自动控制原理第二章

1、 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/21第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/22本章主要内容：本章主要内容：2-1 2-1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换2-2 2-2 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型2-3 2-3 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型2-4 2-4 控制系统结构图和信号流图控制系统结构图和信号流图2-5 2-5 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/2321 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 拉普拉斯（拉普拉

2、斯（laplace）变换简称为拉氏变换，是）变换简称为拉氏变换，是一种用来简化常系数微分方程求解过程的运算方法。一种用来简化常系数微分方程求解过程的运算方法。一、定义一、定义 若将实变量若将实变量t的函数的函数f (t)，其中，其中s=+j，s是一是一个复变量，在个复变量，在0到到之间对之间对t进行积分，就得到进行积分，就得到一个新的函数一个新的函数F(s)。F(s)称为称为f(t)的拉氏变换，的拉氏变换，可用符号可用符号Lf(t)表示。表示。 0 )()()(dtetftfLsFst常称常称F(s)为为f(t) 的的变换函数变换函数或或象函数象函数，而，而f(t)为为F(s) 的的原函数原函

3、数。 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/24例例1、求单位阶跃函数的拉氏变换、求单位阶跃函数的拉氏变换解：解： 0 )( 1 )(dtetLsFstsesst110 )()( )()(2211sFtfLsFtfL二、拉氏变换定理二、拉氏变换定理（1）线性定理。两个函数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换）线性定理。两个函数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的和，即：的和，即：)()()()()()(212121sFsFtfLtfLtftfL函数放大倍的拉氏变换等于函数拉氏变换的倍，即：函数放大倍的拉氏变换等于函数拉氏变换的倍，即：)()(sKFtKfL 第二章第二章 控制系

4、统数学模型控制系统数学模型2021/8/25)0()0()0()()()0()0()()()0()()(121222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdLfssFdttdfL（2）微分性质）微分性质)()(sFtfL若:0)0()0()0()1(nfff当：)()()(2)()()(22sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfLnnn 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/26（2）积分性质）积分性质0)(1)(1)(tdttfssFsdttfL)(1)()(1)()(1)(22sFsdttfLsFsdttfLsFsdttfLnn 若

5、:)()(sFtfL当初始条件为当初始条件为0，则有：，则有： 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/27（4）位移定理）位移定理)(lim)(lim)0(0ssFtffst存在)(limssFs若:)()(sFtfL)()()()(00sFtfeLsFetfLts（5）初值定理）初值定理)()(sFtfL若若:（6）终值定理）终值定理)()(sFtfL若若:)(lim)(lim)(0ssFtffst 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/28例例2、求下列函数的拉氏变换。、求下列函数的拉氏变换。 （1） （2） （3）)cos1 (2)(ttf)3

6、5sin()(ttftnettf)() 1(2)11(2)cos1 (222ssssstL解：（1）)25(2352523255215cos235sin21)35sin(222sssssttLtL（2）（3）1)(!ntnsnetL 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/29二、拉氏反变换二、拉氏反变换)()(sFtf拉氏变换jjstdsesFjtf)(21)()()(tfsF拉氏反变换 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/210 nnnnmmnasasasbsbsbsF111110 拉氏变换的一般式：)np).(sp)(s(s-p)z).(sz)

7、(s(s-zk F(s)m2121的形式，则 和 为F(S)的零点和极点。mZZZZ321,nPPPP321,式子可以写成式子可以写成 ： 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/2111、只包含互异极点的反变换。npsnApsApsA F(s)2211式中， 为常数，nAAAA321,的留数。称为iipsA1ipssFssFsipsiAiipp)()()()(lim tpntptpnnneAeAeApsALpsALpsALsFLtf212112211111)()( 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/212的拉氏反变换求例342)(32ssssF3

8、1) 3)(1(2)(21sAsAssssF解：21) 1()3)(1(211sssssA21)3()3)(1(232sssssAtteetfLtf312121)()(,321121)(sssF 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/213)P).(SP(Sr)(S-P)Z).(SZ)(S(S-ZkF(S)nrm1021 2、包含重极点时的反变换。npsnArpsrApsrArpsArpsA11001)0(02)0(01F(S) 展开部分分式：0)()0(11)!1(10 pssFrpsidsidiiA)!1(111ntsLnntpntprtprrrnreAeAeAtrA

