动点问题与函数图象

1、动点问题与函数图象动点问题与函数图象1、如图，等边三角形ABC的边长为3, N为AC的三等分点，三角形边上的动点 M从点A 出发，沿A-B-C的方向运动，到达点 C时停止.设点 M运动的路程为x, MN2=y,则y 关于x的函数图象大致为（）9 / 15ABCD【知识点】动点问题的函数图象【分析】注意分析 y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决.【解析】二等边三角形ABC的边长为3, N为AC的三等分点，.-.AN=1 .当点M位于点A处时，x=0, y=1.当动点M从A点出发到AM=1的过程中，y随x的增大而减小，故排除 D; 当动点M到达C点时，x=6 , y=3 - 1=

2、2,即此时y的值与点M在点A处时的值不相等.故 排除A、C.故选B.2、如右图所示，已知等腰梯形ABCD,AD/ BC,若动直线l垂直于BC,且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S, BP为x,则S关于x的函数图象大致是【知识点】动点问题的函数图象【分析】分三段考虑， 当直线l经过BA段时，直线l经过AD段时，直线l经过DC 段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案.【解析】当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；

3、结合选项可得，A选项的图象符合.故选A.3、如右图，已知某容器是由上下两个相同的圆锥和中间一个与圆锥同底等高的圆柱组合而成，若往此容器中注水，设注入水的体积为y ,高度为x,则y关于x的函数图像大致是【解析】注入水的体积增加的速度随着高度x的变化情况是：由慢到快匀速增长由快到慢，由慢到快的图象是越来越陡，由快到慢的图象是越来越平缓，所以选Ao4、如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右 匀速穿过正方形，设穿过时间为t,正方形除去圆部分的面积为S （阴影部分），则S与t的【解析】由图中可知：在开始的时候，阴影部分的面积最大，可以排除 B, C. 随着圆的穿行开

4、始， 阴影部分的面积开始减小， 当圆完全进入正方形时， 阴影部分的面积开 始不再变化.应排除 D.故选A.5、.如图 9,梯形 ABCD, AB/ DC DEEL AR CF，AB 且 AE = EF = FB = 5, DE = 12, 动点PM点AH发，7&折线ADDCCBA每秒1个单位长的速度运动到点 B停止.设运动时间为t 秒，y = Saepf ,则y与t的函数图象大致是【解析】：AA 13, sinA = 12,当P在ADt运动时， PEF勺高h=!2t,1313y = S aep15 12t ,是一次函数关系，当点 PCDh运动时，高不变，底不变， 213三角形的面积不变

5、，当点 P在C上运动时，同样也是一次函数关系，故选A。6、一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子（质量非常轻的空心小圆球）后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中， 浮子始终 保持在容器的正中间. 用x表示注水时间，用y表示浮子的高度，则用来表示y与x之间关 系的选项是（）ABCD【知识点】分段函数图象【分析】分三段考虑， 小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加；小烧杯被注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变； 大烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加.【解析】小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加； 小烧杯被

6、注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变;大烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加.结合图象可得B选项的图象符合.AB=2,设能表示y与故选B.7、如图，点P是以。为圆心，AB为直径的半圆上的动点,弦AP的长为X, 4APO的面积为y ,则下列图象中，X的函数关系的图象大致是答案：a解析：很显然，并非二次函数，排除 B ；采用特殊位置法;当P点与A点重合时，此时AP x 0 , S pao 0 ；当P点与B点重合时，此时AP x 2 , S pao0；AOB . 3 1本题最重要的为当 AP x 1时，此时 APO为等边三角形，S pao >；44排除B、C、

7、D.选才i A.【点评】动点函数图象问题选取合适的特殊位置，然后去解答是最为直接有效的方法8、在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y （单位N）【知识点】分段函数图象【分析】露出水面前读数 y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后 y不变.【解析】因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全-露出水面一定高度.则露出水面前读数 y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后 y不变.故选C.9、如图，动点P从点A出发，沿线段 AB运动至点B后，立即按原路返回，点 P

