2018版高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用学案新人教A版必修4

1、1.6三角函数模型的简单应用- 学习目标导航卜1 . 了 解 三 角 函 数 是 描 述 周 期 变 化 现 象 的 重 要 函 数 模 型 ， 并 会 用 三 角 函 数 模 型 解 决 一 些 简单的实际问题.（重点）2.实际问题抽象为三角函数模型.（难点）基础初探教材整理三角函数的实际应用阅读教材 P60P64所有内容，完成下列问题1. 三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型2.y= |sinx|是以n为周期的波浪形曲线3. 解三角函数应用题的基本步骤：（1）审清题意；（2）搜集整理数据，建立数学模型；（3）讨论变量关系，求解数学模型；（4）检验，作出结论.- o m体验-

2、单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置0的距离s（厘米）和时间t（秒）的函数关系为s=3sin 导 +亍那么单摆来回摆的振幅为 _厘米，一次所需的时间为 _ 秒.【解析】 因为s=3sin 自+n,2n所以振幅为A= 3（厘米），周期T= 4（秒）.n2【答案】 34阶股认知预习质疑知枳械理婪点初棵2介作探究通关小组合作型3三角函数模型简单的实际应用例 如图 1-6-1，某动物种群数量 1 月 1 日氐至 700 只，7 月 1 日高至 900 只，其总 量在此两值之间依正弦型曲线变化.(1) 求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；(2) 估计当年 3 月 1

3、日动物种群数量.【导学号：00680027】【精彩点拨】可设y=Asin(wx+ $ ) +b(A0,w0)来求解.【自主解答】设动物种群数量y关于t的解析式为y=Asin(wt+ $ ) +b(A0,w0),A+b= 700,则A+b= 900,解得A= 100,b= 800.又周期T= 2X(6 0) = 12, y = 100sin 亍 + $ + 800.又当t= 6 时，y= 900,sin(n + $)=1,/ sin $ = 1,n取 $ = y,y= 100sin 尹2 + 800.r,inn(2)当t= 2 时,y= 100sin x 2 + 800 = 750,即当年 3

4、月 1 日动物种群数量约是750 只./ 900 =100sin卡x6+ $ +800,64名师四解三角函数应用问题的基本步骤5QO O故该细菌能存活的最长时间为 y 3 = 小时.三角函数模型在物理学中的应用t(s)的变化规律为s= 4sin i2t+ 3 ,t 0 ,+).用“五点法”作出这个函数的简图，并 回答下列问题令 10sin牛 + 20= 15 ,sin8x54n= * 1 284=2，卜例已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间而x 4,16，所以x=.6(1) 小球在开始振动(t= 0)时的位移是多少？(2) 小球上升到最高点和下降到最低点时的

5、位移分别是多少?(3) 经过多长时间小球往复振动一次？【精彩点拨】 确定函数y=Asin(wx+ $ )中的参数 A,w,的物理意义是解题关键【自主解答】列表如下：tnn立n可7n725n _6-2tV0n2n3n22nsin01010s04040描点、连线，图象如图所示在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y=A、ii w x+ $移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T=2上为周期,w1表示物体往复振动一次所需的时间，f=T为频率， 表示物体在单位时间内往复振动的次数再练一题2.弹簧挂着的小球做上下振动，它在ts 时相对于平衡位置(就是静止时的位置)的高度2

6、若有一种细菌在 15C到 25C之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？【解】(1)当x= 14 时函数取最大值，此时最高温度为30C，当x= 6 时函数取最小值，此时最低温度为 10C，所以最大温差为 30C 10C= 20C.名师j表示物体振动的位7(1)以t为横坐标，h为纵坐标，作出函数的图象(0 tn);hcm 由函数关系式h= 3sin8(2)求小球开始振动(即t= 0)时的位移；求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位移;(4) 经过多少时间小球往复振动一次？(5) 每秒钟小球能往复振动多少次？令t= 0,得h= 乎，所以小球开始振动时的位移为(3) 结合图象