9、trAsFLtf10102021011)!2()!1()()( 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/214的拉氏反变换求例)1()2(3)(42ssssF12)2() 1()2(3)(3022012sAsAsAssssF解：1)2() 1()2(322201sssssA2)2() 1()2(322202sssssdsdA2) 1() 1()2(3123sssssAttteetetfLtf22)()(221 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/215的拉氏反变换求例)1)(2()(52ssssF1) 1()2)(1(121sssssA21)2)(1

10、()(212sAsAssssF解：4)2()2)(1(221sssssA)2)(1(2411)(2ssssssF 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/216 )2)(1(1) 1)(1()2)(1(11)2)(1()(22sssssssssssF解：)2)(1(1232)2)(1(121ssssssss24111211123-1 ssssstteettfLtf214)()()( 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/217的拉氏反变换求例)1(1)(62sssssF11)1(1)(22sssssssssF解：2222)23()21(1)23(411

11、sssssss22)23()21(21211sss2222)23()21(2331)23()21(211ssss)60866. 0sin(1.151 23sin3123cos1)()(2121211tetetetfLtfttt 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/218引言引言 定义：定义： 描述控制系统输入和输出之间关系的数描述控制系统输入和输出之间关系的数学表达式即为数学模型。学表达式即为数学模型。 用途：用途： 1 1）分析分析控制系统控制系统 2 2）设计控制系统）设计控制系统2-2 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型 为什么要建立数学模型？为什么要建

12、立数学模型？ 对于控制系统的性能，只是定性地了解系统的工作原对于控制系统的性能，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/219 表达形式：表达形式：线性系统线性系统传递函数传递函数微分方程微分方程频率特性频率特性拉氏拉氏变换变换傅氏傅氏变换变换时域：微分方程、差分

13、方程、状态方程时域：微分方程、差分方程、状态方程复域：传递函数、动态结构图、信号流图复域：传递函数、动态结构图、信号流图频域：频率特性频域：频率特性 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/220分析法分析法 分析法是对组成系统各环节的运动机理进行分析，根据分析法是对组成系统各环节的运动机理进行分析，根据各环节所遵循的物理学定律、化学定律等来列写系统的微分各环节所遵循的物理学定律、化学定律等来列写系统的微分方程。方程。例如机械系统的牛顿定律、电气系统的基尔霍夫定律例如机械系统的牛顿定律、电气系统的基尔霍夫定律和热力学系统中的热力学定律等。和热力学系统中的热力学定律等。 实验

14、法实验法 实验法是根据实际系统的输入输出数据，用适当的数学实验法是根据实际系统的输入输出数据，用适当的数学模型去拟合这些数据，这种方法称为系统辨识。模型去拟合这些数据，这种方法称为系统辨识。 建立控制系统数学模型建立控制系统数学模型 的方法：的方法： 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/221一、系统微分方程的建立一、系统微分方程的建立步骤：步骤： 1、确定系统的输入量与输出量、确定系统的输入量与输出量 2、为建立入、为建立入出的关系，寻找中间变量出的关系，寻找中间变量 3、总变量数目为、总变量数目为n,则需列写则需列写n-1个独立方程（根据物个独立方程（根据物 理规律

15、列写）理规律列写） 4、从、从n-1个独立方程中消去各中间变量，从而建立个独立方程中消去各中间变量，从而建立 入入-出的关系。出的关系。 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/222例例1 电学系统电学系统其中：电阻为其中：电阻为R，电感为，电感为L，电容为电容为C。解：解：dttduCtitutuRtidttdiLcic)()()()()()()()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc系统的微分方程：系统的微分方程：+-)(tur)(tucRLCi+-1、确立入、确立入-出，入出，入-Ur(t),出出Uc(t)； 2、中间变量、中间变量i(t) 3

16、、n=3，需列写，需列写n-1=2个独立方程个独立方程 4、消去中间变量、消去中间变量i(t),整理后得：整理后得： 线性定常二阶微分方程式线性定常二阶微分方程式 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/223kF(t)mfy(t)例例2、 设一弹簧、质量块、阻设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，尼器组成的系统如图所示，当外力当外力F(t)作用于系统时，系作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的位移与质量块的位移y(t)之间之间的微分方程。的微分方程。解：解： 1、确立入、确立入-出，入出，入-F(t),出出y(t)； 2、

