用迭代法求代数方程的近似根ppt课件

1、用迭代法用迭代法求代数方程的近似根求代数方程的近似根l 解方程代数方程是最常见的数学问题之一，也是解方程代数方程是最常见的数学问题之一，也是众多运用领域中不可防止的问题之一众多运用领域中不可防止的问题之一l 目前还没有普通的解析方法来求解非线性方程，但假目前还没有普通的解析方法来求解非线性方程，但假设在恣意给定的精度下，可以解出方程的近似解，那么设在恣意给定的精度下，可以解出方程的近似解，那么可以以为求解问题已根本处理，至少可以满足实践需求可以以为求解问题已根本处理，至少可以满足实践需求l 本实验主要引见一些有效的求解方程的数值方法：不本实验主要引见一些有效的求解方程的数值方法：不动点迭代法动

2、点迭代法 和和 牛顿法。同时要求大家学会如何利用牛顿法。同时要求大家学会如何利用 Matlab 来求方程的近似解来求方程的近似解l 问题背景和实验目的问题背景和实验目的代数方程近似求解代数方程近似求解(教材第教材第 92-94页页)相关概念相关概念( )0f x l 假设假设 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为线性方程；是一次多项式，称上面的方程为线性方程；否那么称之为非线性方程否那么称之为非线性方程l 线性方程线性方程 与与 非线性方程非线性方程本实验主要讨论非线性方程的数值求解本实验主要讨论非线性方程的数值求解内容提要内容提要n 求解非线性方程的数值算法求解非线性方程的数值算法l 牛顿

3、迭代法牛顿迭代法l 不动点迭代法不动点迭代法不动点迭代法不动点迭代法l 构造构造 f (x) = 0 的一个等价方程：的一个等价方程： ( )xx l 从某个近似根从某个近似根 x0 出发，计算出发，计算得到一个迭代序列得到一个迭代序列 0kkx 1()kkxx k = 0, 1, 2, . . (x) 的不动点的不动点f (x) = 0 x = (x)等价变换等价变换f (x) 的零点的零点l 不动点迭代根本思想不动点迭代根本思想假设假设 收敛，即收敛，即 ，假设，假设 (x) 延续，那么延续，那么l 收敛性分析收敛性分析迭代法的收敛迭代法的收敛 1limlim()limkkkkkkxxx

4、lim*kkxx *x( *)x kx*( *)xx ( *)0f x 即即注：假设得到的点列发散，那么迭代法失效！注：假设得到的点列发散，那么迭代法失效！例：用迭代法求例：用迭代法求 x3 - 3x + 1 = 0 在在 0, 1 中的解。中的解。fuluA.mq 定义：定义：迭代法收敛性判别迭代法收敛性判别q 定理定理 2：假设定理：假设定理 1 的条件成立，那么有如下估的条件成立，那么有如下估计计10|* |1kkqxxxxq 11|* |1kkkxxxxq 假设存在假设存在 x* 的某个的某个 邻域邻域 =(x*- , x* + ), 使使得对得对 x0 开场的迭代开场的迭代 xk+1

5、 = (xk) 都收敛都收敛, 那么称该迭代法在那么称该迭代法在 x* 附近部分收敛。附近部分收敛。q 定理定理 1：设设 x* = (x*)， (x) 在在 x* 的某个的某个 邻域邻域 内内延续，且对延续，且对 x 都有都有 | (x)| q 1, 那么对那么对 x0 ，由迭代，由迭代 xk+1 = (xk) 得到的点列收得到的点列收敛敛迭代法收敛性判别迭代法收敛性判别10|* |1kkqxxxxq q 定理定理 3：知方程知方程 x = (x)，且，且(1) 对对 x a, b，有，有 (x) a, b；(2) 对对 x a, b，有，有| (x)| q 1；q 越小，迭代收敛越快越小，

6、迭代收敛越快 (x*) 越小，迭代收敛越快越小，迭代收敛越快那么对那么对 x0a, b ，由迭代，由迭代 xk+1 = (xk) 得到的得到的点列都收敛，且点列都收敛，且牛顿迭代法牛顿迭代法000()()()f xfxxx 令：令：( )0P x 000()()f xxxfx0()0)fx l 牛顿法根本思想牛顿法根本思想 用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法20000( )( )()()()()2!ff xf xfxxxxx l 设非线性方程设非线性方程 f (x)=0 , f (x) 在在 x0 处的处的 Taylor 展开为展开为( )

7、P x牛顿法迭代公式牛顿法迭代公式l 牛顿迭代公式牛顿迭代公式000()()f xxxfx1()()kkkkf xxxfx k = 0, 1, 2, . . l 牛顿法的收敛速度牛顿法的收敛速度( )( )( )f xxxfx 令令2( )( )( )( )f x fxxfx 牛顿法至少二阶部分收敛牛顿法至少二阶部分收敛当当 f (x*) 0 时时 (x*)=0 (x) 即为牛顿法的迭代函数即为牛顿法的迭代函数例：用牛顿法求例：用牛顿法求 x3 - 3x + 1 = 0 在在 0, 1 中中的解。的解。fuluB.m牛顿法迭代公式牛顿法迭代公式l 牛顿法的优点牛顿法的优点l 牛顿法是目前求解非

8、线性方程牛顿法是目前求解非线性方程 (组组) 的主要方法的主要方法至少二阶部分收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点至少二阶部分收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点充分接近准确解时。充分接近准确解时。l 牛顿法的缺陷牛顿法的缺陷l 对重根收敛速度较慢线性收敛对重根收敛速度较慢线性收敛l 对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解在实践计算中，可以先用其它方法获得真解的一个粗在实践计算中，可以先用其它方法获得真解的一个粗糙近似，然后再用牛顿法求解。糙近似，然后再用牛顿法求解。Matlab 解方程函数解方程函数roots(p)：多项式的一切零点，：多项式的一切零点，

9、p 是多项式系数向是多项式系数向量量fzero(f,x0)：求：求 f(x)=0 在在 x0 附近的一个根，附近的一个根，f 是函数句柄，可以经过内联函数，匿名函数或函是函数句柄，可以经过内联函数，匿名函数或函数文件来定义，但不能是方程或符号表达式！数文件来定义，但不能是方程或符号表达式！solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，：求方程关于指定自变量的解，f 是是符号表达式或符号方程；符号表达式或符号方程； solve 也可解方程组也可解方程组 (包含非线性包含非线性) 得不到解析解时，给出数值解得不到解析解时，给出数值解linsolve(A,b)：解线性方程组：解线性方程组上机作业与要求上机作业与要求l 分