数学分析(二)期末试题

1、数学分析(2)期末试题课程名称 数学分析(R)适 用 时 间试卷类别1 适用专业、年级、班 应用、信息专业、单项选择题(每小题3分，3X6= 18分)1、下列级数中条件收敛的是A.( 1)nB .n 1C(1)n1D .(1 -)n 1 n2、 若£是(，)内以2 它的间断点x处(A.收敛于f(x)C.发散为周期的按段光滑的函数，则f的傅里叶()级数在).1B.收敛于(f (x 0) f (x 0)2D.可能收敛也可能发散3、函数f(x)在a,b上可积的必要条件是().A.有界连续 C .单调 D3 / 144、设f(x)的一个原函数为lnx,则f (x)()A 11AB. x In

2、 x C ,-2-Dxx5、已知反常积分-dxy (k 0)收敛于1 ,匚2收敛，则()x为任意实数0 1 kxA.B .C226、In x (In x)2 (In x)3 L ( 1)n 1(ln x)n LA.x e B . x e C、填空题(每小题3分，3X6= 18分)1、已知幕级数axn在x 2处条件收敛，则它的收敛半径为 .n 12、若数项级数Un的第n个部分和& 包,则其通项Un ，和S n 1n 11 .3、曲线y 1与直线x 1, x 2及x轴所围成的曲边梯形面积为 . x1b4、已知由定积分的换元积分法可得，0e'f(eX)dxa f (x)dx ,则a

3、, b 5、数集(1)n°n 1, 2 , 3, L的聚点为. 26、函数f(x) ex的麦克劳林()展开式为 65二、计算题（每小题6分，6X5 = 30分）1、dxx (1 x)3、° Va_x2 dx (a 0).x 2 cos t dtlim -x 0 sin x5、02 J1 sin2xdx-四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）1、讨论函数项级数吗竺在区间（，）上的一致收敛性.n 1 nn2、求幕级数人的收敛域以及收敛区间内的和函数.n 1 n3、设f（x） x,将£在（，）上展为傅里叶（）级数.五、证明题（每小题6分，6X2=12分

4、）1、已知级数an与 cn都收敛，且n 1n 1an bn cn, n 1, 2, 3 5 L证明：级数bn也收敛.n 12、证明：2sinnxdx2 cosn x dx .0066试题参考答案与评分标准课程名称 数学分析（U） 适 用 时 间试卷类别1 适用专业、年级、班应用、信息专业4 / 14单项选择题（每小题3分，3X6= 18分）14 / 141. B2. B3. A4. C5. D6. D填空题（每小题3 分，3X6=18 分）1.2.un2,S=2n（n 1）3.ln24. a 1, b e5.6.1 2nxn 0 n!计算题（每小题6分，6X5 = 30分）1.解（3分）x（1

5、 x）1x（1dx x）1（一x1）dxxln x ln 1C.（3分）2.解In xdx3由分部积分公式得21x ln xdx 一3（3分）（3分）x3ln 313 .-x ln31 3-x ln31 3 -x3In x3 .x d ln x3131 -x9-dx xdx3.解令 x asint, t 0,-2由定积分的换元积分公式,（3分）67a2 x2dxo2 22a 2 cos tdt0（3分）4.解（4分）（2分）5.解27(t(1 cos2t)dt1-sin2t)由洛必达（L / ）法则得lxmolxm0x 2cos tdt0sin x2cos xcosxllmcos xx 01

6、021 sln2xdx2 "(sinxcosx)2 dx(2 分)0、 ''sin x cosxdx04(cosx sin x)dx2 (sin x cosx)dx4(2分)4(sin x cosx)02.2 2.2(sin x cosx)4(2分)四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）1 .解 x （, + ）, n （正整数）sin nx2n(3分)而级数 2收敛，故由M判别法知， n 1 n敛.空x 在区间（，）上一致收 n 1 n（3 分）2.解1F 1'lim nn ； nn窑级数上的收敛半径Rn 1 n收敛区间为(1,1).分)(

7、2n易知 土在x 1处收敛，而在x 1发散, n 1 n n故土的收敛域为n 1 n1,1).(2分)(1, 1) 一(2分)逐项求积分可得(2分)3.解x 1 dt01 t即 ln(1 x)x nt dt, xo 1n 1x(1,1)-nX,X ( 1,1).1 n函数f及其周期延拓后的图形如下(2分)函数f显然是按段光滑的，故由收敛性定理知它可以展开为级数。由于“*）在（，）为奇函数,an0, n 0, 1,2,，bn - xsin nxdx1x cos nx1一cosnxdx(1)n 1 2n(4分)i sin nxn所以在区间(，)上，f(x) X 2( 1)nn 1(2分)69五、证明题（每小题5分，5X2 = 10分）1.证明由an与Cn都收敛知, n 1n 1级数（Cn an）也收敛。n 1（1分）又由anbnCn, n可知,0 bn aCnan, n1, 2, 3, L1,2,3,L从而由正项级数的比较判别法知（bn an）n 1（2分）于是由 bn （bnan） an, n 1,