《现代控制理论》(刘豹_唐万生)

1、第1章控制系统的状态空间表达式1-1试求图127系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式E1-27M统方块结构區系统的状态方程如下:X = X2 K1Knp八"1pXy =X3Xa H 心 X6A丿丿厂右6xs = -Kr + KX& K. K Kx6 =_-x _ x6 + uKn Kn Knppp令&(s)=y,则y = %i所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为3luo o o o ol-心- 一+1 2 3 4 5 6 rxlxEIXZIXLX如/lo17 01 2 3 4 5 6 rxlxr 尢IXLX-1-1-2有电路如图1-28所示。以电压&quo

2、t;(r)为输入量，求以电感中的电流和电容上的电 压作为状态变量的状态方程，和以电阻&上的电圧作为输出量的输出方程。R1L1L2图128电路图解：由图，令 ii =X19i2 =Uc =X3 输出量 y = 2X2有电路原理可知：R1X1 + Li%! +x3 = u%1 = %2 + C%3既得 玄=一一»3 +右UL1 L1 L1 Z?21兀2 =厂卷+厂无3 1 1恋=_严+严y = & 兀 2写成矢量矩阵形式为：r RiniiXlurr.1I-兀20&1人1%2+匚厶2如.011-0-%3- cc0y = 0 R2 0 %21-3有机械系统如图1. 2

3、9所示,Ml和M2分别受外力fl和f2的作用.求以Ml和M2 的运动速度为输出的状态空间表达式.yiCl/> fl(t)解：以弹簧的伸长度几兀 质量块加勺速率56作为状态变量 即 Xi二y” x2=y2, x3=cx, x5=c2根据牛顿定律,对Mi有:%等二fHUyyJ-B】(6-C2)对 有：Mi 善二企+匕(yi-y：) +BX (c-c2) - k 莎-B 心将 Xi, x=, X3, Xt 代入上面两个式子，得 M：x3=f-ki (x】-xj -Bi (x3-x.)M:%4=f2+k1 (x】一 xj +B：(X3-x J -k2x2-B2xl整理得 %1=X3无2二X注X-

4、m25输岀状态空间表达式为y产5二X31-4两输入吗，"2,两输出为，卩2的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状解：系统的状态空间表达式如下所示:(si -A)=00s«4-1s + a±00 -1s + a3.上%(s) = (s)TB =%(s) = C(sZ 矿=1.0-100 -10O'+ 50a6S00S-100%a4 s+.0b2 S-100 -10O'S + Q0X0-10s-100.0«4s + a3_.0b2i00.s-105-100a2 s + a 0 a6-105-10 a5 a4 5 + «31-

5、5系统的动态特性由下列微分方程描述(l)y + Sy + 7y + 3y = ii + 2u(2)y + 5y + 7y + 3y = u + 3u + 2u列写其相应的状态空间表达式，并画岀相应的的模拟结构图。(1)解：由微分方程得：系统的传递函数为w (s)=-壬S +5s +7S + 3 010 %11込=0C1卜2 +-3-7乂 T-5bdy =210无2転相应的模拟结构图如下：则状态空间表达式为:0'0 u1.11239(2)解：由微分方程得：系统的传递函数为W(s)二一S +5s+7s + 3则状态空间表达式为：1-6 Xi=00-3+uy = 2 3相应的模拟结构图如下:

6、0'0_101X】1 “已知系统传递函数(1)W(S)=总岂(2)")=6(s+l)s(s+2)(s+3)2,试求岀系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图(本题答案方法不对，正确思路：使用教材P41方法，专门用来把传递函数转 化为约旦标准型)解：(1)由"(S)=量:d可得到系统表达式为X1'01x2=00.0-30'0 u丄%1'y = -10 io o %2jc3.求得A的特征矢量1 1 pl =-1.1 .,p2 =-3.9 .则可构成变换矩阵T0.0.1 0' -3090.'1T = pl 卩 2 p3 = 1

