内蒙古海拉尔三中2012届高三数学总复习同步《第八模块 解析几何综合检测》》

1、第八模块解析几何综合检测(时间120分钟，满分150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1将直线l1：y2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x2y30的角为()A30°B60°C120°D150°解析：记直线l1的斜率为k1，直线l3的斜率为k3，注意到k1k31，l1l3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l2到直线l3的角是30°，选A.答案：A2已知a>0，直线a2xy20与直线bx(a21)y10互相垂直，则ab的最小值为(

2、)A4 B3 C2 D1解析：由题意得，a2b(a21)0，aba2.故选C.答案：C3设a>1，则双曲线1的离心率e的取值范围是()A(，2) B(，) C(2,5) D(2，)解析：e22(1)21，a>1，0<<1，e2(2,5)，即e(，)答案：B4已知直线xya与圆x2y24交于A，B两点，且| |，其中O为原点，则实数a的值为()A2 B2 C2或2 D.或解析：|，两边平方得·0.r2.d.d，a±2.答案：C5若双曲线1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y22bx的焦点分成75的两段，则此双曲线

3、的离心率为()A. B.C. D.解析：y22bx的焦点为(，0)线段F1F2被点(，0)分成7:5的两段即，6b2c，c3b，a2b，e.答案：C6若过点A(4,0)的直线l与曲线(x2)2y21有公共点，则直线l的斜率的取值范围为()A， B(，)C， D(，)解析：验证知斜率不存在时不符合题意，故设直线方程为yk(x4)，直线l与曲线(x2)2y21有公共点，1，解得k2，即k.答案：C7已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是()A. B. C.1 D.解析：ABF2是等腰直角三角形，|AB|2|F

4、1F2|4c，|AF1|2c，|AF2|2c.|AF1|AF2|2a，2c2c2a，解得e1.故选C.答案：C8圆C的方程为(x2)2y24，圆M的方程为( x25cos)2(y5sin)21(R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F.则·的最小值是()A12 B10C6 D5解析：显然圆C是一个以(2,0)为圆心，2为半径的圆；设圆M的圆心为(x，y)，则，即(x2)2y225，显然，圆M的圆心在一个以(2,0)为圆心，5为半径的圆上运动，这类似于一个地球绕着太阳转的模型，显然当点P距离C最近时，·最小在圆(x2)2y225上取一点(2,5)，

5、以点(2,5)为圆心作圆M，此时圆M上距离点C最近的点为P(2,4)，过点P作C的切线PE、PF，连结CE、CF，PE、PF是圆C的切线，PECE，PFCF；又PC4，CECF2，PEPF2；在CPE中，cosCPE，cosFPEcos2CPE；·|·|·cosFPE2×2×6.类似地，当点M在圆(x2)2y225上运动时有同样的结论故选C.答案：C9已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A(，1) B(，1)C(1,2) D(1，2)解析：如图，过P作PGl于G，则|

6、PF|PQ|PG|PQ|GQ|，即当QGl时，|PF|PQ|有最小值，此时点P的纵坐标为1，故A正确答案：A10过点A(1,0)的直线l与圆C：x2y24y0相交于P，Q两点，C是圆心，若·()8，则直线l的方程为()A3x4y30Bx1或3x4y30C4x3y40D4x3y40或x1解析：x2y24y0，即x2(y2)24.C(0,2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x2，(1,2)，(x21，y2)，得x1x222y12y28.当过点A的直线斜率不存在时，x1x21，y12，y22满足上式x1；当过点A的直线为yk(x1)，代入圆方程，得x2k2x22k2xk24kx

7、4k0，即(1k2)x2(2k24k)xk24k0.x1x2，y1y2k(x1x2)2k.代入条件式并且由>0知k.直线方程为3x4y30.综上所述，直线l的方程为x1或3x4y30.答案：B11设F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|PF2|43，则PF1F2的面积为()A4 B6 C2 D4解析：由椭圆方程可知a，2a7，c26，c，2c5.|PF1|PF2|7，|PF1|PF2|43，|PF1|4，|PF2|3，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，F1PF290°，SPF1F2|PF1|·|PF2|×3×46，故选B.

8、答案：B12过圆C：(x1)2(y1)21的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，AOB被圆分成四部分，若这四部分图形面积满足SSSS，则这样的直线AB有()A0条 B1条 C2条 D3条解析：由图形可知：S、S为定值，S增大时，S减小，又SSSS，显然，S是关于S的一次函数且单调递增，S既是(0，)上关于S的增函数，也是(0，)上关于S的减函数且S(0，)由一次函数性质可知，同时满足两种情况的解唯一存在故选B.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13已知双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上存在一点P

9、，使得|PF1|3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为_解析：由，|PF2|a，又|PF2|ca，即aca，c2a，1<e2.答案：1<e214长为3的线段AB的端点A、B分别在x、y轴上移动，动点C(x，y)满足2，则动点C的轨迹方程是_解析：设A的(a,0)，B(0，b)，则|AB|3，a2b29，又2，(xa，y)2(x，by)，即，(3x)2()29即x21.答案：x2y2115已知点(x0，y0)在直线axby0(a、b为常数)上，则的最小值为_解析：可看作点(x0，y0)与点(a，b)的距离又点(x0，y0)在直线axby0上，所以的最小值为点(a，b)到直线ax

