初三数学圆专题综合

1、圆的综合（一）【例1】 如图，在0O中，弦AE丄3C于D, BC = 6 ,AD = 1 ,ZBAC = 45（1）求0O的半径，（2）求的长.E【难度】3星【解析】第一问利用的是圆周角的度数为圆心角的一半，第二问利用的是垂径定理E【答案】(1)连接 BO、CO ,作 OF 丄 BC、OG 丄 AE, V OB = OC , ZBOC = 2ZBAC = 90P ,(2) 9： OF = -BC = 3 9 天打 ZOGF = ZOFB = ZGDF = 90。，2；四边形 OGDF 是矩形,:GD = OF = 3、:. AG = AD-DG = 7-3 = 4 9I DE = GE-GD

2、= -AE-GD = 4-3 = 2【巩固】（2010珠海）如图，AABC内接于0O,AC =4. D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD（1）当BD的长度为多少时，是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）去BC的中点,连接PG若冀=2求Q4的长.PC 51AD【难度】3星【解析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解;（2）根据相似三角形的知识和垂径定理进行求解.【答案】（1）当BD = AC = 4时，EU）是以AD为底边的等腰三角形.T P是优弧BAC的中点、,/. PB = PC /. PB = PC :.当 BD = AC = 4，乙PB

3、D = /PCA ,APBD 环PCA .:.PA = PD,即是以AD为底边的等腰三角形#（2）由（1）可空口，当 血=4 时，PD = PA, AD = AB-BD = 6-4 = 2 , 过点P作PS于E,则AE = 1aD = 1./ zpcb = apad9ZPFA = EC = 90:入PAF s /PCECE AF q . CE 45 = 人=PC PAPC 5:.PA = * 【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以 及垂径定理.【例2】（2005内江）如图所示，G）O半径为2,弦BD = 2*, A为BD的中点，E为弦AC的中点，且 在

4、BD上,求四边形ABCQ的而积.【难度】3星【解析】由A是加的中点，根据垂径定理，可知OF丄BD,且BF = DF吕BD二艮 在Rt/BOF 中，利用勾股定理，可求出OF = ,即AF = 1,那么，Szd = + xDBxAF = *，而E是 AC中点，会出现等底同高的三角形，因而有S咖形=2S,=2石.【答案】连接OA交加于点F,连接03, OA在直径上且点A是3D中点/ 14 丄 3D, BF = DF = 4 在R2BOF中由勾股定理得OF，= OB2- BF2T OA = 2rz ABD=5一 = 3：点E是AC中点 AE = CE又丁 /ADE知八CDE同高 一, 讥 CDE 一

5、%ADE同理 S&CBE = SabE【点评】本題利用了垂径定理、勾股定理，还有等底同商的三角形面枳相等等知识.【巩固】（2010南平）如图所示，0O的直径加长为6,弦AC长为2, ZACB的平分线交0O于点D, 求四边形ABCD的面积.【难度】3星 【解析】四边形ADBC可分作两部分： AABC,由圆周角定理知ZACB = 90, RtMCB中，根扌松勾股定理即可求得直角边的长, 进而可根据直角三角形的面积计算方法求出/ABC的面积；AABD,由于CD平分ZACB ,则AD = BD,由此可证得是等腰直角三角形.即可根 損斜边的长求出两条直角边的长，进而可得到的面积；上述两个三角形的面积和即

6、为四边形ADBC的面积，由此得解.【答案】J AB是直径，ZACB = ZA0 = 9O。，在中，AB = 6, AC = 2f :. BC = jAB-AC2 =加-廿=4 迈:V ZACB的平分线交0O于点D, :. ZDCA = ZBCD :.AD = DB, :. AD = BD在 Rt/ABD 中，AD = BD7【点评】此题主要考查了圆周角定理圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，勾股定理等知识的综 合应用能力.【例3】（2011 肇庆）己知：如图，/VWC内接于0O,加为直径，ZCBA的平分线交AC干点F,交 0O于点D, DF丄AB于点E,且交AC于点P,连接AD（1）求证：