7、.1求得T的逆矩阵M31-311634133-计算得到变换都各矩阵分别为1107=0 0L0 0 -3J 1-2MXB =161 3 -CXT = -20-400100'耳O-300兀2+10-20X31000.1.(s+3)2U+ s+3 +10 1sy= -410T1'3.无2兀3A.1-7给定下列状态空间表达式010 'pi01无2=-2-30兀2+1-11-3.73.2y = o 01兀2転（1）画岀其模拟结构图（2）求系统的传递函数解:1'(s + 3)25 + 30o叱“ ($) = (si- A)-1 B =；-一 2(5 + 3)s(s + 3)

8、01(s + 3)($ + 2)($ +1)-5-55 1(5 + i)(5 + 2)2 j(s/ i4)(s+3)(s+2)(s+1)1G + 3)G + 2)G + 1)Wq(s) = C(s/A)Tb = 0 0($ + 3)1 s(s + 3)(25 +1)(5 + 3)1G + 3)G + 2)(s + l)s 1(2) "(s)= 一4) = 2 s + 3s + 3.1 -1sI-A =s(s + 3)2 + 2(s + 3) = (s + 3)(s+2)(s+ 1)(s + 3)2 s + 302(s + 3) s(s + 3)0s 5 s 1 (s + l)(s +

9、 2)G + 3)+ 3)(2$+ 1)($+ 3)(25 + 1)一 G + 2)(s + l)求下列矩阵的特征矢量:解之得：久=1丿2 = 2丿3 = 一3解：A的特征方程：AI-A=A 寸 2_1 1=22 + 42 + 5=01+ 2-解之得：久1二-2+j,久2二一2-j ;当心-2+j 时，；開；=(-2+嚼解得：P11=-JP2V 4-Pn=b 得当 A2-j 时，匚(-2-J) j解得：际一叽，令叱1，得专(2) A二0 16 5-解：A的特征方程：HI呛E片+ W0解之得：九二-2, A2=3 ;当九二-2时,0 1-6 -5 “21rPni二一 2ViiP21.解得：卩21

10、 二一2pm 令P11 二 1，得P二1-2-当久2二7时,0 1-6 -5卩22rPi2i二一 3P12P22.解得：卩22二一3p令卩12二1，得卩2二1-3-0 1o -(3) A =302-12-76.解：A的特征方程XI-A =-A-3-10 '-2=A3 4- 6A2 + 11A + 6 = 0.127A + 6.01o -卩山P11当九=一1时,302P21P21-12-76.P31.加解得：P21 = P31 P11令 Pll = 1(或令 Pll = -1，P11-rP21=1如.1.得几= -2 时,2 2 212 3 卫P卫1 O72 2 212 3 卫P卫解得：

11、卩22 = 2卩12*卩32 =212令 P12 = 2T12P22P32.P2 =2 '-41 .P12(或令P12 =得卩2= P22'1 '-2 )解得:'1 '-3.3 .03-12P3210-71令P132026P23 = 3p13,P33 = 313'12-1'(4) A =-10-1.445 .A - 1-2解：A的特征方程XI A =1A.-4-4解之得:久1 = 1,久2 =5+西丿221 '1= A3 - 6A2 + 15A -10 = 0A 5.1当1时，-1-rPii'-1P215 .叽丿3 =20

12、4卩1T =P21卩31.111 p 令12 3 rppLP当；（2 = 5八両时,解得:令 P22 = 1解得:时，-i令卩23 = 14r i411-9试将下列状态空间表达式化成约旦标准型。(1)x2i L1 lxl _ 2y=l 0x解：A 的特征方 A=A2 + 4久 + 3=0解得久=-1或久二-3解之得 PxFPzu 令 Ph=i，得 PfJ-21解之得P沪一P切故 T=；丄则厂W1-L12-12-1-003ZB 二2-12,CT=1故约旦标准型为Z二才_° z，y二11，1Z(2)ryii.212123%2Lx3JL51'7 u3.解：A 的特征方程|加川二沪7

13、A2 + 15A - 9二(久-3)(2 3)(2 1)=0Pnriii21二 3卩21卩31-22341当九二3时特征向量：101 -11 解之得比二戸21=卩3”令Pll=l 得Pi二1.1.肖入二3时的广义特征向量,41» 11'1 0 2P22二 3卩22111-13.P32 -卩32.1.1解之得 P/Px+l， P=二P3" 令 P/1，得匕二 0OP13P13卩23二卩23卩33-33 -2241当;(3二1 时 101 -1O 解之得P孑o, P沪2P如令P33=l,的P3二2.1.310'-27厂】AT二030厂】B二49.001.-3-1