10、by0的距离d.答案：16在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(a>b>0)的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径作圆M.若过点P(，0)所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为_解析：如图，切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以OAP是等腰直角三角形，故a，解得e.答案：三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知圆x2y22ax2ay2a24a0(0<a4)的圆心为C，直线l：yxm.(1)若m4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；(2)若直线l是圆心C下方的切线，当a在(0,4上变化时，求m的取值范围解：(1)x2y22

11、ax2ay2a24a0，(xa)2(ya)24a，圆心为C(a，a)，半径为r2，设直线l被圆C所截得的弦长为2t，圆心C到直线l的距离为d，m4时，直线l：xy40，圆心C到直线l的距离d|a2|，t2(2)22(a2)22a212a82(a3)210，又0<a4，当a3时，直线l被圆C所截得弦长的值最大，其最大值为2.(2)圆心C到直线l的距离d|2am|，直线l是圆C的切线，dr，即2，m2a±2，直线l在圆C的下方，m2a2(1)21，a(0,4，m1,8418已知函数g(x)是f(x)x2(x>0)的反函数，点M(x0，y0)、N(y0，x0)分别是f(x)、g

12、(x)图象上的点，l1、l2分别是函数f(x)、g(x)的图象在M、N两点处的切线，且l1l2.(1)求M、N两点的坐标(2)求经过原点O及M、N的圆的方程解：(1)因为f(x)x2(x>0)，所以g(x)(x>0)从而f(x)2x，g(x).所以切线l1，l2的斜率分别为k1f(x0)2x0，k2g(y0).又y0x(x0>0)，所以k2.因为两切线l1，l2平行，所以k1k2.从而(2x0)21.因为x0>0，所以x0.所以M、N两点的坐标分别为(，)、(，)(2)设过O、M、N三点的圆的方程为：x2y2DxEyF0.因为圆过原点，所以F0.因为M、N关于直线yx对

13、称，所以圆心在直线yx上所以DE.又因为M(，)在圆上，所以DE.所以过O、M、N三点的圆的方程为：x2y2xy0.19如图，在直角坐标系xOy中，锐角ABC内接于圆x2y21.已知BC平行于x轴，AB所在直线方程为ykxm(k>0)，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c.(1)若3k，求cos2sin2B的值；(2)若k2，记xOA(0<<)，xOB(<<)，求sin()的值解：(1)变式得：3，解得sinB，原式sin2sin2B2sinBcosB；(2)解法一：AOB，作ODAB于D，xOD，tankOD，sin().解法二：，5x24mxm210，设A(

14、x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x2.sin()sincoscossiny1x2x1y2(2x1m)x2x1(2x2m)4x1x2m(x1x2).20如图，M(2,0)和N(2,0)是平面上的两点，动点P满足：|PM|PN|6.(1)求点P的轨迹方程；(2)若|PM|·|PN|，求点P的坐标解：(1)由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a6的椭圆，半焦距c2，长半轴a3，短半轴b.椭圆的方程为1.(2)如图，由|PM|·|PN|，得|PM|·|PN|·cosMPN|PM|·|PN|2.cosMPN1，P不为椭圆长轴

15、顶点，P、M、N构成三角形在PMN中，|MN|4，由余弦定理，有|MN|2PM2+PN|22(|PM|·|PN|cosMPN2)， 将代入得42=PM2+PN2-PM·PN-2）(|PM|PN|)212，即|PM|PN|2.点P在以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线y21上，由(1)知，点P的坐标又满足1，由方程组解得即P点坐标为(，)、(，)、(，)或(，)21抛物线y22px的准线的方程为x2，该抛物线上的每个点到准线x2的距离都与到定点N的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线l1：yx和l2：yx相切的圆，(1)求定点N的坐标；(2)是否存在一条直线l同时满足下列条件

16、：l分别与直线l1和l2交于A、B两点，且AB中点为E(4,1)；l被圆N截得的弦长为2.解：(1)因为抛物线y22px的准线的方程为x2，所以p4，根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点，所以定点N的坐标为(2,0)(2)假设存在直线l满足两个条件，显然l斜率存在，设l的方程为y1k(x4)，(k±1)以N为圆心，同时与直线l1：yx和l2：yx相切的圆N的半径为，解法一：因为l被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，即d1，解得k0或，当k0时，显然不合AB中点为E(4,1)的条件，矛盾！当k时，l的方程为4x3y130，由，解得点A坐标为(13,13)，由，解得点B坐

17、标为(，)，显然AB中点不是E(4,1)，矛盾！所以不存在满足条件的直线l.解法二：由，解得点A坐标为(，)，由，解得点B坐标为(，)，因为AB中点为E(4,1)，所以8，解得k4，所以l的方程为4xy150，圆心N到直线l的距离，因为l被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！所以不存在满足条件的直线l.解法三：假设A点的坐标为(a，a)，因为AB中点为E(4,1)，所以B点的坐标为(8a,2a)，又点B在直线yx上，所以a5，所以A点的坐标为(5,5)，直线l的斜率是4，所以l的方程为4xy150，圆心N到直线l的距离，因为l被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，

18、矛盾！所以不存在满足条件的直线l.22.如图，在以点O为圆心，|AB|4为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，POB30°，曲线C是满足|MA|MB|为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(2)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.若OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围解：(1)以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A(2,0)、B(2,0)、D(0、2)、P(，1)，依题意得|MA|MB|PA|PB|2<|AB|4.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线设实半轴长为a，虚半