17、根据牛顿定律，、根据牛顿定律，F=maF=ma；22)()()()(dttydmdttdyftkytF 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/224 移项后，可得到：移项后，可得到： )()()()(22tFtkydttdyfdttydm 线性定常二阶微分方程式线性定常二阶微分方程式 )()()()(22tUrtUcdttdUcRCdttUcdLC 对照比较：对照比较： ktFtydttdykfdttydkm)()()()(22 相似系统相似系统 相似量：相似量： k1 f m kF C R L yUUrc 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/22

18、5二、线性系统的特性二、线性系统的特性 线性系统是由线性元件组成的系统，该系统的运动方程式可线性系统是由线性元件组成的系统，该系统的运动方程式可由线性微分方程描述，即：由线性微分方程描述，即： )()()()()()()()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn1、齐次性、齐次性2、叠加性、叠加性)()()()( )()( )()(21212211tctctrtrtctrtctr)()( )()(1111tActArtctr 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/226三、线性定常

19、微分方程的解三、线性定常微分方程的解 例例3、 在例在例1中，若已知中，若已知L1H，CIF，Rl，且电容上，且电容上初始电压初始电压uo(0)=0.1V，初始电流，初始电流i(0)=0.1A，电源电压，电源电压ui(t)= 1V。试求电路突然接通电源时，电容电压试求电路突然接通电源时，电容电压uo(t)的变化规律。的变化规律。解解 在例在例1 1中得网络微分方程为中得网络微分方程为 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/227对网络微分方程两边求拉氏变换并代入已知数据，经整理后有对网络微分方程两边求拉氏变换并代入已知数据，经整理后有 在上式中，前两项是由网络输入电压产生

20、的输出分在上式中，前两项是由网络输入电压产生的输出分量，与初始条件无关，故称为量，与初始条件无关，故称为零状态响应零状态响应；后一项则是由；后一项则是由初始条件产生的输出分量，与输入电压无关，故称为初始条件产生的输出分量，与输入电压无关，故称为零输零输入响应入响应，它们统称为网络的单位阶跃响应。，它们统称为网络的单位阶跃响应。 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/228用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程可归结如下：用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程可归结如下：考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程

21、转换为变量拉氏变换，将微分方程转换为变量s s的代数方程；的代数方程；由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。时域表达式，即为所求微分方程的解。 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/229四、非线性微分方程的线性化四、非线性微分方程的线性化y=f(x)0)(xxfy0 x0 xy小偏差线性化示意图小偏差线性化示意图例如，设非线性函数例如，设非线性函数y=f(x)如图所示，其输入量为如图所示，其输入量为x，输出量

22、为输出量为y，如果在给定工，如果在给定工作点作点y0=f(x0)处各阶导数均处各阶导数均存在，存在，则在则在y0=f(x0)附近将附近将y展开展开成泰勒级数：成泰勒级数：202200)()(! 21)()()()(00 xxxxfxxxxfxfxfyxx 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/230如果偏差如果偏差x=x-x0很小，则可忽略级数中高阶无穷小项，很小，则可忽略级数中高阶无穷小项，上式可写为上式可写为xKxxxxfxfxfyyyxxxxfxfxfyxx)()()()()()()()(00000000)(xxxfK式中K表示表示y=f(x)曲线在曲线在(x0,y

23、0)处切线的斜率。因此非线性函数处切线的斜率。因此非线性函数在工作点处可以用该点的切线方程线性化。在工作点处可以用该点的切线方程线性化。 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/231在处理线性化问题时，需要在处理线性化问题时，需要注意注意以下几点：以下几点： 1.1.上述的线性化是针对元件的某一工作点进行的，工作点上述的线性化是针对元件的某一工作点进行的，工作点不同，得到的线性化方程的系数也将不同。因此在线性化时必不同，得到的线性化方程的系数也将不同。因此在线性化时必须确定元件的工作点。须确定元件的工作点。 2.2.在线性化过程中，略去了泰勒级数中二阶以上的无穷小在线性化