14、5.CT 二3L214'03.1 1 0'0 1 0 故T二10 2,T-1 二-111.1 0 1.2 -2 -1.10' 27 '30X+49U01.-3-15.3故约旦标准型为Z二0.04'1-10J.已知两子系统的传递函数阵WjlG)和”2(s)分别为：W1G)=s+11+2s+1试求两子系统吊联连接时系统的传递函数，并讨论所得结果。解：两子系统串联联接时，系统的传递函数阵W(s) = W2(s)lV1(s),得W(s) =15 + 31-S + l11s+10s+2s+1s+2二15 + 401(s+l)(s+3)(s+2)(s+3)(s+4)

15、I(s+l)2(s+l)(s+2)s2+5s+7两子系统并联联接时,系统的传递函数阵W(s)二W(S) +%(S),得1 11 1s+1s+2+s+3s+4cS+l11八0 0s+2.S+lW(s) =s+l2s+42s+6(s+l)(s+3)(s+2)(s+4)s+1 s+2串联联接时，山于前一环节的输出为后一环节的输入，串联后等效非线性环节特性与两环节的先后次序有关，故改变向后次序等效特性会发生改变。并联联接时，系统的传递函数阵为两系统单独作用后的叠加。1-11已知如图122(见教材47页)所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别1 _ 1 s+lS0 2s+2为昭G)=”2(S)=L

16、O求系统的闭环传递函数阵。解:1s + 21.001.1s + 201/+ lVi(S)"2(S)= /+ * +0s ri1 Lo01.s + 2s + 2s + 31 -ss + 2s + 1-s + 1VV(5)= /+(5)VV2(5)P(5)=5 + 31'"1s + 15 + 1(s + 2)(s + l)sS + 2s(s + 3)5 + 301015+1s + 301 -ss + 3s + 2S + 1 s(s + 3)s + 2s + 3 -£ 1S 5 + 15 + 2 s5 + l_ .1-12已知差分方程为:y(k + 2) + 3

17、y(k + 1) + 2y(fc) = 2u(fc + 1) + 3u(k) 试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b (即控制列阵)为fo(l)g1(2)b =1解：由差分方程得传递函数”(刃=島去=士+三化为并联型：x(k + 1) = -1 为 x(k) + J u(k)y(fc) = i i斑町化为能控标准型：x(k + 1) = _°2 J3 x(k) + ； u伙)y(k) = 3 2x(fc)第2章 控制系统状态空间表达式的解2-1试证明同维方阵A和B,当AB=BA时，疋eBt=e缶厂t,而当aBhBA时, eBt 0(0)=才：=I。证明：由矩阵指数函数

18、 u(t) = I(t)=I + At+ A2t2 + - + Aktk + - 可得：e(A+B)t=I+ (aB) t +(A+B)2t2 +CA+B?t3 +=1 + (A+B )t (A2 +AB + BA+B2 ； t2 + 2!+ + (A3 + A2B + ABA + AB2 + BA2 + BAB + B2A + B3 ) t3 + 3!eBt=(Z + AtA2t2 + A3t3 + Bt+B2t2 + B2t3 + )二 /+ (A+B) t CA2 +AS + M+52 > t2 +2!+ 4+ >12B + ABA + AB2 + BA2 + BAB + B

19、2A + B2 ) t2 + 3!将以上两个式子相减，得：q (A+B)t-eAf eBt-右(BA - AB)t2 + 专(BA2 + ABA + B2A + BAB - 2A2B + 2AB2>)A3t3 + - 显然，只有当AB = BA时，才有e肮二o,即“+b几二护叫否则e <A+B)teAteBt.2-2试证本章2.2节中儿个特殊矩阵的矩阵指数函数式(2.17),式(2.18),式(2.19)和式(2.20)成立。证明：(1)式(2. 17)由矩阵指数函数讹)=Z(t)=Z +血+討2以+扫3" + .可得：u(t) = /(t>7 + >lt+

