理论力学习题质点动力学基本方程.

1、第9章质点动力学基本方程 105 - 107 第9章质点动力学基本方程、是非题（正确的在括号内打“，”、错误的打“X”）1 .凡是适合于牛顿三定律的坐标系称为惯性参考系。2 . 一质点仅受重力作用在空间运动时，一定是直线运动。（X ）3 .两个质量相同的物体，若所受的力完全相同，则其运动规律也相同。（x ）4 .质点的运动不仅与其所受的力有关，而且还和运动的初始条件有关。（V ）5 .凡运动的质点一定受力的作用。（X ）6 .质点的运动方向与作用于质点上的合力方向相同。（x ）、填空题1 .质点是指大小可以忽略不计,但具有一定 质量的物体。 d 2s2 .质点动力学的基本方程是ma=£

2、; Fi ,写成自然坐标投影形式为m器=£ F dt22m、Fn 0 =工 Fb。1-3 .质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。Vo为初速度，b4 .质量为m的质点沿直线运动，其运动规律为x =bln（1 +至），其中b为常数。则作用于质点上的力F = 一 mbv0 2（b油5 .飞机以匀速v在铅直平面内沿半径为r的大圆弧飞行。飞行员体重为P,则飞行员2一 ，一 .V对座椅的最大压力为 P（1 +）。gr三、选择题1 .如图9.6所示，质量为m的物块A放在升降机上，当升降机以加速度a向上运动时，物块对地板的压力等于 （B ）。（A） mg m（g a）（C） m（g - a）（

3、D）02 .如图9.7所示一质量弹簧系统，已知物块的质量为m ,弹簧的刚度系数为 c,静伸长量为大，原长为lO,若以弹簧未伸长的下端为坐标原点，则物块的运动微分方程可写成(B )。c(A) x x =0 mc(C) x (x-、s)=g m3.在介质中上抛一质量为c(B) x (x-、s) =0 mc(D) x (x q ns) = 0mm的小球，已知小球所受阻力=-kv上升段（A ）,下降段坐标选择如图9.8所示，试写出上升段与下降段小球的运动微分方程,(B) mx = -mg kx(D) -mx 二-mg kx(A)。，(A) mx = -mg - kx图9.7(C) -mx = -mg

4、- kx图9.8四、计算题9-1质量为m的物体放在匀速转动的水平转台上，它与转轴的距离为r,如图9.9所示。设物体与转台表面的摩擦系数为f，求当物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速。解：选物块为研究对象，受力分析如图所示。应用自然坐标形式的质点动力学微分方程， 有Fn -mg =0一 2 mr ' = Fs根据静滑动摩擦定律，有Fs< fFN，代入上式，有即物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速为_ gfmax - . r9-2如图9.10所示离心浇注装置中，电动机带动支撑轮A、B作同向转动，管模放在两轮上靠摩擦传动而旋转。铁水浇入后，将均匀地紧贴管模的内壁而自动成

5、型，从而可得 到质量密实的管形铸件。如已知管模内径D =400mm ,求管模的最低转速 n °图9.9图 9.10解：要使铁水浇入后能均匀地紧贴管模的内壁，管模转动时要有一定的转速。为求管 模的最低转速，可选管模内最上端的一微段铁水为研究对象。在临界转速下，铁水不受内壁作用，其只受重力作用。受力分析如图所示。列质点动力学微分方程，有D 2m=mg解得0 =/图=7(rad /s), D管模的最低转速n为7 30n 二=67(r/ min)9-3物体自地球表面以速度 %铅直上抛。试求该物体返回地面时的速度V1。假定空气阻力R =mkv2,其中k是比例常数，按数值它等于单位质量在单位速度