7、ZDAC = ZDBA（2）求证：点P是线段AF的中点（3）若0O的半径为5, AF = 求丝的值.【难度】3星 【解析】（1）根据圆周角定理得出ZDAC = ZCBD ,以及ZC7?D = ZDBA得出答案即可；（2）首先得出 ZA於= 90,再根据 ZDFA + ZDAC = ZADE+ZPDF = 9O9 且 ZADB = 90。得出 DF = FD,从而得出= PF;（3）利用相似三角形的判定得出FDAs/mqb即可得出答案.【答案】（1） BD平分乙CBA,:.ZCBD = ZDBA,J ZDAC与ZCBD都是CD所对的圆周角， ZDAC = ZCBD, :.ZDAC = ZDBA

8、:(2) TAB 为直径，ZADB = 90。，V DE 丄 AB 于 E,:.ZDEB=90。, ZADE + ZEDB = ZABD+ ZEDB =网,:.ZADE = ZABD=DAP. PD = PA,V ZDM + ZmC = ZADE+ZPDF = 90, JLZADB=90, DF = FD , PD=PF9 PA = PF,即：P是AF的中点：(3) V ZDAI = ZDBA9 ZADB = ZFDA = 90 9:MDAs/ADB、 AD _AF15Q在 Rt/ABD 中，tanZABD = 10 = -,即：tan肿斗【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及圆周角定理和

9、等腰三角形的性质.根据证明P)= Q4以及 PD=PF ,得出答案是解决问題的关键.【巩固】(2011宜宾)已知：在公ABC中，以AC边为直径的0O交于点D，在劣弧ADh取一点E使 ZEBC = ZDEC ,延长依次交AC于点G=,交O于H(1) 求证：AC丄阳：(2) 若ZABC = 45 , OOO0的直径等于10, BD=8,求CE的长.【难度】3星【解析】(1)连接AD9由圆周角定理即可得出ZDAC = ZDEC , ZAPC=90,再根据直角三角形的性质 即可得出结论：(2)由ZBZM = 180-ZADC = 90% ZABC = 45。可求出ZBAD = 45 9利用勾股定理即可

10、得出DC 的长，再由相似三角形的判定定理与性质可求出CG的长，连接AE由圜周角定理可得出EG丄AC,进而得出CEGs/XGAE,由相似三角形的性质即可得出结论.【答案】（1）连接AD,B1)-J ADAC = ADEC , AEBC = ZDEC 9 ZmC = ZEBC,I AC是G)O的直径， ZADC = 90 , ZDC4 + ZZ4C=90, ZEBC+Z)C4 = 90o, ZBGC = 180。一 (ZEBC + ZDG4) = 180。一 90 = 90 , AC 丄 BH ;(2) V ZBZM = 180-ZADC = 90, ZABC = 45, ZBAD=45, BD

11、= AD,V BD = 8,A A = 8,I ZADC = 90 MC = 10, DC = /AC2 - AD2 = 7102 - 82 = 6 f BC = B)+ZX? = 8+6 = 14,I ZBGC = ZADC=90。, ZBCG = ZACD9:.ZZBAD = 459.CG BC* DC = AC J.CG 14 =,6 10.cg=,连接AE,I AC是直径，/. ZAEC = 90,I EG 丄 ACf： /CEG s /CAE ,.CE CG，e7c = CE *47 EC2 = AC CG = yxl0 = 84,CE = x/84=2Vn 【点评】本题考查的是圆周

12、角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，根扌居题意作出辅助线是解答此 题的关键.【例4】（201b孝感）如图，等边 ABC内接于0O, P是AB上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、 BP、过点C作CW 肿交Q4的延长线于点M（1）填空：ZAPC=度，ZBPC=度：(2) 求证:AGW 环BCP：(3) 若PA = ,PB = 2,求梯形P3CM的而积.【难度】3星【解析】(1)利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角；(2) 利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等即可；(3) 利用上题证得的两三角形全等判定APCM为等边三角形，进而求得的长，利用梯形的