20、A2t2+A3t3 + -2蕩存忙V001Lk=0A2Z即得证。(2) 式(2. 18)由矩阵指数函数 u(t) = Z(t)=Z + At+j；A2t2 +A2t3 + 可知，若存在非奇异变换阵T,使得T1AT = A,则A = TAT1,且兀心，九是 特征根可知p=4AtkV001 )k,kQAt二丁乙k=0/l2cT_'二跃。訥T即得证。(3) 式(2. 19)"1 A 10若力为约旦矩阵，A =J =久"0A 1 丿曲矩阵指数函数 U(r) = Z(t)=Z + At+A2t2 +A3t2 + 3 3OO2 -I3oooO : oo : o3.14-oo2A

21、器o2ii40n-1焉nA?-2nA?-1兀矿371矿200Aw =00nA?-1 090000ko000 ；1将以上所求得的4、月？代入(*)式,令肚。詁汁邛，则笫i块的状态转移矩阵：(ed(f>d2(f>0(E_丄dAt2!dAf(m-l)!财严0ed(f>d(m-2fqM-dXi(m-2)!筋广2000 (m-3)!筋匸-彳lo0 0 0 /teAit eAitf.m-1A rAit(1t21严-1c,.bt22(m-l)!0eAitteAitt.m-2_trt01t1严2(m-2)!(m-2)!00ax；t3 ZU0011y.m-3p 1.K (m-3)!C(加一3)

22、! 000. 0e1 /000i /即得证。(4) 式(2.20)拉式反变换法证明：由4 =(O-0):)得:-0)s - a1 - 21-2;+ -1-2J1 i 2+ +则状态转移矩阵为:山欧拉公式得:(±(护+-0)=eaty_±(e>tcos cot sina)t-smo)t cos a)t 丿即得证。2-3；)-5 4/试用拉氏反变换法求(与例2-3、例2-7的结果验证)解:由"宀厲y转化成部分分式为：s2 一 4s + 522ss 4 1 s(s - 4) s -5s + 2 s2一幻+ s2+ + 5-1s-2+ s-2亠+丄+二 (s-l)2

23、s-1s-23 n + + (s-1)2s-1s-2亠+丄+兰 (s-l)2s-1s-2二+丄+丄(s-1)2 s-1s-2(s-1)2 s-1s-2(s-1)25-2/7乂山拉氏反变换得:L(s/- 4 尸(-2et + e2f=(-2tet - 2，+ 2e2tV-2tefc - 4ef + 4e2t3tef + 2ef - 2e2t3tet + 5et - 4e2t3tef + 8ef 一 8e2f-tef + et + e2t -tef - 2ef + 2e2t j -tet - 3ef + 4尹丿2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数0。(1) A=(J -1) (2) A=(：解：(

24、1)方法一：约旦标准型由A二C 7)'令1引一仆0，即I ； ； = °得护+ 4 = 0,解得久1二2i,久2 = 2iAP = AP 可得 当A1 = 2i时，设Pi=（；：）由础=砧-得C 7）（；：） = 21 （；：），解略;：二当即人=（_2i） 当X2 = -21时，设卩2=（；：）由朋2 = 5,得（：7）（畫）=-2临）,解得；：二訥P2 =（2i）则，矩阵指数函数eAt = TeAtT1= （_；：(ei2t 0方法二：定义法山已知fi 0)s -P+（0 1丿<4 0丿7l-2r+-r4+.32 3一/ + 广 +.34/-/' +.1一2

25、尸+?*+.33方法三：凯莱-哈密顿定理A<J J，令F 仆X 1-4 A=0,得” +4 = 0,解得：特征根久1二21、久2 =皿则（纤C益H爲则，eAt = a0I + a1?l=(|el2f + /i(ei2t-e-i2t) L(ei2t-ei2t) l扛严宀)轧严+ e®)丿 方法四：拉氏反变换法214i0、1214i)c冷处+ 土 ©一2 2Lei2t_Le-i2t4i4i/ -)(0 -1 t ) 40（2）方法一：约旦标准型由甘（：），令卜/一力|二0,即二/= °，得A2-4 = 0,解得久产3, A2 = -l曲力P = 可得 当血=3时