6、时所受的阻力。m是物体质量，v是物体的速度，重力加速度认为不变。解：物块在上升的过程中，其运动过程如右图(a)所示。应用质点运动微分方程，有dv, 2m- = -mg -mkvdt. dv dv dxdv而 一 二一，一 =v,所以上式可以写成dt dx dtdxdv2Vg kv)图(a)而坐标由0变成h。两边积分,vdv ,2 二-dxg kv物体自地球表面铅直上抛到最高点，其速度由v0变成0,有0 vdv h 2 二一dxVo g kv 0这样有1h = ln(12k物块在下落的过程中，其运动过程如右图 微分方程，有g(b)所示。应用质点运上式可写成dvm 一 = mg - mkv dtv

7、VI 1图(b)vdv ,2 二 dxg -kv物体自最高点下落到地面，其速度由0变成必，而坐标由“ vdv h.2 二 dx0 g - kv200变成h。两边积分，有解得这样，有1h = ln2k21kv0ln(1 - 2kg解得V0v1 ： 2,1 kv09-4静止中心O以引力F =k2mr吸引质量是m的质点M，其中k是比例常数，r =OM 是点M的矢径。运动开始时OM0 =b ,初速度为v0并与O冠 的夹角为a ,如图9.11所示。求质点M的运动方程。解：应用直角形式的质点运动微分方程，有d2x m dt2d2y m-2-dt22. 2=-F cos 71 - -k mrcosi - -

8、k mx22-F sin t1 - -k mr sin 二-k my上面两式可分别写为,2,2d x,2 cd y,2+k x =0 , -2- +k y =0dt2dt2其微分方程的通解可写为x =A1coskt+B1sin kt ,y =A2coskt+B2sin kt代入初始条件xtzDdx dt=v0cosct, yt=0=0, dy t田dt=v0 sincet =0可解得vo空82=堡妈kk质点M的运动方程可写为V0COs： x =bcoskt -V0sin：-sin kt , y =sin ktk9-5如图9.12所示，胶带运输机卸料时， 物料以初速度V0脱离胶带，设V0与水平线

9、的 夹角为0(o求物体脱离胶带后，在重力作用下的运动方程。解：建立如图所示的坐标系。物料脱离胶带后只受重力作用，应用质点运动微分方程，有d2x m0- =0, dt2吟=。,dt2小g dt2第9章质点动力学基本方程- # 其微分方程的通解可写为-12-x=At+B, y = gt +Ct+D代入初始条件xt z0 =0dxdtt =0=v0cosc(, yt=0=0,dydt=v0sinat包可解得A =v0 cosot, 物料脱离胶带后的运动方程可写为B =0 , C =v0 since,D =01 2 一一 gt - v0tsin :2o o图 9.129-6滑翔机受空气阻力 R = -

10、kmv作用，其中k为比例系数，m为滑翔机质量,V为滑翔机的速度。在t =0时，有v=v0,试求滑翔机由瞬时 设滑翔机是沿水平直线飞行的 ）。解：滑翔机可视为质点，不妨假设滑翔机由瞬时 应用质点的运动微分方程，有t = 0到任意时刻t所飞过的距离 （假t=0到任意时刻t所飞过的距离为d2sm2dt=-k m v上式可写为dv=-kv dt上面微分方程的通解为ktv =Ce即4Ce*,解得代入初始条件tm =0，ds dtt =0二 v0可解得C =v0 , D =v0k滑翔机由瞬时t=0到任意时刻t所飞过的距离为v0电s=T(1_e )9-7 物体质量 m=10kg ,在变力 F =100(1t

11、)牛顿作用下运动。设物体初速度 vo=0.2m/s,开始时力的方向与速度方向相同。问经过多少时间后物体速度为零，此前走 了多少路程？解：初始时力的方向与速度方向相同，而且以后变力只是大小改变而方向并未改变， 可见物体作变速直线运动。以开始运动时为坐标原点，沿运动方向取坐标轴。应用质点运 动微分方程，有m，10Q.t)dt225 3_s =5t2 t3 Ct D3即 d2 =10(1 _t),解得 dt2代入初始条件t4 =0，dsdt=v0 t =0解得物体的运动方程可写为物体的运动速度为C =v0 =0.2 , D =0_ 2 5 3 一s =5t2 t3 02t3图 9.13- 109 d