13、面积公式计算梯形的面积即可.【答案】(1) ZAPC = 60, ZBPC = 60 :H(2) : CM BP、 ZBPM + ZyV/ = 180,ZPGW = Z5PC = 60r ZM = 180- ZBPM -(ZAPC + ZBPC) = 180。一 120 = 60 , 如= ZBPC = 60。;(3) J MCM /BCP ,:CM=CP .AM=BPXZA/=60,厶PCM为等边三角形，:.CM=CP = PM= + 2 = 39作PH丄CM于在 Rt /PMH 中，如PH = 30P,/. PH=N ,2.梯形 PBQW 的面积为：l(PB + GW)xP/7=l(2 +

14、 3)x- = l|V3 .【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道 比较复杂的几何综合题.【巩固】(2011桂林)如图，在锐角/MBC中，AC是最短边：以AC中点O为圆心，AC长为直径作OO, 交BC于E.过O作ODBC交OO于D,连接AE、AD . DC(1) 求证：D是AE的中点：(2) 求证：ZDAO = ZB + ZBAD;(3) 若丄空匚=丄，且AC = 4,求CF的长.S 2btC【难度3星【解析】(1)由AC是OO的直径，即可求得ODBC,又由AE丄OD,即可证得D是人的中点：(2) 首先延长OD交于G,则OGBC可得OA =

15、 OD ,根据等腰三角形的性质，即可求 得 ZAMO = ZB + ZE4D:(3) 由AO = OC9 S/Js皿，即可得 孕竺又由 MCDsaFCE ,根据相似三角2.ACD 形的面积比等于相似比的平方，即可求得CF的长.【答案】(1) V AC是OO的直径， AE 丄 BC,： OD BC ,:.AE 丄 OD , D是AE的中点;(2)方法一：如图，延长OD交AB于G,则OGBC, ZAGD = AB9 ZADO = ZBAD + ZAGD,又 ： OA = OD、:.zdao=zado9:.ZDAO = ZB+ZBAD;方法二：如图，延长AQ交BCBC于H ,則 ZADO = ZAH

16、C 9I ZAHC = AB + ZBAD9:.zado=zb+zbad9XVQ4 = OD, ZDAO = ZB+BAD：(3) V AO = OC9 C J_ c 74OCD 一 3 A4CD . cEF 二 S _ 2，J/.OCQ厶 S w _ iZADC = ZFEC = 9CP9: zacd=zfce9:.MCDsFCE 5AACD:.CF = 2.9A【点评】此题考查了垂径定理，平行线的性质以及相似三角形的判定与性质等知识.此题综合性较强，难 厦适中，解题的关键是数形结合思想的应用.【例5】(201b广州)如图1, OO中加是直径，C是0O上一点，ZABC = 45,等腰直角三角

17、形DCE 中ZDCE是直角，点D在线段AC上(1) 证明：B、C三点共线：(2) 若M是线段BE的中点，N是线段Q的中点，证明：MNWOM ；(3) 将/CE绕点C逆时针旋转a(0aJ2AE DE-BE = yflAE (3) BE-DE = dE理由如下：在BE上取点、F ,使BF = DE,连接AF 易证zMDE也ABF,:.AF = AE , ZDAE = ZBAF ,在正方形ABCD中，ZBAD = 90:.ZE4F + ZZMF=90。.:.ZDAE+ZDAF=90.:.ZE4F = 90。.ZSE4F是等腰直角三角形. ef2=ae2+af2. EF2 =2AE2 EF =近AE即

18、 BE BF = y/2AE ： bedeWae 【点评】本題主要考查圆周角定理，全等三角形的判定及勾股定理，难度适中.【例6】(2010日照)如图，在/4BC中，AB = AC,以加为直径的0O交AC与,交BC与D. 求证：(1) D是 BC的中点：(2) ABECcoaADC： (3) BC2 =2AB CE 1AB*6C【难度】3星【解析】(1)要证D是BC的中点，已知AB = AC9即证ADLBC即可，根据圆周角定理，初是直径， 所以ZADB = 90,即可得证.(2) 欲证ABECs AADC,通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即 ZAEB = ZAZX? = 90,此吋