26、，设B二（；：）由侶=砧,得（:M；：卜璐：）,解得；：；即（J 当久2 = -1时,设卩2二（；）由码=仍，得（：7）（畫）=-（畫），解得；：二即§ =（匕 变换矩阵T = （P P2） = g则，矩阵指数函数eAt=TeAtT方法二：拉式反变换法 由si A 二（爲：），得:s-1(s-3)(s+l)(s-3)(s+l)(s-3)(s+l)s-1(s3)(s+l)则，矩阵指数函数eAt = lT1（sI-AY1 =s 1(s - 3)(s + 1) V -4 s2。一 3S+174。一3+ -( s- 3 s+12、s-3卩+222e2t + e_t方法三：凯莱-哈密顿定理由

27、A二（:：），令sI-A=0, 即久2 = _15八4就»七4则3 (;则，矩阵指数函数= a0I + a.Aie3t + ie-fc2 2e3t +41 311 t-e e 44丄汙+丄尸2 2)(:下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。1)0 (t)0sint-cost0cos tsint小100 (t)昇)+ e2t二 (2e_t _ e2t 2e - 2e2t I e y 一 e-2t 2g y 一 e-2t ) -扌(小+歼八 皆+戶)丿e（o）=解:因为壬1,所以该矩阵不满足状态转移矩阵的条件(2)因为0(0) =1001-=1，所以该矩阵满足

28、状态转移矩阵的条件00(3) 因为u(t)=Z(t),所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 则%(t) = <#>(t)x(0) +t) Bu(r)dT丿0(4)因为。(0)=1.001.=1，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件则2-6A = t=Q1 3 3f = e_t +-e2t2 2e_t + 3e3tt=o求下列状态空间表达式的解:<0ro>y 二(1o)x初始状态尢(0) = (：),输出u(t)是单位阶跃函数。 解：系统矩阵：A = ( J) 特征多项式为:sI-A = -1)a心 I1)1 1'.41.因为 B = (；) , u(t) = Z(t)所

29、以 x(t) = <P(t)x(0) + 石 t) Bu(T)dT72-7试证明本章2. 3节，在特定控制作用下，状态方程式(2. 25)的解、式(2. 30)、 式(2.31)和式(2. 32)成立。证明：(1)采用类似标量微分方程求解的方法，则有：x - Ax = Bu等式两边同乘广加，得：eAt x Ax = eAtBu(t)即= eAtBu(t)对上式在®,t上积分，有：整理后可得式：x(t) = ex(t-t°)x(t0) +Bu(r)dT(2)脉冲响应：u(t) =K5(t), x(0_) = xo时，由状态方程解为：x(t) = "(Io)X(

30、S) + J； "(I) Bu(T)dT把to =0-带入，有x(t) = eAtx(0_) + f gA(tY)Bu(r)dT丿o_带入u(t) = k5(t),有x(t) = e4t%(0_) +e4(t_T)BkSdi = eAtx0 + eAtBk (考虑到5函数的特点)(3) 阶跃响应：山状态方程解为：x(t) = ex(t-to)x(to) +Bu(r)dT把to = 0_带入，有x(t) = ext%(0_) 4-咼 /(i)Bu(r)dT = eAtx0 + eAt 建(/ - A® + 守一.)dQB/c,积分，由上式得： x(t)二“ + 曲("

31、;一竽+ 穿二"仪o +(犷1)(厂加-I)Bk=eAtx0 + Ar(eAt - I)Bk(4) 斜坡响应：山状态方程解为：x(t) = e4(t_to)x(to) + J； eA('tT) Bu(j)diro把S = 0_, u(t) = kt x l(t)代入，有x(t) = extx(O_) + 咼 eA(t-T)idiBk =eAtx0 + eAt 们(Z Ar +.)t diBk二/% + 严("2 一訴3+警)以=eAtx0 + A2(eAt -I - At)Bk=eAtx0 + A2eAt -I)- ArrtBk2-8讣算下列线性时变系统的状态转移矩