24、过程中，略去了泰勒级数中二阶以上的无穷小项，如果实际系统中输入量变化范围较大时，采用小偏差法建项，如果实际系统中输入量变化范围较大时，采用小偏差法建立线性模型必然会带来较大的误差。立线性模型必然会带来较大的误差。 3.3.如果描述非线性特性的函数具有间断点，折断点或非单如果描述非线性特性的函数具有间断点，折断点或非单值关系而无法作线性化处理时，则控制系统只能应用非线性理值关系而无法作线性化处理时，则控制系统只能应用非线性理论来研究。论来研究。 4.4.线性化后的微分方程通常是增量方程，在实用上为了简线性化后的微分方程通常是增量方程，在实用上为了简便通常直接采用便通常直接采用y y和和x x来表

25、示增量。来表示增量。 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/2322-3 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型一、传递函数的定义和性质一、传递函数的定义和性质 线性定常系统在线性定常系统在零初始条件下零初始条件下，输出量的拉氏变换，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。若线性定常系统的微分方程为若线性定常系统的微分方程为)()()()()()()()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn在初始条件为零时，

26、对上式进行拉氏变换，得：在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换，得：)()(01110111sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/233根据传递函数的定义，该线性定常系统的传递函数为根据传递函数的定义，该线性定常系统的传递函数为01110111)()()(asasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm传递函数的性质：传递函数的性质：)()()(sRsGsC1.传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态特传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态特性，它只与系统的结构和参数有关，与输入信号

27、和初始条件无关。性，它只与系统的结构和参数有关，与输入信号和初始条件无关。2.传递函数是复变量传递函数是复变量s的有理分式函数，其分子多项式的次数的有理分式函数，其分子多项式的次数m低于低于或等于分母多项式的次数或等于分母多项式的次数n，即，即mn。且系数均为实数。且系数均为实数。3.传递函数与微分方程有相通性。传递函数与微分方程有相通性。4.传递函数的拉氏反变换是脉冲响应传递函数的拉氏反变换是脉冲响应g(t)。 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/234例例3、 求网络的传递函数。求网络的传递函数。1R2RCCrUcU1i2ii解：解： 引进中间变量：引进中间变量：i

28、1i2i列写四个独立方程：列写四个独立方程：212121112210111iiiiRdtiCUdtiCdtiCRiiRdtiCUcr)()(1)(22sIRsICssUr0)(1)(1)(2111sICssICssIR)()(1)(21sIRsICssUc)()()(11sIsIsI 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/235消去中间变量，可得：消去中间变量，可得：1)2(12)()()(21222122221RRCssCRRCsRsCRRsUsUsGrc二、传递函数的零点和极点二、传递函数的零点和极点niimjjrnmrpszsKpspspszszszsKsG1121

29、21)()()()()()()(niimjjnmsTsKsTsTsTsssKsG112121) 1() 1() 1() 1)(1() 1() 1)(1()( 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/236二、典型环节的传递函数二、典型环节的传递函数 一个物理系统是由许多元件组合而成的，虽然元件的结构和一个物理系统是由许多元件组合而成的，虽然元件的结构和作用原理多种多样，但若考察其数学模型，却可以划分成为数不作用原理多种多样，但若考察其数学模型，却可以划分成为数不多的几种基本类型，称之为典型环节。这些环节是比例环节、惯多的几种基本类型，称之为典型环节。这些环节是比例环节、惯性

30、环节、积分环节、振荡环节、微分环节和滞后环节。性环节、积分环节、振荡环节、微分环节和滞后环节。1、比例环节、比例环节)()(tKrtc 式中式中c(t)为输出量，为输出量，r(t)为输入量，为输入量，K为放大系数（或增）。为放大系数（或增）。比例环节的传递函数为：比例环节的传递函数为：KsRsCsG)()()( 比例环节的输出量能够既不失真又不延迟地反映输入量的变比例环节的输出量能够既不失真又不延迟地反映输入量的变化，下图给出比例环节的实例。化，下图给出比例环节的实例。 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/237结构图：结构图：)(sR)(sCt)(tc)(tc)(tr