19、，再求另一角对应相等即可.(3) 由BECs/vipc可证CD BC = AC CE ,又D是BC的中点，AB = AC ,即可证 BC2=2AB CE 【答案】(1) /W是OO的直径，:.ZADB=90%即AD是底边上的离，5LV AB = AC 9:./ABC是等腰三角形，D是BC的中点;(2) :乙CBE与ZC4D是同弧所对的國周角， ZCBE = ZCAD ,又 I ZBCE = ZACD9:厶 BECs/aDC;r a(3) 由 ZBECs/adc,知=,CE BC即 CD BC = AC CE,I D是BC的中点、,:.CD = -BC92又T AB = AC 9:.CD BC

20、= AC CE = ；BC BC = AB CE,2即 BC=2AB CE 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质.识别两三角形相似，除了要掌握定狡外，还要注意正确找出 两三角形的对应边成比例、对应角相等.【巩固】(2009内江)如图，四边形ABCQ内接于圆，对角线AC与3D相交于点E，F在AC上，AB = AD ZBFC = ZBAD = 2ADFC求证：(1) CD丄DF： (2) BC=2CD【难度】3星【解析】(1)利用在同圆中所对的弧相等，弦相等，所对的圆周角相等，三角形内角和可证得ZCDF = 90%1则 CD IDF;(2)应先找到BC的一半，证明的一半和CD相等即可. 【答案】

21、(1) 9： ab=ad9 AB = AD 9 ZADB = ZABD ZACB = ZADB , ZACD = ZABD , ZA(M = ZA) = Z/U?)= ZACQ ZADB = (180-ZBAD)2 = 90-ZDFC.： ZADB+ZDFC = 90Q卩 ZACD + ZDFC = 90 ,:.CD丄DF(2)过F作FG丄BC,V ZACB = ZADB ,沢 ZBFC = ZB AD, ZFBC = ZABD = ZADB = ZACB :.FB = FC FG 平分 3C, G 为 BC 中点，ZGFC = ；ZBAD = /DFC .2 ZGFC = ZDFC、FC =

22、 FC , ZACB = ZACD FGCADFC).:.CD = GC = -BC.2 BC = 2DC 【点评】本题用到的知识点为：同圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的圆周角相等，注意把所求角的度 数进行合理分割；证两条线段相等，应证这两条线段所在的三角形全等.【巩固】如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O,对角线AC是直径，对角线AC和3D的交点 AB = BD,且PC = 06,求四边形ABCD的周长.【考点】圆内接四边形,【难度】4星【題型】解答【关键词】cP【解析】连30并延长交AP于H ,则阳丄AD, A CD/BH t = ，得CD = MD = 2/2 , BO POA

23、H = yi ,OH = * ,BH = 2 ,AB = y/6 ,BC =羽,所求四边形的周长为1 + 2血+的+石.【答案】1 + 2/2+V3 + x/61. 圆内接四边形ABCD. AC丄BD, AC交BD于E, EG丄CD于G,交于F.求证：AF = BF【难度】3星【解析】证法一：如图，9： ZCDB + ZGCE = 90 9 ZCG + ZGCE = 90 , ZCDB =乙CEG 久 AEAF = ZCDB , ZAEF = ZCEG, :. ZEAF = ZAEF ,:.AF=EF9同理 BF = EF AF = BF 证法二：如图，过F作阳丄AE于： ZGDE = ZHAF , ZGEC = ZHEF9 RtAGECRtAAMF,RtAGECRtAHEF .AH _HF HE _HF，eDGGE 1 GEGC9皿#、时人p AH DG - GC两式相除得：=HE GE2而GE是RtADEC斜边上的商，:.GE2=DG GCAU 一 = 1 ,即 AH = HEHE又: BE 丄