8、在运动过 程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积 S与点P的运动时间t的函【知识点】：动点问题的函数图象.【分析】：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出 S与t的函数关系式，根据关 系式可以得出结论.【解答】：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：(1)当点P 在 A-B 段运动时，PB=1 - t, S=tt (1 t) 2 (0q<1);(2)当点 P 在 B-A 段运动时，PB=t- 1, S=tt (t- 1) 2 (14V).综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=tt (t- 1) 2 (042),这是一个二次函数，其图

9、象为开口向上的一段抛物线.结合题中各选项，只有B符合要求.故选B.10、如图，正方形 ABCD中，AB=8cm ,对角线 AC, BD相交于点。，点E, F分别从B, C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC, CD运动，到点C, D时停止运动，设运动时间为 t (s), AOEF的面积为s (cm2),则s (cm2)与t (s)的函数关系可用图象表示为()【知识点】动点问题的函数图象【分析】由点E, F分别从B, C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC, CD运动，得到BE=CF=t 则CE=8- t,再根据正方形的性质的 OB=OG /OBC=/ OCD=45 ,然后根据 “SAST判

10、断 OBE OCFF,所以 Saqbe=Saocf,这样 S四边形 OEC=S/obc=16,于是 S=S四边形 oecl Sacef=164 ® t) ?t，然后配方得到 S=|4) 2+8 (0wt今$最后利用解析式和二次函数的性 质对各选项进行判断.【解析】根据题意 BE=CF=t , CE=8 -t, 四边形ABCD为正方形， .OB=OC, Z OBC= Z OCD=45 °, 在 AOBE 和 OCF 中OB=OCZOBE=ZdCF ,.-.OBEAOCF (SAS),Saobe=Saocf,2 一二. S 四边形 oecf=Saqbc=>8 =16,S=

11、S 四边形 OECF SACEF=16| (8-t) ?中4-4t+16=i (t-4) 2+8 (04m), z.s (cm2)与t (s)的函数图象为抛物线一部分，顶点为(4, 8),自变量为048.故选B.11、如图所示：边长分别为 1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该 水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t,大正方形内去掉小正方形后的面积为s,那么s与t的大致图象应为（）【分析】根据题意，设小正方形运动的速度为V,分三个阶段；小正方形向右未完全穿入大正方形， 小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形， 小正方形穿出大正方形，分别求出S,可得答案.【解析】根据题

12、意，设小正方形运动的速度为V,分三个阶段； 小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2X2-Vt>=4-Vt, 小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2X2 - 1 M=3,小正方形穿出大正方形， S=Vt M , 分析选项可得，A符合；故选A.12、如图1,点E为矩形ABCD边AD上一点,点P,点Q同时从点B出发，点一 DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设 P, Q出发t秒时， BPQ的面积为ycm,已知y与t的函数关系的图形如图 2 （曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：AD=BE=5cm；当0vtW5时；了 5;直线NH的解析式为y=-

13、 5t+27;若 ABE与/ QBP相似，则t=-29秒。其中正确的结论个数为 24()答案：B解析：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C,如图（1 过点Ht¥F_LBC于点F ,/- SihZFEF=sjDh D.9.PF=PBsinZTEft. Q292BFD一盹-即二彳上当（K "5时产意。呼?="故正确当厂手秒时点F在上此呵. 阳=#pg+号,典一& 9Q_1. AB_BQ.AEF'PQ 飞',通-的，又二££9二90八白研Es 日BFj故正确将N （7,10）代入，知错误，故选 Bo13、如图，将边长

14、为 4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是 2和4的Rt GEF的 一边GF重合。正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿 GE向右匀速运动，当点A和点E 重合时正方形停止运动。设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt GEF重叠部分面积为s,则s关于t的函数图像为（B）14、如图，是一种古代计时器-漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间若用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系的是（不考虑水量变化对压力的影响）（）【分析】由题意知x表示时间，y表示壶底到水面的高度，然后根据x

15、、y的初始位置及函数图象的性质来判断.【解析】由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y的初始位置应该大于0,可以排除A、D;由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除C选项;故选B.15、如图，正方形ABCD的边长为4, P为正方形边上一动点，BA 的路径匀速移动，设 P点经过的路径长为图象能大致反映y与x的函数关系的是（B）x, 4APD的面积是V,则下列481216 x4812A.B.中,AC的中点，动点ABCD动点Q从点16、如图，在矩形 速运动到终点C,O是对角线C出发，沿P从点C出发，沿BC方向匀DC方向匀速运动到终点 C.已知P, Q两点同时出发，并同时到达终