7、可知，最高点和最低点的坐标分别是-8, 3 , -亍,3，所以小球第次上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是3 cm 和一 3 cm.(4) 由图可知周期T=n，即经过ns 小球往复振动一次11 一 1(5)f= =,即每秒钟小球能往复振动次Inn探究共研型数据拟合问题探究 在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤?【提示】(1)根据原始数据给出散点图通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线(3) 根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式(4) 利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据深的数据:t(h)03691

8、215182124y(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描出的曲线如图1-6-2 所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y=Asin3t+b的图象.(1) 试根据以上数据，求出y=Asin3t+b的表达式；(2) 一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m 时是安全的，如果某船的【解】(1)函数h= 3sin2t+才,OWtW n的图象如图所示cm.卜例某港口的水深h)的函数，下面是有关时间与水9吃水深度(船底与水面的距离)为 7m,那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(

9、忽略进出港所用的时间)?图 1-6-2【精彩点拨】(1)从拟合曲线可知：函数y=Asin3t+b的周期；由t= 0 时的函数值,t= 3 时取得的最大值，进而可求得3,A, b的值(2)根据(1)中求得的函数表达式，求出数值不小于4.5 + 7= 11.5(m)的时段【自主解答】(1)从拟合曲线可知：函数y=Asin3t+b在一个周期内由最大变到最2小需 9- 3= 6(h)，此为半个周期，.函数的最小正周期为12 h，因此 丄=12,3 =n36又.当t= 0 时，y= 10；当t= 3 时，ymax= 13,b= 10, A= 13- 10= 3,%所求函数的表达式为y= 3sin t +

10、 10(0 t 11.5 ,可得 sin 自 2,5n . - 2kn +6wgt W2 kn +-( kZ),12k+1Wtw12k+5(kZ).取k= 0，贝 y 1Wtw5,取k= 1,贝 y 13Wtw17；而取k= 2 时，25wtw29(不合题意，舍).从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1 时(1 时到 5 时都可以)进港，而下午的 17 时(即 13 时到 17 时之间)离港，在港内停留的时间最长为16 h.101.本题中没有明确函数的类型，则可通过画散点图来拟合曲线2.此类问题的一般解法是先由表中数据分析求出待定系数，再转化为三角不等式对实际问题进行预测判断

11、.由于实际问题的背景往往比较复杂，所以要注意认真审题从中抽取基本的 数学关系.名师111I_ I再练一题3.已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(01 时才可对冲浪爱好者开放,cost0,6n nn 2kn -2t2kn +y(kZ),即 12k- 3t12k+ 3(k Z)./ 0t 24,故可令中k分别取 0,1,2 ,得 0Wt3 或 9t15 或 211,121.如图 1-6-3 所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是图 1-6-3A. 该质点的运动周期为 0.7 sB. 该质点的振幅为 5 cmC. 该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时运动速度最大D. 该质点在

12、0.3 s 和 0.7 s 时运动速度为零【解析】 由题图可知，该质点的振幅为5 cm.【答案】 B2.与图 1-6-4 中曲线对应的函数解析式是()A.y= |sinx|B.y= sin |x|C.y= sin |x|D.y= |sinx|【解析】 注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项 A,D.当x (0 ,n)时，sin |x|0 ,而图中显然是小于零，因此排除选项B,故选 C.【答案】 C3.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t) = 50 + 4si n 2(0 t 20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分,则下列哪个时间段内车流量是增加的()【导学号：00680028】A.0,5B.5,10C.10,15D.15,203t15 5t【解析】 当 10t 15 时，有？n5 220, 0)中，要使t在任意云秒的时间内电流强度I能取得最大值A与最小值一A,求正整数3的最小值.【解】由题意得：1刚 2n1T，即,100，3100，二3200n,正整数3的最小值为