在北纬45度圈上劣弧的长度

1、15.6球面距离球面距离 假如你要乘坐从上海直飞好莱坞的飞机假如你要乘坐从上海直飞好莱坞的飞机, ,设想一下设想一下, ,它需要沿着怎样的航线飞行呢它需要沿着怎样的航线飞行呢? ?航程航程大约是多少呢大约是多少呢? ? (1)在某一高度上，上海和好莱坞间的距离是一条在某一高度上，上海和好莱坞间的距离是一条线段的长吗线段的长吗?(2)经过球面上的这两点有多少条弧呢经过球面上的这两点有多少条弧呢? (3)这无数条弧长哪条最短这无数条弧长哪条最短?为了解决这个问题我们这节课就来研究一下地为了解决这个问题我们这节课就来研究一下地球上两点之间的最短距离（球面距离）球上两点之间的最短距离（球面距离）答：不

2、是，是一段圆弧的长。答：不是，是一段圆弧的长。答：无数条。答：无数条。球面距离：球面上两点球面距离：球面上两点A、B之间的最短距离，就是之间的最短距离，就是经过经过A、B两点的两点的大圆大圆在在这两点间的一段这两点间的一段劣弧劣弧AB的长度，我们把这个弧长的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离叫做两点的球面距离A AB BO一一. .定义定义球面距离距离公式距离公式： （其中（其中R为球半径，为球半径， 为为A,B所对应的球心角的弧度数所对应的球心角的弧度数 ）lRRR二二. .经度、纬度等概念说明经度、纬度等概念说明1、经线（子午线）、本初子午线；、经线（子午线）、本初子午线； 纬线、赤道

3、纬线、赤道2、东经、西经、东经、西经：与本初子午线所在平面所成角：与本初子午线所在平面所成角 ； 南纬、北纬南纬、北纬：与赤道平面所成角：与赤道平面所成角1.位于同一经线上两点的球面距离位于同一经线上两点的球面距离例例1. 求东经求东经线上，纬度分别为北纬线上，纬度分别为北纬和和的两地的两地A，B B的球面距离的球面距离 (设地球半径为设地球半径为R).386857赤道赤道AOB，根据，根据A ，B B的球面距离为的球面距离为68又EOBEOA38 ,30lR6lR6R6R解解 EOBEOA,AOB? ?O O? ?N N? ?S S? ?E E? ?A A? ?B B二二. .应用举例应用举

4、例例例2.已知地球半径为已知地球半径为R,A、B两点均位于北纬两点均位于北纬45度度线上，点线上，点A在东经在东经30度，点度，点B在东经在东经120度。度。求求(1)在北纬在北纬45度圈上劣弧度圈上劣弧 的长度的长度; (2) 求经过求经过A、B两地的球面距离？两地的球面距离？OO1ABm2.位于同一纬线上两点的球面距离位于同一纬线上两点的球面距离,90)1(11ROBBOOBOO 中，中，解：在解：在 .22,4511RBOOBO 纬线圈中纬线圈中 的长度为的长度为RR 4222.2 ABABOO1ABm (2) 求经过求经过A、B两地球面距离？两地球面距离？1ABO(2)在中，190 ,

5、AO B,ABRAOB在中，AOOBABR60AOB3Rl.3R A、B两地的球面距离为两地的球面距离为的纬线上，的纬线上， A、 B B两地的球面距两地的球面距 变式：把地球当作半径为变式：把地球当作半径为R的球，的球， 地球上两地地球上两地A B B均在北纬均在北纬45离为离为 3R, ,且且A在西经在西经 20处，求点处，求点B B的位置。的位置。 O1OBANSB解：假设解：假设AOBAB B的弧长为的弧长为3R3RR,3OAOBR又 ABR145OAO又在直角三角形在直角三角形1AOO中12452O ACOSOAR为正三角形，为正三角形，ABOO1OBANSB122O BR同理得：同

6、理得：22211O AO BABO1OBANS190AO BB所以所以 B B在西经在西经2090110，北纬45处因为因为A在西经在西经20处处,902070在东经，北纬45 处。或者练习：课本练习：课本P46例例3 3 （0404全国）已知球全国）已知球o的半径为的半径为1 1， A 、 B B 、 C三三 点都在球面上，且每两点间的球面距离都为点都在球面上，且每两点间的球面距离都为 2，则球，则球心到平面心到平面AB BC距离为（距离为（ ） ABC D 13332363巩固与提高巩固与提高1dCHOBA2BC 2AC ，同理得：，同理得：2AB AOB中，在直角三角形，在直角三角形1O

7、AOB又90AOBBOCAOC A 、 B B 、 C三点三点 2解：解： 每两点间的球面距离都为每两点间的球面距离都为 为正三角形，为正三角形，AOB236323HBAB，在直角三角形，在直角三角形BOH中2263,133OH1dCHOBA注：我们可以把球的问题转化成棱锥注：我们可以把球的问题转化成棱锥(或棱柱或棱柱)问题来处理问题来处理1dCHOBA练习：练习：（0808辽宁）已知在半径为辽宁）已知在半径为3的球面上有的球面上有 A 、 B B 、 C三三 点，点， 1AB 2BC , A 、 C两点间的球面距离为两点间的球面距离为 33则球心到平面则球心到平面AB BC距离为多少？距离为

8、多少？ COBAH解：解： A 、 C两点的球面距离为两点的球面距离为333AOC3ACR又1AB ,2BC ,3AC ABC为直角三角形，为直角三角形， A 、 B B 、 C三点共圆三点共圆 球心球心在平面在平面AB BC内的射影一定在内的射影一定在AC上，上，所以点所以点O到平面到平面AB BC的距离为的距离为OOH2221133322OOOAO A练习：练习：球面上有球面上有3个点，其中任意两点的球面距离个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的都等于大圆周长的1,6经过经过3点的小圆的周点的小圆的周长为长为4 ,那么这个球的半径为（那么这个球的半径为（ ）ABC D 4 32 323COBA三三、小结小结1.两种形式的球面距离的求解两种形式的球面距离的求解2.球面距离公式球面距离公式lR(1).位于同一经线上