32、阵0（t, 0）和0一1亿0）。解：由题意知：门必二'：（； g）dT二（斗。浮0V0八 0 0/-t30”寸 oU（T）dT力（0即：心和J：力（0）血是可以交换的由：°（r,0） = expJ：A（T）d©得：2go） =expfA（T）dT =（； ；）+（巧沪（彳+.二（1 + 扌产 + If4 + °）由状态转移矩阵e（缸o）的基本性质：0（t,to）二h（to，t）,得: 0_1（t,O） =0（0, t） =expfA（T'）dT 而小（T）dT=f；（； °） dT =（- I'" J） 如伽）Z:卅-尹

33、町彳訂加九)如(0即：力(0和A(l)dT是可以交换的由：0_1(t,O) = explfAdr-1 得：0_1(f>O) = 旳JA(e)血尸二旳J；4(®)dT =0(0, t)2=e ?)<f W A=(1-期 + »4 + 0)(2)由题意知:J0(T)dTT ；)血11_oA J(T)dT =(/-X0>B|J：月(t)和j：力必是可以交换的由:0(t, 0) = expA(r)dT得:0(匚 0)二explfAdT山状态转移矩阵0(t,t0)的基本性质：。(缸o)二0一1仏江)，得:0_1(t,O) =0(0, t) =expfA(ry)dT而

34、心伽眉二打0 口Yr 0丿/e_t(l - el)0 r0=(tt )=/. A(i)dTA(t)即：心)和fA(r)dT是可以交换的由：0_1(t,O) = expf(T)dT_1 得:0_1(tO) = exp J(T)dT_1=expf t°4(T)dT =0(0, t)0 el-l1 - eT0-1 + - -|e_2t + -JA Jt°i4(T)dT 二0 e_t- 1l-eT 01 0J0 e-l0 1)V - e-T 0 1+尹_匕-2七+ .2 21一小+e-t72-9有系统如图22所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T二0. Is 和1S,

35、而均和地为分段常数。解：f K/(s+I)<?9-图2.2系统结构图解：将此图化成模拟结构图7列写状态方程为：(x± = ku± - x1“2 =1-U2y = %2 + 2%i可表示为：x =(7 °)x+(； JX；) 八(2°C：)则离散化的时间状态空间表达式为：x(k + 1) = G(T)x(k) + H(T)u(k)y(k) = cx(fc) + Du(fc)由 G(T)=严和 H(T) = J； eAtdtB 得: 系统的个矩阵为：A = (-1 J)“27( (k(l eT)U(T - l + e-T)k0"七=厶T(s/

36、 - A)-1 = L-1 (s二 1k 0) = (0 -V 0> c匚1 - eT 0T-l + e-T T)p 一011 - e'01当 T二0.1s 时，有 x(k + 1)=(L = ©5)(k<0;)讹)+(/c(l-e-01)0 .L(e-01-0.9) O.J"()y仇+ 1) = (2 l)x(k)当T*时，有砍+ 1)叫二f/cCl-e-1)V ke10-13y(k +1) = (2 l)%(fc)2-10有离散时间系统如下，求尢伙)1/%i(k + 1)2x2(k + 1)7118%i(0) = -1, %2(0) =3输入吗伙)是

37、斜坡函数r采样而来，u2(t)是从厂七同步釆样而来。解：山题易得8(斫J<812>将G变换为对角型令：a(K) = Tx(K)可得.x(k +1) = T-lGJx(k)+T-lHU(K)Rn . & (k) =(t“gt)k£8=0檢) = <J)(K)列 O) +壬叫)T-7/U(K-J-l)A-特征方程3-G)= j28分别令 P=GP P2 =GP2可得特征矢量即转移矩阵为V_rf1 乍 T221-1 1 丿11<22>T =r ip/< （、r3、02_2281 181111-11 丿一o5<22><82>

38、VI8>A = TGT ="3、K(3 K、80F00508J8>(K) =设 x(K)= m + nm = <I>(7C)x(0)= 0(/C)T-'x(O)=女一in “加（K-j-l） =工丿（）5kF£2£2(-23宀5kV 0 8丿fl2_1_2：1 0)-y-r0工11(01丿f(KT-l)8y丿122 >7 '可得x(K)= Tx(K)= 0( K)x(O)+工(K-j-l)HU(j)丿x(l) =(1)x(0) +(0)观(0)运用递推法2.11112811I 3八V82>10某离散时间系统的结构