16、点，连接OP, OQ.设运动时间为t,四边形OPCQ的面积为S,那么卜列图象能大致刻画 S与t之间的关系的是（)【知识点】动点问题的函数图象【分析】作 OE，BC于E点，OU CD于F点设BC=a, AB=b，点P的速度为x,点F的速度为y,则CP=xt DQ=yt, CQ=b- yt,根据矩形和中位线的性质得到OE1b, OF=la,根据巳2 国Q两点同时出发，并同时到达终点，则其上，即ay=bx,然后利用S=Socc+SaockAa? （b H y2 2-yt） +±?4?xt,再整理得到S=lab （0vtv月），根据此解析式可判断函数图象线段（端点2 241除外）.【解析】作

17、OELBC于E点，OFLCD于F点，如图，设 BC=a, AB=b，点P的速度为x, 点F的速度为V,则 CP=xt, DQ=yt ,所以 CQ=b yt,. O是对角线AC的中点，OEg OF4a,. P, Q两点同时出发，并同时到达终点，,.=,即 ay=bx,W yS=Saocq+S OCP，?±a? (b-yt) +±?士b?xt2 22 2=ab ayt+bxt44 MIgl=ab （0< tv-）,4K0<t<).s与t的函数图象为常函数，且自变量的范围为故选A .17、如图是我国古代计时器漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出

18、.壶壁内画有刻度，人们根据壶中水面的位置计时，用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，则y与x的函数关系式的图象是（）动点问题与函数图象ABCD【知识点】函数图象【分析】由题意知x表示时间，y表示壶底到水面的高度，然后根据x、y的初始位置及函数图象的性质来判断【解析】由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y的初始位置应该大于 0,可以排除A、B;由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除D选项；故选C.18、如图，点G E、A、B在一条直线上，Rt 4EFG从如图所示的位置出发,沿直线AB向右匀 速运动，当点G与点B重合时停止运动，设4EFG与矩形ABCDt合部分的面积为

19、S,运动时间 为t,则S与t的图象大致是答图119、如图1, E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE - ED - DC运动到点C 时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是 1cm/s.若P, Q同时 开始运动，设运动时间为 t (s), 4BPQ的面积为y (cm2).已知y与t的函数图象如图2, 则下列结论错误的是()A、AE=6cm B、 sin/EBC=45C、当 0vt < 1时,y=t2D、当t=12s时，4PBQ是等腰三角形【知识点】动点问题的函数图象【分析】由图2可知，在点(10,40)至点(14, 40)区间，4BPQ的面积不变，因此可推

20、论BC=BE ,由此分析动点P的运动过程如下：(1)在BE段，BP=BQ;持续时间10s,则BE=BC=10 ; y是t的二次函数;(2)在ED段，y=40是定值，持续时间 4s,则ED=4 ;(3)在DC段，y持续减小直至为 0, y是t的一次函数【解析】(1)结论A正确.理由如下：分析函数图象可知,BC=10cm , ED=4cm ,故 AE=AD ED=BC ED=10 4=6cm;10 / 15动点问题与函数图象(2)结论B正确.理由如下：如答图1所示，连接EC,过点E作EFLBC于点F,由函数图象可知，BC=BE=10cm , Szbec=40=BC?EF=M0>EF,.EF=

21、8, .sin / EBC=TBE旦=1012 / 15(3)结论C正确.理由如下：如答图2所示，过点P作PGLBQ于点G,BQ=BP=t , . y=S bpq=BQ?PG=BQ?BP?sinZ EBC=t ?t?=t2.(4)结论D错误.理由如下：当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为 N, 如答图3所示，连接NB, NC.此时AN=8 , ND=2 ,由勾股定理求得：NB=8VL NC= 2/17，,. BC=10 , BCN不是等腰三角形，即此时 4PBQ不是等腰三角形.20、如图1,在矩形 ABCD中，动点E从点B出发，沿 B> A>AC 方向运动至点