31、1Ai0R0R1i1uruc+- 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/2382.惯性环节惯性环节惯性环节又称非周期环节，其输入、输出间的微分方程为惯性环节又称非周期环节，其输入、输出间的微分方程为1)()()()()()(TsKsRsCsGtKrtcdttdcT传递函数为结构图：结构图：)(sR)(sC 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/239t)(tc1TT2T3635.0856.095.0RCuruc 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/2403.积分环节积分环节积分环节的微分方程是积分环节的微分方程是dttrTtc

32、)(1)(TssKsRsCsG1)()()(传递函数为ssR1)()(1)(ttr2111)()()(TsTsssGsRsCTtsCLtc)()(1t)(tc1Tt而而T称为积分时间常数。称为积分时间常数。)(sR)(sC 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/2414.微分环节微分环节理想微分环节的微分方程为理想微分环节的微分方程为dttdrtc)()(ssRsCsG)()()(传递函数为式中式中 为微分时间常数。为微分时间常数。)(sR)(sCCARuruc+- 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/242ssR1)()(1)(ttrsssGsR

33、sC1)()()()()()(1tsCLtcCARuruc+-RCuruc 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/2435.振荡环节振荡环节振荡环节的微分方程是振荡环节的微分方程是)()()(2)(222trtcdttdcTdttcdT12)()()(22TssTKsRsCsG传递函数为式中式中T为时间常数，为时间常数， 为阻尼为阻尼比，对振荡环节有比，对振荡环节有 0 1 当输入为单位阶跃函数时，当输入为单位阶跃函数时，可用拉氏变换求得环节的输可用拉氏变换求得环节的输出响应，如右图所示出响应，如右图所示 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/244

34、6.滞后环节滞后环节 当输入作用到环节以后，其输出量要等待一段时间当输入作用到环节以后，其输出量要等待一段时间 后，才能后，才能复现输入信号，在时间复现输入信号，在时间0到到 的时间内，输出量为零，这种具有延的时间内，输出量为零，这种具有延时效应的环节称为纯滞后环节。滞后环节的数学表达式为时效应的环节称为纯滞后环节。滞后环节的数学表达式为:)()()()()( sesRsCsGtrtc传递函数为 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/245 上述各典型环节，是从数学模型的角度来划分的。它们是系统传递函数的上述各典型环节，是从数学模型的角度来划分的。它们是系统传递函数的最基

35、本的构成因子。在和实际元件相联系时，应注意以下几点：最基本的构成因子。在和实际元件相联系时，应注意以下几点： 系统的典型环节是按数学模型的共性来划分的，他与系统中使系统的典型环节是按数学模型的共性来划分的，他与系统中使用的元件并非都是一一对应的，一个元件的数学模型可能是若干用的元件并非都是一一对应的，一个元件的数学模型可能是若干个典型环节的数学模型的组合。而若干个元件的数学模型的组合个典型环节的数学模型的组合。而若干个元件的数学模型的组合也可能就是一个典型的数学模型。也可能就是一个典型的数学模型。 同一装置（元件），如果选取的输入、输出量不同，它可以成同一装置（元件），如果选取的输入、输出量不

36、同，它可以成为不同的典型环节。如直流电动机以电枢电压为输入、转速为输为不同的典型环节。如直流电动机以电枢电压为输入、转速为输出时，它是一个二阶振荡环节。但若以电枢电流为输入、转速为出时，它是一个二阶振荡环节。但若以电枢电流为输入、转速为输出时，它却是一个积分环节。输出时，它却是一个积分环节。 在分析和设计系统时，将被控对象（或系统）的数学模型进行在分析和设计系统时，将被控对象（或系统）的数学模型进行分解，就可以了解它是由哪些典型环节所组成的。因而，掌握典分解，就可以了解它是由哪些典型环节所组成的。因而，掌握典型环节的动态特性将有助于对系统动态特性的分析研究。型环节的动态特性将有助于对系统动态特

37、性的分析研究。 典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述的系统。典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述的系统。 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/246 2-32-3 控制系统的结构图与信号流图控制系统的结构图与信号流图 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/247一、结构图的基本组成一、结构图的基本组成1.1.信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，且信号只能单向传输。且信号只能单向传输。3.3.比较点：表示两个或多个信号在此代数相加。其中比较点：表示两个或多个信号在此代

