圆与方程知识点整理

1、关于圆与方程的知识点整理、标准方程x2.22 一,一a y b r 1.求标准方程的方法一一关键是求出圆心a, b和半径r待定系数：往往圆上三点坐标,利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系,特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2.特殊位置的圆的标准方程设法 条件(无需记,关键能理解)方程形式圆心在原点过原点.22.2b a b 0圆心在x轴上圆心在x轴上且过原点与x轴相切圆心在y轴上r2 r 0圆心在y轴上且过原点b2 b 0b2 b与y轴相切与两坐标轴都相切般方程x2 y2 Dx Ey FD2E24F1. Ax2By2CxyD

2、xEy0表示圆方程那么2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法:A BC 0D 2AE"aB 00E 24 AF 03. D2 E2 4F 0常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系1. 判断方法：点到圆心的距离 d与半径r的大小关系d r 点在圆内；d r点在圆上；d r 点在圆外2. 涉及最值：(1)圆外一点B,圆上一动点P,讨论|PB的最值(2)圆内一点A,圆上一动点P,讨论|PA的最值PBmin BN| |BC rPBmax lBM| BC| rPAmin lAN r |ACPAmax | AM r | AC四、直线与圆的位置关系1. 判断方法(d为圆心到直线的距离)(1)

3、相离没有公共点0d r (2)相切只有一个公共点(3)相交有两个公共点0 d r这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围2. 直线与圆相切(1)知识要点根本图形 主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l与圆C相切意味着什么圆心C到直线l的距离恰好等于半径r2常见题型一一求过定点的切线方程4切线条数点在圆外一一两条；点在圆上求切线方程的方法及注意点条；点在圆内 无i点在圆外2如正点P x0, y0,圆：x a.22y.b r 第一步：设切线l方程y y0 k xX0第二步：通过d r k,从而得到切线方程 特别注意：以上解题步骤仅对 k存在有效,当k不存在时,

4、应补上千万不要漏了!如：过点P 1,1作圆x2 y2 4x 6y 120的切线,求切线方程.答案：3x 4y 1 0和x 1ii 点在圆上1假设点x°, y°在圆x判断直线与圆相交的一种特殊方法一种巧合 ：直线过定点,而定点恰好在圆内 关于点的个数问题y2r2上,那么切线方程为 x°xy°y会在选择题及填空题中运用,但一定要看清题目22 o2右点x0, y0在圆x a y b r上,那么切线万程为x0 a x ay0 b y b r2碰到一般方程那么可先将一般方程标准化,然后运用上述结果由上述分析,我们知道：过一定点求某圆的切线方程,非常重要的第一步就是

5、一一判断点与圆的位置关系,得出切线 的条数.求切线长：利用根本图形,APCPAPJCP|2 r2求切点坐标：利用两个关系列出两个方程AC rkAc kAP13. 直线与圆相交1求弦长及弦长的应用问题 垂径定理及勾股定理一一常用弦长公式：|'.1 k2x x21 k2 x1 x2 2 4*x2 暂作了解,无需掌握2例：右圆x 3 y5 2 r2上有且仅有两个点到直线4x 3y 2 0的距离为1 ,那么半径r的取值范围是答案：4,64. 直线与圆相离会对直线与圆相离作出判断五、对称问题特别是涉及一些参数时1.假设圆x2 y22m1 x2mym0,关于直线x y 1答案：3 注意m1时,D2

6、E24F 0 ,故舍去变式：点A是圆C : x22 yax4y 5 0上任意一点,a 一,22.圆 x 1.y 321关于直线xy 0对称的曲线方程是0,那么实数m的值为A点关于直线x 2y 1 0的对称点在圆 C上,那么实数2一 2.一一 22. 变式：圆C1 : x 4 y 21与圆C2 : x 2 y 41关于直线l对称,那么直线l的万程为 一 .22.3. 圆x 3 y 11关于点2,3对称的曲线方程是4. 直线l： y x b与圆C : x2 y2 1,问：是否存在实数 b使自A 3,3发出的光线被直线l反射后与圆C相切于 ,24 7 点B , 假设存在,求出b的值；假设不存在,试说