12、s2一 二10t-5t0.2dt令物体速度为零，即10t 5t2 +0.2 =0 ,解得t=2.02s,此时，物体的运动的路程为s=5t2 -5t3 +0.2t=7.07mt 3.02Q3 t =2.029-8质量为2kg的滑块M在力F作用下沿杆 AB运动，杆AB在铅直平面内绕 A转动， 如图9.13所示。已知s=0.4t,5=0.5t (s的单位为 m,中的单位为rad, t的单位为s),滑 块与杆AB的摩擦系数为f =0.1 。试求t =2s时力的大小。第9章质点动力学基本方程- # 解：(1)选滑块M为研究对象，受力分析如图(a)所示。(2)选滑块M为动点，杆 AB为动系，由a ax +

13、aay =a n +a+ak作M的加速度合 成图如图(b)所示。列aax投影方程有naax ar - aed 2s其中：在 t=2s 时，ar=0, an=AM 2 =0.8 M0.52 =0.2m/s2 ,故有dt2aax =ar an =-0.2m/s2列a ay投影方程有aay = akds2其中：在 t =2s时，vr = =0.4m/s , ak =2®vr =2乂 0.5 M0.4 =0.4m/ s ,故有 dt2aay =ak =0.4m/s(3)应用质点运动微分方程，有F -Fs-mg sin 中= maax , FN-mg cos邛=maay其中：当t=2s时，中=

14、1rad , Fs = fFN，代入上式，可得F = Fs -mg sin 匚-maCx =17.2( N)9-9质量为m的小球C,用两根长为L的细长杆支持，如图 9.14所示。球和杆一起以 匀角速度与绕铅垂轴AB转动，设AB = 2a,不计杆自重，求各杆所受的力。FCA图 9.14解：(1)由于球和杆一起以匀角速度与绕铅垂轴AB转动，球具有向心加速度aC如图(a)所示。该加速度大小为n 2, 222aC = r = L - a 1(2)选小球C为研究对象，受力分析如图(b)所示。(3)应用质点运动微分方程，有Fca sin 二-Fcb sin【-mg = 0FCA cos 二 Fcb cos

15、- maCL2 -a2其中：sinH=a, cos0=-，代入上式，可得LLl mL, 2mL , 2、Fca =一(0 a +g) , Fcb =一 a -g)2a2a9-10如图9.15所示，电机 A重量为0.6kN,通过连接弹簧放在重量为5kN的基础上，弹簧的重量不计。电机沿铅垂线以规律y =Bcos且t作简谐运动。式中振幅B=0.1cm,周T期T =0.1s,试求支撑面CD所受压力的最大值和最小值。图 9.15图 9.16- 111 解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。应用质点运动微分方程，有G1'Fn - G1 - G2 yg解得L c G G1 4 二2B2 二,FN

16、=G1 G2cos tg T2T其中：G1 =0.6kN , G2 =5kN , B =0.001, T=0.1。计算可得支撑面 CD所受压力的最大 值和最小值分别为F N maxG1 4 二2B二Gi G2 15.84kNg T2FNmin =Gi G2_2 _G1 4 二 2Bg T2= 5.36kN9-11如图9.16所示，在三体ABC的粗糙斜面上放有重为 W的物体M ,三棱体以匀 加速度a沿水平方向运动。为使物件 M在三棱体上处于相对静止，试求 a的最大值，以及 这时M对三棱体的压力。假设摩擦系数为 f ,并且f <tgo(。解：(1)物件M在三棱体上处于相对静止，物件M加速度和三棱体的加速度 a一致如图(a)所示。(2)选物件M为研究对象，受力分析如图 (b)所示。应用质点运动微分方程，有WFn sin 二：, Fs cos- =一 a gFn cos：- Fssin-W =0 106 理论力学其中：Fs=fFN,解得sin.二 + f cos :;a 二gcos :f sin isWc o s; - f s i n9-12质量为m的质点受到已知力作用沿直线运动，该力按规律F=FoCos应变化，其中Fo,缶