38、数相加。其中“+”+”号号表示相加，表示相加，“-”-”表示相减。表示相减。2.2.信号引出点：表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出信号引出点：表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质上完全相同。的信号在数值和性质上完全相同。)(sU)(tu)(tu)(sU)(tu)(sU)(tr)(sR)(sU)(tu)()(sRsU)()(trtu 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/2484 4、方框（环节）：表示对信号进行数学变换。框内写入传递方框（环节）：表示对信号进行数学变换。框内写入传递函数，方框的输出等于方框的输入与传递函数的乘积。函数，方框的输出

39、等于方框的输入与传递函数的乘积。)(sR)()()(sRsGsC二、结构图的绘制二、结构图的绘制1 1、首先写出各个环节的传递函数；、首先写出各个环节的传递函数；2 2、绘制各个环节的结构图；、绘制各个环节的结构图；3 3、按照信号传递的方向把各个方框依次连接起来。、按照信号传递的方向把各个方框依次连接起来。 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/249例例1 1、绘制网络的结构图、绘制网络的结构图)(sUr)(sUci1i2i解：解： 引进中间变量：引进中间变量：i1i2i列写四个独立方程：列写四个独立方程：1111)()()(1RsUsUsIRiUUcrcr、)()(

40、)(2112112sCsIRsIdtRidCi、)()()(32121sIsIsIiii、)()(422sIRsUiRucc、 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/250根据信号传递的方向，用信号线将各个方框依次连接起来：根据信号传递的方向，用信号线将各个方框依次连接起来：CsCs)()(2121212RRRRRRRsUsUrc结果： 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/251例例2 2、在如在如图图滤波电路中，输入电压为滤波电路中，输入电压为u ur r，输出电压为，输出电压为u uc c，试，试画出其结构图。画出其结构图。 222212111

41、111143)(121.1:icdtduuiRuiicdtduuiRucccccr、列写各元件的微分方程解)(1)(4)()()(3)()(1)(2)()()(1222212111111sICssUsUsIRsUsIsICssUsUsIRsUcccccr、 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/252)(1)(4)()(1)(3)()(1)(2)()(1)(1221222111111sIsCsUsUsURsIsIsIsCsUsUsURsIcccccr、 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/2531)CCC(sCC1)()(21221122121sR

42、RRRRsUsUrc结果：三、结构图的等效和简化三、结构图的等效和简化 结构图变换应按等效原理进行，所谓等效，就是对结构结构图变换应按等效原理进行，所谓等效，就是对结构图的任一部分进行变换时，变换前、后其输入、输出总的数图的任一部分进行变换时，变换前、后其输入、输出总的数学关系应保持不变。学关系应保持不变。 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/2541 1、典型连接的等效传递函数、典型连接的等效传递函数（1 1）串联）串联 前一环节的输出量是后一环节的输入量的连接称为环节的前一环节的输出量是后一环节的输入量的连接称为环节的串联。如下图所示，各环节的传递关系为：串联。如下

43、图所示，各环节的传递关系为：)()()()( )()()()()()()()()(1232312211sRsGsGsGsCsGsCsCsGsCsRsGsC)()()()()()(321sGsGsGsRsCsG 串联连接的等效传递函数等于各个传递函数的乘积。写成串联连接的等效传递函数等于各个传递函数的乘积。写成一般形式为：一般形式为：niisGsG1)()( 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/255（2 2）并联）并联输入量相同，输出量相加或相减的连接称为并联。如下图所示，输入量相同，输出量相加或相减的连接称为并联。如下图所示，三个环节的输入部分都为三个环节的输入部分都

44、为r(t)，而输出分别为，而输出分别为)()()()()()()()()()()()()()()()()(321321332211sRsGsGsGsCsCsCsCsRsGsCsRsGsCsRsGsC)()()()()()(321sGsGsGsRsCsG 并联连接的等效传递函数等于各个传递函数的代数和。写并联连接的等效传递函数等于各个传递函数的代数和。写成一般形式为：成一般形式为：niisGsG1)()( 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/256（3 3）反馈连接）反馈连接 如果将系统或环节的输出反馈到输入端与输入信号进行比较，就构成了反如果将系统或环节的输出反馈到输入