22、C处停止，设点E运动的路程为x, 4BCE的面积为y ,如果y关于x的函数图 象如图2所示，则当x 7时，点E应运动到(B)A.点C处B.点D处C.点B处D.点A处 21、如图，已知A、B是反比例函数 卢k(k>Q,冥>0)上的两点，BC/x轴，交y轴于C,动点P从坐标原点O出发，沿。一A-B-C匀速运动，终点为 C,过运动路线上任 意一点P作PMx轴于M, PNy轴于N,设四边形OMPN的面积为S, P点运动的时间 为t,则S关于t的函数图象大致是()A【知识点】动点问题的函数图象 【分析】通过两段的判断即可得出答案,BCD点P在AB上运动时，此时四边形 OMPN的面积不变，可以

23、排除 B、D; 点P在BC上运动时，S减小，S与t的关系为一次函数，从而 排除C.【解析】点P在AB上运动时，此时四边形 OMPN的面积S=K,保持不变，故排除 B、D； 点P在BC上运动时，设路线。一 A-B-C的总路程为1,点P的速度为a,则S=OC >CP=OC X （1 - at）,因为1, OC, a均是常数，所以S与t成一次函数关系.故排除 C.故选A.22、如图，点P是菱形ABCD勺对角线AC上的一个动点，过点 P垂直于AC的直线交菱形 ABC而边于 M N两点.设AG= 2, BD= 1, AP= x,的面积为y,则y关于x的函数图象大致形状是D.【答案】Co【考点】菱形

24、的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的特征。【分析】 当0<AP= x<1时，由题意知 AM9AABQMN AP 门口 MN x ,即-,即MN x ,BD AO 1111 c此时4AMN的面积 y=- MN AP x2。22当1WAP= x<2时，如图同样知 AM9AABQ.MN PC 日口 MN 2 x一 ,即 ,即MN 2 x ,BD OC 11111 O此时4AMN的面积 y=- MN AP -x 2 x x2 x。222综上，根据二次函数图象的特征，y关于x的函数图象大致形状是Co23、如图，在平面直角坐标系中， 四边形OABC1菱形，点C的坐标为（4, 0

25、）, /AOC=6 0,垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移， 设直 线l与菱形OABC勺两边分别交于点 M, N （点M在点N的上方），若OMNW面积为S,直线l的运动时间为t秒（0WtW4）,则能大致反映 S与t的函数关系的图象是动点问题与函数图象【答案】Co【考点】动点问题的函数图象，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正比例函数的图象，二次函数的图象。【分析】如图1,过A作AHL x轴于H,由已知菱形 COABfe长为4, / AOC=60 ,根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求出OH=2 AH=2j3。根据已知04W4分两种情况讨

26、论；当0W t V 2时，点M在OA上运动（如图 1 ） , ON =t , MN=T3 t ,S=121 一 - ON- MN=-t 3t2312t O2时，点 M 在 AB上运动（如图 2） , ON =t , MN=2a/3 ,S=1 ON- MN=1t 2百瓜。22因此，S与t的函数关系为：当0Wt<2时为抛物线，当2WtW4时为直线，故选Co另作介绍：当 4<t<6时，点N在CB上运动（如图3）, OE =t, EM=2/3 , EN=（t4） J31八S=SOME-SA ONE= OE- EM- OE- EN=t 2 3 t4 . 3-2224、如图，边长都是1的

27、正方形和正三角形， 其一边在同一水平线上,三角形沿该水平线自左向右匀速穿过正方形.设穿过的时间为t,正方形与三角形重合部分的面积为S （空白部分），那么S关于t的函数大致图象应为【答案】D。【考点】 动点问题的函数图象，勾股定理。【分析】二.边长都是1的正方形和正三角形，其一边在同一水平线上，三角形沿该水平线自左向右匀速穿过正方形.穿过的时间为t ,正方形与三角形重合部分的面积为S（空白部分），:.S关于t的函数大致图象应为：三角形进入正方形以前是空白面积逐渐增大,，1 一，当0wt w 时, 2,1 一，当vtwi时,2，3 一当1vt W 3时,2,3.当3 VtW2时,2s=-xtx 73t= t2, 22SX1X-1 x (1-t) x 33 (