7、明理由. 25 25六、最值问题方法主要有三种：(1)数形结合；(2)代换；(3)参数方程1.实数x , y满足方程x2 y2 4x 1 0 ,求：(1) L的最大值和最小值； 一一看作斜率x 5(2) y x的最小值； 截距(线性规划),一、22. -一(3) x y的取大值和取小值.两点间的距离的平万2. AOB中,OBAOB内切圆上一点,求以 PA , PB , PO为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.数形结合和参数方程两种方法均可!3.设P x, y为圆x2 y 1 2 1上的任一点,欲使不等式x0恒成立,那么c的取值范围是答案:c J2 1 (数形结合和参数方程两种方法均可!七、

8、圆的参数方程r cos为参数a r cos为参数r sinr sin八、相关应用1.假设直线mx 2nyn R ),始终平分圆4x 2y0的周长,的取值范围是2.圆C : x2y22x4y 40 ,问：是否存在斜率为使l被圆C截得的弦为AB,AB为直径的圆经过原点,假设存在,写出直线l的方程,假设不存在,说明理由提示:xx2yy20或弦长公式d .1 k2xx2 .答案：x y 13.圆C : x设P点是圆C上的动点,d | PA2 |PB2,求d的最值及对应的P点坐标.4.圆C : x25,直线l :2m 1 xm 1 y 7m 4 0 ( m R)(1)证实：不管m取什么值,直线l与圆C均

9、有两个交点;(2)求其中弦长最短的直线方程5.假设直线y x k与曲线xy2恰有一个公共点,那么k的取值范围.O为坐标原点,问：是否存在实数6.圆x2 y2 x 6y m 0与直线x 2y 3 0交于P , Q两点,OP OQ,假设存在,求出m的值；假设不存在,说明理由九、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法d为圆心距(1) dr12外离2 d12外切 312d12相交(4) dr1 r2|内切(5) d12内含2.物圆公共弦所在直线方程圆 C1 : x22一一- 一一y DxEy F0,圆 C2：22_x y D2xE2yF20,那么 D1D2x E1E2 yF1 F20为两相交圆公共弦方程

10、.补充说明：假设Ci与C2相切,那么表示其中一条公切线方程;假设Ci与C2相离,那么表示连心线的中垂线方程3圆系I可题(1 ) 过两圆C1 : x2y2DxEyF10和C2 :22x yD2xE2yF20交点的圆系方程为22x yDx Ey R22x yD2xE2yF20 (1)说明：1上述圆系不包括 C2 ; 2当 1时,表示过两圆交点的直线方程公共弦2 过直线 Ax By C 0 与圆 x2 y2 Dx Ey F 0 交点的圆系方程为22x y Dx Ey F Ax By C 03有关圆系的简单应用4两圆公切线的条数问题相内切时,有一条公切线；相外切时,有三条公切线；相交时,有两条公切线；

11、相离时,有四条公切线十、轨迹方程1定义法圆的定义：略2 直接法：通过条件直接得出某种等量关系,利用这种等量关系,建立起动点坐标的关系式一一轨迹方程22例：过圆x y 1外一点A 2,0作圆的割线,求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程分析：OP|2 AP2 OA23相关点法平移转换法：一点随另一点的变动而变动动点 主动点AOQ的平分线交特点为：主动点一定在某一的方程所表示的固定轨迹上运动例1.如图,定点 A 2,0,点Q是圆x2 y2 1上的动点,AQ于M ,当Q点在圆上移动时,求动点 M的轨迹方程.分析：角平分线定理和定比分点公式的范围得出x , y的范围.(4)求轨迹方程常用到得知识XaXbXcXiX2x重心G x, y ,3中点P x, y ,x2内角平分线定理:|BDaVtyyAyBycv北y2|cd|AC/3y2AB 定比分点公式： 韦达定理.AM,那么XmXaXbyAyBMB1,yM1例2.圆O :点A 3,0 , B、C是圆.上的两个动点,A、B、C呈逆时针方向排列,且求 ABC的重心G的轨迹方程法1: QBACBC为定长且等于33设 G x, yXaXb3yAyByc3 XbXc3yB yc取BC的中点为xE3.3 3,42Q OEXeXbyE故由CEXc2yByc2(1)得:法2:(参数法)设 B 3cosC 3cosx, yXaOC3