高一数学必修四平面向量知识与题型归类

1、2、向量的数乘运算:高一数学必修四平面向量基础知识与题型归类(1)+i=AB+BC=AC0。一.向量有关概念：1、向量的概念：既有大小又有方向的量，2、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作： 0,注意零向量的方向不确定；3、单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量；a的单位向量：与a同方向且长度等于1的向量，记作a0并且a0=，；a4与a共线的单位向量：与a方向相同或相反且长度等于i的向量，可表示为±*。a4、相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量；5、平行向量(也叫共线向量)：向量的基线平行或重合，称为向量共线或平行，记作：a / b ；即共线的向量方向相同或相反；

2、规定：零向量和任意向量平行 。6、相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。二.向量的表示方法：1 .几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB,注意起点在前，终点在后；2 .符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a, b, c等；3 .坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量i , j为基底，则平 3 * -面内的任一向量 a可表示为a = xi + yj = (x,y ),称(x, y)为向量a的坐标，a = (x, y)叫做向量a的坐标表示。如果 向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三.向量的运算：1 .

3、几何运算：(1)向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连.平行四边形法则的特点：共起点.(2)向量的减法：三角形法则的特点：共起点，方向指向被减向量实数九与向量a的积是一个向量，记作 九a ,它的长度和方向规定如下：?.a叫a,T1f彳 4当儿>0时，儿a的方向与a的方向相同，当儿<0时，儿a的方向与a的方向相反，当九=0时，%a=0,一、 3、向量的坐标运算：设a= (x, y1),b = (x2, y2),则：一 H 4向量的加减法运算：a±b=(x1 士 x2, V ± y2)。实数与向量的积：九a =九(x, ,y1 )=(Kx1,九y1 )。T若A(x

4、,，y1),B(x2,y2),则AB = (x2 x,，y2 y,)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。向量的模：|a|= Jx2 + y2, 2=|g|2=x2+y 2四.平面向量的数量积 ：- - T4TW-j1 .两个向量的夹角：对于非零向量a , b , # OA =a OB =b ，/AOB=8(0E8 Mn)称为向量a , b的 夹角，记作(31)，当B =0时，a, b同向，当8 =n时，a, b反向，当8 吃时，a, b垂直。2 .平面向量的数量积：如果两个非零向量 a, b,它们的夹角为0 ,我们把数量|a|b|cos9叫做a与b的 数量积(或

5、内积或点积)，记作：a b ,即禽 b = t巾cos9。规定：零向量与任一向量的数量积是 0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量。3 . a在b方向上的正射影的数量 为|：904：1)4 .向量数量积的性质：设两个非零向量 a, b,其夹角为e ,则：4 *,+ 4 a _L bu a ,b = 0 ；1- -I Hii 4i%4 22 2-I *当a, b同向时，a*b = aib，特别地，a = a,a=|a ；a = Va ；当a与b反向时，a* b =-目b ；寸* * | a ,b |M| a |b |。H为锐角u a b >0,且a、b不同向，；a为钝角u a* b &l

6、t;0,且a、b不反向;高一数学必修四平面向量基础知识与题型归类(2)5、平面向量数量积的坐标运算 ：设两个非零向量a=(x,y1), b=(x2,y2)，则 a b =xx2 +y1y2.若 a = (x, y >则 a>2 =x2 +y2,或 a =JX + y2 .设 a = (x1，yi ), b =(x2, y2 ),则 a _Lbu xx2 +yy2 = 0 .设a、 b都是非零向量，a = (xi,yi), b="2,y2), 8是a与b的夹角，则cose=煎=XX2+y1y2间忖 Jx2 +y； Jx21y2五.向量的运算律：4*44 彳 彳44，一1 .

7、交换律：a + b =b + a ,九(Na )=( ?卅)a , a b = b a ;2 .结合律：a+b+c = (a+b )+c,abc = a(b+c ),(九a ).b =(a +b )=a (%b )；44 4 4443.分配律：(九 + N )a = ；-a + Na,人(a+b )= >=a + 九b , (a+b ),c = a ,c+ b ,c。提醒：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一 个向量，切记两向量不能相除(相约)；

8、(2)向量的“乘法”不满足结合律 ，即a(bC)丰(a*b)c。八、向量中一些常用的结论 ：(1) 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；(2) |a|-|b|<|a±b|<|a|+|b|,特别地，前面等号成立的条件是a、口同向或有0；后面等号成立的条 43件是a、b反向或有0(3)在 4ABC 中，重心：中线的交点且重心将中线分成 2： 1两段；外心：中垂线的交点；垂心：高线的交点；内心：角平分线的交点。(2) PA + Tb+TCP 为AABC 的重心；T T T -H T PA PB= PB ,PC= PC PAu P 为 ABC 的垂心；2-2I

9、2PA = PB = PC u P为&ABC的外心;若向量 aP = (4.3)(. 之0),则点P的轨迹一定过AABC的内心; |AB| |AC|六、向量共线与垂直的条件-I 44 -I4口叶'平行向量基本定理：若 a=Kb= a/b,反之，若a/b(b=0)= a = ?b (其中九是唯一的实数)向量共线的坐标表不：设两个向量a=(x1，yi), b=(x2,y2) 则a/bu 4丫2-丫1乂2 = 0T 三点共线：不重合白三点 A、B、C共线UAB二，uACT T u存在实数"、P使得PA=O(PB+PPC且口+P =1.向量垂直的条件：a J-b a b =0