39、图如图2. 3所示。图2.3离散系统结构图(1) 写出系统的离散状态方程。(2) 当采样周期T =0. Is时的状态转移矩阵。(3) 输入为单位阶跃函数，初始条件为零的离散输出y(r)。(4) t二0.25s时刻的输出值。解：(1)系统中连续时间被控对象的时间函数为：G(s)二1 _ 1(s+l)(s+2) s+11s+2连续时间被控对象的状态空间表达式为:即:01 = X2%2 = -2%i 一 3%2 + U2输岀方程为：y(fc?) =(1 O)x(kT)松)"十3-矿】仁;-:鳥;-广七+ 2严丿，、“(Ze" eF e'T-e-2T G(T)P =_2e-

40、r + 2e-2T _e-T + 2e-2T)H(T) = eAl BodtJ_e-r+le-2r + £X-e'2T + e-T)则，被控对象的离散化状态方程为:x(k +1)?(2e-r - e-2T-2e"T + 2e2re-r-e-2T -尸+2产丿1 + -2y(fcr)= (1 o)x(fcr)由得当T二0.1s时心叫工:氏二:;心駕0.086)0.733/(3)由题意知 r(t)=l, T二0. Is仔1伙+ 1)匸0.990 &2“+ 6 丿一 1-0.1720.086 Vx1(k)/0.00450.733丿也伙)八0.086丿初始条件为零，

41、即：%(o)= (j),pi(l)V/0.0045%2(1)/ I 0.086 丿当k二1时,“ 0.990,-0.1720.086/0.0045/0.0045/0.0160.733丿 I 0.086 丿 V 0.086 / V0.148/0.086' /0.016 /0.016 /0.0330.733丿(0.148丿 V0.1487V0.1927系统的离散化输出为:y(fc)=(i 0)(；富片1的 y( 0)二0y(l)二0.0045y(2)二0.016y(3)二0.033(4)当 t二0.25s 时，y( 0.25) =y( 0.2) =0.016第3章 线性控制系统的能控性与能

42、观性3-1判别下列系统的能控性与能观性。系统中a, b, c, d的取值与能控性能观性是否有 关，若有关其取值条件如何？(1)由解：由图可得:= -ax± + u%3 = CX3 +X2+X± = X± + X2 - CX3%4 = X3 - dx4状态空间表达式为:-a 000 '1'0 b 00无2+011 -c 00001-d.0.u0 1 o%无1£JC4.y = o曲于%2、兀3、兀4与U无关,因而状态不能完全能控，为不能控系统。山于y只与力有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。此可知系统中的a,b,c,d的取值对系统的能

43、控性和能观性没有影响（2）rrrax =_c由系统的结构图可以知道其状态空间表达式为)心卩°” M=b A/?= 1 ba则由此可知Li -若系统可控则abc d工0ab+c+d0bN =同理可知若系统能观则+2 a bX0/解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准型，要使系统能控，控制系统b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为0,故有a工0工0。要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0,故有c工0, d工0。3-2=(A + 3)2-1二久2 + 6久+8 二 0Z + 5时不变系统：%=(;3 23Mi试用两种方法判别其能控性与能观性。 解：一、变换为约旦型ai-a

44、=a+Ai = 2当久1 = 一2时由久1卩1 = Ap±得Ph = p2i令Ph = 1则P21 = 1得A =(；)当久2 = 一4时由久2P2 = AP2得一卩21 = P22令P21 =】则卩22 = 一】得卩2 =（则丁 = Pl P2 = (J 匕则厂=（:J） = （J为因为有一行元素为零所以系统不能控。(2)由已知转换矩阵T = Pi P2 = (J匕)则CT = (JC 21)=c ?）因为CT没有全为0的列 所以系统是能观的。二、（1）能控性判别山能控判别阵M二（b,Ab） 因为7 "Y i）G ；）=& :;）所以I :所以M所有二阶式全为0且rankM<2则系统不能控（2）能观性判别由能观判别阵N =（：）因为7 A）t -j（；3 -3）=a