45、端与输入信号进行比较，就构成了反馈连接，如下图所示。馈连接，如下图所示。)()()()()()()()()()()(sGsHsCsGsRsGsBsRsGsEsC)()()()(1)(sGsRsHsGsC闭环传递函数为：闭环传递函数为：)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/257开环传递函数为：开环传递函数为：)()()()(sHsGsRsB开环传递函数前向通路传递函数1)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs前向通路：从输入到输出每个环节只经过一次的通路。前向通路经过各个环前向通路：从输入到输出每个环节只经过一次的

46、通路。前向通路经过各个环节传递函数的乘积，就称为前向通路传递函数。节传递函数的乘积，就称为前向通路传递函数。 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/258例例3 3、化简单回路系统、化简单回路系统)(1sG)(2sG)(3sG)(2sH)(1sH)(sC)(sR解：)(sC321GGG)(sR21HH)(sC)(sR21321321HHGGGGGG)()()()()(1)()()()()()(21321321sHsHsGsGsGsGsGsGsRsCs 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/259例例4 4、化简单回路无交错系统、化简单回路无交错系统)

47、(1543232GGGGGG解： 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/26015432321GGGGGGG)()()()()()()()(1)()()()()()(63215432321sGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsRsCs 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/2612 2、变位变换、变位变换（1 1）引出点前移）引出点前移)(sG)(sC)(sC)(sR)(sG要乘要乘（2 2）引出点后移）引出点后移)(sR)(sG)(sC)(sR)(sG)(sC)(sC)(sR)(sG)(sC)(sR)(1sG要除要除 第二章第二章 控制系统

48、数学模型控制系统数学模型2021/8/262)()()()(sQsGsRsC变换前：（3 3）比较点前移）比较点前移)(sG)(sQ)(sC)(sR)(/1sGX 要除要除（4 4）比较点后移）比较点后移XsGsQsGsRsGXsQsRsC)()()()( )()()()(变换后：X)(sQ)(sC)(sR)(sG)(/1sG要乘要乘)(sQ)(sC)(sR)(sG)(sG)(sQ)(sC)(sR)(sG 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/263（5 5）交换或合并比较点）交换或合并比较点（6 6）负号在支路上的移动）负号在支路上的移动 第二章第二章 控制系统数学模型

49、控制系统数学模型2021/8/264例例5 5、化简多回路有交错系统、化简多回路有交错系统解：解：G1G2G3G4G5G6G7)(sR)(sCG1G2G3G4G5G6G7)(sR)(sC 1/G4 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/265)(sC543431GGGGGG1G2G6G7)(sR 1/G46325434321GGGGGGGGGG1G7)(sR)(sC 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/2667432163254343211GGGGGGGGGGGGGGG)(sR)(sC)()()()()()()()()()()(1)()()()()

50、()()(743216325434321sGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsRsCs 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/267分子分子分母分母反分母前分子)()()()()()()()()(112221sBsAsBsAsBsAsRsCs)()(21sBsB)(sC)()(21sAsA)(sR负反馈时取负反馈时取“” ” ，正反馈时取，正反馈时取“”。 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/268例例 结构图化简结构图化简1G)(sC)(sR321GG2G)(1sG)(2sG)(sC)(sR)(3sG1G)(sC)(sR3

51、23221GGGG2G3211GG 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/269)(sC)(sR213232112GGGGGGGG)(sC)(sR2132321132112GGGGGGGGGGGG)()()()()()()()(2)()()()()()()(213232113211sGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsRsCs 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/270例例 结构图化简结构图化简(1) (1) 结构图化简方案结构图化简方案H1H2G1G2G3G4(- -)(- -)RY RH H2 2+ +G G3 3H H1 1G1G

52、2G3H2G4(- -)Y(a)G4G3H2Y R13222211HGGHGGG (b)G4Y R221132223211HGGHGGHGGGG(c) 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/271(3) (3) 结构图化简方案结构图化简方案(2) (2) 结构图化简方案结构图化简方案H1+H2/G3H2/G3G2G3G1G4(- -)RY(a)H2/G3G4RY132223211HGGHGGGG(b)G1G2G3H1/G1G4RY(- -)1(1132GGH(a)3231211GHGGHGHG4G1G2G3YR(- -)(b) 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模

