知识点29等腰三角形与等边三角形2017(解答题)

1、三、解答题1. （2017四川内江，18, 9分）如图，AD平分/ BAC, AD± BD,垂足为点 D, DE/ AC. 求证： BDE是等腰三角形.B D思路分析：如图，直接利用平行线的性质得出/1 = /3,进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出/B=/ BDE,即可得出答案.证明：DE/ AC,1 = / 3. AD平分/ BAC, .1 = / 2. / 2 = / 3.AD± BD,/ 2+/B=90°, Z 3+Z BDE= 90°.B= / BDE. BDE是等腰三角形.2. （2017江苏连云港，22, 10分）如图，已知等腰三角形

2、ABC中，AB = AC ,点D , E分别在边 AB、AC上，且AD = AE ,连接BE、CD , 交于点F .（1）判断/ABE与/ACD的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点 A、F的直线垂直平分线段 BC .思路分析：（1）根据全等三角形的判定 SAS可证明 AB巨 ACD,然后证/ ABE = /ACD , （2）根据（1）的结论可得 AB=AC,从而得 /ABC = /ACB, = / ABE = / ACD，/FBC=/FCB，FB = FC ,得点 A、F 均在线段BC的垂直平分线上，即可证出结论，解：（1） / ABE =/ACD .因为AB = ACAE = AD ,所

3、以ABEMCD.所以 / ABE =/ACD .(2)因为 AB = AC ,所以 / ABC = / ACB .由(1)可知 / ABE = / ACD ,所以 / FBC =/ FCB ,所以 FB = FC .又因为AB = AC ,所以点A、F均在线段BC的垂直平分线上， 即直线AF垂直平分线段BC .3.18. (2017呼和浩特)(6分)如图，等腰三角形 ABC中，BD, CE分别是两腰上的中线.(1)求证：BD= CEA的距离与底(2)设BD与CE相交于点。，点M, N分别为线段BO和CO的中点.当 ABC的重心到顶点 边长相等时，判断四边形 DEMN的形状，无需说明理由.(1)

4、证明：AB、AC为等腰三角形的两腰AB= ACBD, CE分别是两腰上的中线AE= AD在 AECA ADB 中AE= AD/ A= / AAC= AB.AE® ADBBD= CE(2)四边形DEMN为正方形4.PMXAB, PN26. (2017宁夏，9分在边长为2的等边三角形 ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作± AC, M、N分别为垂足.(1)求证：不论点 P在BC边的何处时都有 PM+PN的长恰好等于三角形 ABC一边上的高；(2)当BP的长为何值时，四边形 AMPN的面积最大，并求出最大值.思路分析：(1)连结AP,将 ABC分割成两个三角形，结合等边

5、三角形的三条边相等,利用面积公式，即可求证结论；(2)设BP的长为x,利用面积的和差关系，将四边形AMPN的面积S用含x的代数式表示，将几何问题转换成代数式求最值问题，在此即是的二次函数，运用配方法求出最值.S关于x(1)解：连结AP, ABC是等边三角形,故不妨设 AB=BC=AC=a ,其中BC边上的高记作h, PMXAB, PNXAC,C 1 I 1 一Sa ABC =Sa ABP+Sa ACP= AB MP21 -11AC PN 1a(PM PN),_1 一 .1 .又 Saabc = BC h ahPM+PN =h,即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形 ABC一

6、边上的高;(2)解：设 BP=x,在 RtBNP 中，/ BMP=90°,/ B=60°, BP=x,BM=BP cos60 =:3.3 23 x . -2 x= x ； x,2MP=BP sin60 =真 Sabmp= BM MP= 一 PC=2-x,同理可得:S PNC=e(2M8S 四边形 AMPN= SABC-SBMP -SPNC一3 2 .32.32 3.33 x -(2- x)2= (x-1)2+.一 ,. _ 3、. 3当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，是45. （2017 北京，19, 5 分）如图，在 ABC中，AB= AC, Z A = 36

7、76;, BD 平分/ ABC交 AC于点 D.求证：AD= BC.思路分析：由等腰三角形性质及三角形内角和定理，可求出/ABD=/C= BDC再据等角对等边，及等量代换即可求解.解： AB= AQ Z A=36°. .Z ABC= / C=工（180 -/A）= 1 X （18036 ）= 72 °,又 BD 平分/ ABC,/ ABD= / 22DBC= 1 Z ABC= 1 X 72= 36°, / BDC= Z A+Z ABD= 36 +36 =72°,/ C= /BDC, /A=/ABD, . AD= BD22= BC.6. （2017黑龙江大