10、= x1x2 +y1y2=0.T T)七、平面向量的基本定理 ：如果已和金是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数1、入2,使a = %e+ %62 。其中不共线向量 3,e2叫做一组基底，记作;二。高一数学必修四平面向量基础知识与题型归类(3)经典题型：一、基本概念 判断正误：3、已知平面向量a,b满足(a-bL(2a + b) = -4且4、已知a,b是两个非零向量，且=2,则a与a+ b的夹角为(1)(2)(3)共线向量就是在同一条直线上的向量。若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。与已知向量共线的单位向量是唯一的。5、设非零向量 a、b、c满足

11、 |a |=| b|=| c|,a+b= c ,则 < a,bA=6、已知=5,。=4, a与b的夹角9 =(4)a与b不共线，则a与b都不是零向量。,则向量b在向量a上的正射影的数量为(5)A、B、C、D四点构成平行四边形，则 aB=CDo7、已知| a |= 3 , | b |= 5 ,且ab=12 ,则向量a在向量b上的正射影的数量为(6)AB=CD,则a、b、c、D四点构成平行四边形。8、已知i与j为互相垂直的单位向量，a=i-2j, b=i +九j且a与b的夹角为锐角，则实数九的取值范围是a =b',则 a = b。(8)若a=b,b=c, 则a=c。9、如图，等边 A

12、BC 中，AB = 2AD = AC = 4AE = 4,求"BEjCD .(9)a/b,b/c ,则 a/C(10)a = b;(11)若 ma =mb ,则 a = b。(12)若 ma = na ,则 m = n。(13)若 a,b=0,则 a=0 或 b=0一 24242(15)(a b) =a b(14)若 |a+b|=|a b|,则 a_Lb。二、向量的运算1、化简： Ab BC CD2、若。是AABC所在平面内一点，且满足-t TT T T-AD - DC =;(AB -CD)-(AC-BD)= oB-OC =|OB +OC-2QA1 ,则 AABC 的形状为10、如图

13、，在矩形 ABCD 中，AB = V2，BC=2,点E为BC的中点，点F在边CD上，若 AB AF = W求 AE BF的值.| AP |3、若D为 MBC的边BC的中点，MBC所在平面内有一点 P ,满足PA + BP + CP = 0,设上中=九|PD|则入的值为4、若点。是 ABC的外心，且 OA+OB +CO =0 ,则 4ABC的内角C为5、若 M (-3 , -2 ) , N (6-1 ),且MP= - MN则点P的坐标为3三、向量的夹角与数量积1、 ABC43, | AB |=3,| AC |=4, | BC |=5,则 AB BC =2、已知 a = (1,),b = (0,

14、), c = a + kb,d=ab, c与 d 的夹角为一，则 k 等于 224B五、向量的模高一数学必修四平面向量基础知识与题型归类(4)4、设 PA-(k,12), PB四、向量共线与垂直一 3 _ 一1、若向量a =(x,1),b =(4, x),当*=时a与b共线且方向相同2、已知a,b不共线，C = k&+b,d =gb,如果c / d ,那么k= 2与3的方向关系是 _111 - 一 耳 J3、a = (1,2),b = (2,-3),若向量 c满足于(c + a)/b, c 1 (a + 切，则c =(4,5), PC=(10,k),则 k=时a A,B,C 共线5、以

15、原点。和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB /B=903,则点B的坐标是 6、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1) , B(-1,3)，若点C满足OC=OA+，“2OB,其中%, %WR且儿+九2 =1,则点C的轨迹方程是 7、若：=(12,5),求!a的单位向量；!与a共线的单位向量；4与a垂直的单位向量。1、设向量a, b满足W E = 1及4之3b = 3,则3% +5b的值为 2、设向量4, b满足耳=1北=2,Z_l620),则24 + b的值为 3、已知向量a、b>c两两之间的夹角为 60° ,其模长都为1,则a-b+ 2c =.4、已知

16、向量a = (1,sin9),b = (1,cos9),则a b的最大值为 5、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2 = 16,AB +AC|=|TB-To1 , fJ'TM| = 六、平面向量基本定理的应用问题1、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是八 一 一 T ,一 一 ，_ 1 3A. s =(0,0),e2=(1,2) B.e=(1,2),& = (5,7) C. 8 = (3,5), 62 = (6,10) D. e = (2,3),金=仁，)24444Q2、a = (11) ,b = ( 1,1) ,c = (4,2),则 c =()(A) 3a

17、 b (B) 3a-b (C) - a 3b (D) a 3bTT 4 T , t .3、已知AD,BE分别是AABC的边BC, AC上的中线，且AD = a,BE = b ,则BC可用向量a,b表示为> > > > >4、已知AABC中，点D在BC边上，且CD = 2 DB , CD = r AB+ s AC，则r + s的值是8、已知a=(1, 2), b= (-3, 2),若ka+2b与2a-4b共线，求实数k的值；若ka+2b与2a-4b垂直，求实数k的值5、如图，在 ABC 中，aN = - NC , p 是3一 _2 AP = m AB + AC ,求实数m的值.96、如图 ABC中，AD = 2DB , 2AE = EC , 若 TP = XAB + yAC(x, yw R),求 x+ yBE。CD =BN上的一点，若高一数学必修四平面向量基础知识与题型归类(5)七、平面向量与三角函数的综合3 二1、已知< ，A、B、C在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosot ,sin a )。22(I)若|AC|=|BC|,求角a的值；44H3、已知平面向量a= (sin日,-2),b= (1,cos)相互垂直，其中日w (0二)2(1求