53、型2021/8/272q信号流图中常用的名词术语：信号流图中常用的名词术语： 源节点源节点（输入节点）：（输入节点）：o在源节点上，只有信号输出在源节点上，只有信号输出 支路而没有信号输入的支路，支路而没有信号输入的支路， 它一般代表系统的输入变量。它一般代表系统的输入变量。 q 信号流图的信号流图的： 1) 节点节点标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信号的代数和，用信号的代数和，用“O”表示；表示； 2) 信号信号在支路上沿箭头单向传递；在支路上沿箭头单向传递； 3) 支路支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而相当于乘法器

54、，信号流经支路时，被乘以支路增益而变成另一信号；变成另一信号； 4) 对一个给定系统，信号流图不是唯一的对一个给定系统，信号流图不是唯一的。1+R1C1s x2x5x4 x6 -1 x3 x7I(s) R2 1/R1 x1 信号流图信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。是由节点和支路组成的一种信号传递网络。阱节点阱节点（输出节点）：（输出节点）：在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它一般代表系统的输出变量。一般代表系统的输出变量。 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/273 混合节点混合节点：

55、在混合节点上，既有信号输出的支路而又有信号输在混合节点上，既有信号输出的支路而又有信号输入的支路。入的支路。二、二、 信号流图的绘制信号流图的绘制 1. 由系统微分方程绘制信号流图由系统微分方程绘制信号流图 1）将微分方程通过拉氏变换，得到）将微分方程通过拉氏变换，得到S的代数方程；的代数方程； 2）每个变量指定一个节点；）每个变量指定一个节点； 3）将方程按照变量的因果关系排列；）将方程按照变量的因果关系排列； 4）连接各节点，并标明支路增益。）连接各节点，并标明支路增益。 前向通路：前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通

56、路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积称过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积称前前向通路总增益向通路总增益，一般用，一般用Pk表示。表示。 回路：回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称回路增益回路增益，一般用一般用La表示。表示。 不接触回路：不接触回路：回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回路。回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回路。 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/274 上式拉氏变

57、换上式拉氏变换 C1 ui R1 R2 uo i1i) t (u) t (uR) t (iio11 2oR) t ( i) t (u dt)ii (C1R) t (i111 ) s (U) s (UR) s (Iio11 2oR) s ( I) s (U s)0(u)s () s (sC1R) s (c1111 ) s (U) s ( I) s (I) s (U) s (U) s (Uo1oii 例例 信号传递流程：信号传递流程：)0(uC) s () sCR1() s ()0(uCsCR) s () s (c11111c1111 Ui(s)Ui(s)- -Uo(s)Uo(s)Uo(s) uC

58、(0)-1I1(s)I(s)R21+R1C1s1/R1-C1 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/275 1) 用小圆圈标出传递的信号，得到节点。用小圆圈标出传递的信号，得到节点。 2) 用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。 注意信号流图的节点只表示变量的相加。注意信号流图的节点只表示变量的相加。 G(s) C(s) R(s)G1(s)G2(s) H(s)R(s)E(s)D(s)V(s)C(s) (- -)(a) 结构图结构图(节点节点)C(s)R(s) G(s)(节点节点) (支路支路)C(s)1R(s)

59、E(s)G1(s) G2(s) -H(s) Y(s)D(s)V(s)11(b) 信号流图信号流图2. 由系统结构图绘制信号流图由系统结构图绘制信号流图 第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型2021/8/276例例 绘制结构图对应的信号流图绘制结构图对应的信号流图(1) 。U Ui i( (s s) )U Uo o( (s s) )I I2 2( (s s) )U U( (s s) )I IC C( (s s) )I I1 1( (s s) )(-)(-) (-) (-) (-) (-)11RsC11sC2121RU Ui i( (s s) )U Uo o( (s s) )U Uo o

60、( (s s) )U U( (s s) )I I2 2( (s s) )I IC C( (s s) )-1-1-1-1-1-11/1/R R1 11/1/C C1 1s s1/1/C C2 2s s1/1/R R2 2U Ui i( (s s) )U Uo o( (s s) )I I2 2( (s s) )U U( (s s) )I IC C( (s s) )I I1 1( (s s) )(-)(-) (-) (-) (-) (-)11RsC11sC2121RU Ui i( (s s) )U Uo o( (s s) )I I2 2( (s s) )U U( (s s) )I IC C( (s