陕西省西安市高中数学 第二章《平面向量》复习教案 北师大版必修4

1、第二章 平面向量复习课（2课时） 第一部分：知识归纳1.知识结构2.重要公式、定理.平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使=1+2. 向量共线的两种判定方法：(). a = (x, y) Þ |a|2 = x2 + y2 Þ |a| = .若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则= .cosq = .ab Û ab = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示）3.学习本章应注意的问题及高考展望 .在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何

2、问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系，注意用向量的语言和方法来表述和解决物理问题。.向量是数形结合的载体，在本章的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题.同时向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段。.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质，这类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。.以解答题出现的题目，一般结合

3、其它数学知识，综合性较强，难度大，以解决几何问题为主.在学习本章时应立足于课本，掌握双基，精读课本是关键.第二部分：基础测试（供选用）教材P125126第1、2、3题ABCacab 第三部分：应用举例（供选用）例1.如图ABC中，= c，= a，= b，则下列推导不正确的是（ ）A若ab < 0，则ABC为钝角三角形。B若ab = 0，则ABC为直角三角形。C若ab = b×c，则ABC为等腰三角形。D若c (a + b + c) = 0，则ABC为正三角形。 解：Aab = |a|b|cosq < 0，则cosq < 0，q为钝角 B显然成立 C由题设：|a|co

4、sC = |c|cosA，即a、c在b上的投影相等 Da + b + c = 0, 上式必为0，不能说明ABC为正三角形例2.设非零向量a、b、c、d，满足d = (ac) b - (ab)c，求证：ad证：内积ac与ab均为实数， ad = a (ac) b - (ab)c = a (ac) b - a (ab)c= (ab)(ac) - (ac)(ab) = 0 ad例3.已知|a| = 3，b = (1,2)，且ab，求a的坐标。解：设a = (x,y) |a| = 3 又：ab 1y - 2x = 0 解之： 或 即：a = () 或a = ()例4.已知a、b都是非零向量， a +

5、3b与7a - 5b垂直，且a - 4b与7a - 2b垂直，求a与b的夹角。解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 Þ 7a2 + 16ab -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 Þ 7a2 - 30ab + 8b2 = 0 两式相减：2a×b = b2 代入或得：a2 = b2设a、b的夹角为q，则cosq = q = 60°例5.已知：|a| =，|b| = 3，a与b夹角为45°，求使a+b与a+b夹角为锐角的的取值范围。解：由题设：ab = |a|b|cosa = 3××= 3

6、(a+b)×(a+b) =|a|2 +|b|2 + (2 + 1)ab = 32 + 11 + 3 夹角为锐角 必得32 + 11 + 3 > 0 或例6.a、b为非零向量，当a + tb(tÎR)的模取最小值时，求t的值；求证：b与a + tb垂直解： |a + tb|2 = |a|2 + t2|b|2 + 2t|a|b| 当t =时, |a + tb|最小 b (a + tb) = ab - = 0 b与a + tb垂直例7.证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。 A B C E F D G证：设= b，= a，则=+= b+a, =a +bA

7、, G, D共线，B, G, E共线可设=，= ,则=(b+a)=b+a,= = (b+a)=b+a, 即：b + (b+a) =b+a(-)a + (-+)b = 0 a, b不平行， =例8.设=(a+5b)，=-2a + 8b，=3(a -b)，求证：A,B,D三点共线。证：=+=(a+5b) + ( -2a + 8b) + 3(a -b)= (1+)a + (5 + 5)b = (1+)(a + 5b)而=(a+5b) = (+ 1)又, 有公共点 A,B,D三点共线例9.已知：A(1,-2)，B(2,1)，C(3,2)，D(-2,3)，求证：A，B，C三点不共线以、为一组基底来表示+

8、 解：=(1,3), =(2,4) 1×4-3×2¹0 A，B，C三点不共线 +=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1) = (-12,8) 设：+= m+ n 即：(-12,8) = (m + 2n, 3m + 4n) += 32-22例10.求证：|a + b |a| + |b|证：|a + b |2 = (a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2ab = |a|2 + |b|2 + 2|a|b|cosq |a|2 + |b|2 + 2|a|b| = ( |a| + |b| )2 即：|a + b |a| + |b|例11.设作用于同一点O的三个力F1、F2、F3处于平衡状态，如果| F1|=1，|F2|=2，F1与F2的夹角为.求.F3的大小；.F3OF2的大小.解：F1、F2、F3三个力处于平衡状态，故F1+F2+F3=0，即F3= -（F1+F2）| F3|=| F1+F2|= 如图：以F2所在直线为x轴，合力作用点为坐标