8、庆，24, 7分）如图，以BC为底边的等腰 ABC,点D,E,G分别在BC,AB,AC上，且EG/BC , DE / AC ,延长GE至ff点F ,使得BE BF .4（1）求证：四边形 BDEF为平行四边形；（2）当 C 45°, BD 2时，求D,F两点间的距离.思路分析：（1）证明两组对比分别平行（2）构造直角4 DHF,利用勾股定理求解解：（1） EG/BC,，EF/BD,/ AEG=/ABC,AB=AC,/ ABC=/ACB=/AGF,又BE=BF,/ F=/FEB=/AEG=/AGE,，BF/ AC, ED/ AC；, z. BF/ DE, 四边形 BDEF为平行四边形.

9、（2）如图，作FHL DE交DE延长线于点 H,则四边形FBEH正方形，FF+EF+EB/ACB=45° ,. ABC和4EDB都是等腰直角三角形，: BD=2,BE=2 X sin45 ° = J2 ,FH=亚,HD=2啦,在 RtFHD中，DF= U,HD2 FH 2 =J2 8=/i°7. (2017内蒙古赤峰，25, 12分) OPA和OaB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点.图1图2图3(1)当 / AOB= 90°时如图1,连接PE、QE,直接写出EP与EQ的大小关系；(2)将OaB绕点O逆时

10、针方向旋转，当/ AOB是锐角时如图2, (1)中的结论是否成立？若成立，请给出 证明；若不成立，请加以说明.(3)仍将 OQB绕点O旋转，当/ AOB为钝角时，延长 PG QD交于点G,使 ABG为等边三角形如图 3, 求/ AOB的度数.思路分析：本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一性质，等角对等边，等边对等角，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，多边形内角和等，掌握相关 图形的判定定理与性质定理是解题的关键.(1)利用直角三角形斜边上的中线性质证OE= AE;证PE垂直平分 OA;证/ OPE= 45° ,证/ OQE=

11、45。，写出结论.(2) (1)中的结论成立.证4PC段 DQ可得EP= EQ.(3) / AOB的度数=-(四边形的内角和一/ AGB的度数).2解：(1) EP= EQ.连接 OE. /AOB= 90° , E是 AB 的中点，OE= AE.又 OP= AP,PE垂直平分 OA, 点 C在PE上.。 1 , _。. /OPA= 90 , .OPE=OPA= 45 .同理可证/ OQE= 45° .EP= EQ.(2) . OPA等腰直角三角形，点 C是OA的中点,OC= PC, / PC七 90° 点C、D> E分别是OA、OB、AB的中点，CE/ OD

12、, OC/I DE. 四边形ODEC是平行四边形.OC= DE.PC= DE同理可证 CE= DQ, / BDQ= 90° . CE/ OD, OC/ DE, ./ ACE= / AOD= / EDB. ./ PCE= / EDQ.APCEAEDQ.EP= EQ.(3)连接OG. OPA等腰直角三角形，点 C是OA的中点，OC= PC, / PCA= 90° . PC垂直平分OA. 点 G 在 PC上,AG= OG.同理可证点 G在QC上，BG= OG./ PCA= / PCA / PCA= / PCA. ABG为等边三角形，/ AGB= 60° . 四边形的内角

13、和为 360。， /AOB的度数=1 (四边形的内角和一/ AGB的度数)=1 (360° 60° ) =150°228. 21.（本题满分9分）（2017山东莱芜，21, 9分）己知 ABC与 DEC是两个大小不同的等腰直角三角形.（1）如图 所示，连接AE、DB.试判断线段 AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；（2）如图所示，连接DB,将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF,连接AF,试判断线段 DE和AF的数量和 位置关系，并说明理由.（第21题图）思路分析：（1）通过证明 RtAC/RtBCD即可解决；（2）通过证明4 EB*4 ADF即可得解.解：（1） AE= DB, AE± DB.理由：由题意可知， CA=CR CD, /AC曰/BCA90°, RtAACRtA BCDAE= DB.延长DB交AE于点M, RtA AC® RtA BCqZ AEG= Z BDC又. Z AEJ Z EAC= 90°, . Z BDC+ Z EAC= 90°, 在 AAMD 中，Z AMD=180 -90 =90 °, AEXDB.(2) DE= AF, D