 ,试确定a , b , c的大小关9.已知 a2 x a , M loga x2 , Nloga(logax) , P (logax)2，则 M、N、P 的大小顺序10.设a b 0,m 0,n 0 ,则B , a , b_E由小到大的排列顺序是a b a m b n三、解答题11.如图，v= f x反映了某

24、公司产品的销售收入y万元与销售量X吨的函数关系，v= gx 反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系，试问：(1)当销售量为多少时，该公司赢利(收入大于成本)？(2)当销售量为多少时，该公司亏损(收入小于成本)？1 一1 一 .，12 .已知a 0,且a 1 , m n 0 ,比较A a 二和B a 七的大小. aa13 .设x 0且x 1,比较1+logx3与210gx2的大小.14 .已知 a,b,c R ,且a b c ,试比较 ab(a b) bc(b c) ac(a c)与6abc 的大小.15 .甲、乙两位采购员同去一家销售公司买了两次粮食，且两次粮食的价格不同，两位采 购员的

25、购粮方式也不同.其中，甲每次购粮 1 000 kg,乙每次购粮用去1 000元钱，谁的购粮 方式更合算？16、已知1 a b 5, 1 a b 3 ,求3a 2b的取值范围.【答案与解析】1 .【答案】D【解析】a|b|>0即一a<b<a ,. a b 0；D正确.a b 0对于A:由a b>0则b a<0；A错.对于 B： a3+b3=(a+b)(a2 ab+ b2) = (a+b)(a b)2+ b2 >0，B 错.对于 C: a2b2=(ab)(a+b)>0；C错.2 .【答案】A【解析】A即寻找命题P使P a b, a b推不出P ,逐项验证可

26、选A3 .【答案】C【解析】用淘汰法.(A)中若 m=0 不成立；(B)中若 c<0,不成立；(C)中 a3-b3>0n (a-b)(a2+ab+b2)>0.: a2+ab+b2>0 恒成立，故 a-b>0.a>b,又 < ab>0, . 1 < 1(D)中a2>b2=(a+b)(a-b)>0,不能说明a>b,故本题应选(C).4 .【答案】A【解析】用直接法.a<0, ay>0=y<0,又 < x+y>0 x>0,x-y=x+(-y)>0.故本题应选(A).5 .【答案】D【解析

27、】< 0<x<y<a<1,0<xy<1,故 loga(xy)>0,排除 A,又 xy<y<a,故 loga(xy) >logaa= 1,排除 B, loga(xy) = logsx+logay>logaa+logaa= 1+1 = 2,故选 D.6 .【答案】Dxab【解析】: a>b且y=-为单减函数，故< 3 ,故选D,222因不知道a, b的正负，故可排除A、B、C选项.7.【答案】(4) (5)【解析】(1 ) ; c2>Q当c=0时ac2=bc2=0,故原命题为假命题.(2)举特例-2<-

28、1<0但-2>-1,故原命题为假命题.a(3 )由于a<b<0,所以1a(4) v a<b<0, . |a|>|b|>0,b 01,所以b电 < 1 , |a|a 1 b b a-,故原命题为假命题.a故原命题为真命题.(5) < c>a>b>0,c-b>c-a>0,>，>0,c b又a>b>0>-c a c,故原命题为真命题.【解析】由已知2(a 2)03a22a4a4a(a2)综上所述,【解析】a2 x1 ，1 loga x<210.lOga(lOga X)P-M = (lOgx)2,2lOga X lOga X(lOga X2)【解析】特殊值法:a、b、m、n分别取特殊值,比如：a=4, b=3,m=2, n=1,代入比较即得b -bm a a m11.【解析】(1)销售量大于a吨，即x>a时，公司赢利, 即 f(x